4.5. Стационарные случайные функции

Вернемся теперь к упоминавшемуся выше (см. стр. 173) важному вопросу о том, при каких условиях временные и пространственные средние значения случайного поля при неограниченном увеличении интервала осреднения сходятся к соответствующим теоретико-вероятностным средним значениям. При этом придем к некоторым специальным классам таких полей, представляющим большой интерес для теории турбулентности.

Будем сначала для определенности говорить лишь о временном осреднении; тогда зависимость поля от координат х не будет иметь значения, так что можно рассматривать лишь функции от одного переменного Нас будет интересовать вопрос о том, при каких условиях случайная величина

при сходится к Одно весьма важное необходимое условие этого выводится крайне просто. В самом деле, для любой ограниченной функции разность

где фиксированные числа (и, например, при очевидно, неограниченно убывает. Поэтому пределы при величин только они существуют) должны совпадать друг с Другом, т. е. временное среднее значение функции (определяемое как не может зависеть от В то же время вероятностное среднее значение является, вообще говоря, функцией от Следовательно, для равенства этих двух средних значений необходимо, чтобы выполнялось условие

Аналогично обстоит дело с применением временного осреднения для определения моментов высших порядков и других функций от значений в нескольких точках. Так, например, если использовать осреднение по времени произведения считается фиксированным) для определения корреляционной функции то мы придем к величине

которая может зависеть лишь от но не от по отдельности. Поэтому временная корреляционная функция В может быть равна вероятностному среднему значению лишь если

Точно так же для возможности определения момента порядка В при помощи временного осреднения необходимо, чтобы этот момент зависел лишь от разностей

Наконец, если потребовать, чтобы средние значения всевозможных функций от величин можно было получить при помощи временного осреднения, то придется ограничиться лишь такими случайными функциями для которых -мерные плотности вероятности при любых зависят не от параметров а лишь от разностей

т. е. удовлетворяют условию

где любое вещественное число. Условие (4.63) является наиболее общим — из него вытекают, в частности, и условия (4.59), (4.61) и (4.62). Заметим еще, что в частном случае гауссовской случайной функции из (4.59) и (4.61) уже вытекают и общие равенства (4.62) и (4.63).

Итак, мы пришли к специальному классу случайных функций от времени, для которых все многомерные плотности вероятности удовлетворяют условиям (4.63), т. е. не меняются при сдвиге соответствующей группы точек на любой интервал времени Такие случайные функции часто встречаются в самых разнообразных прикладных задачах; они называются стационарными случайными функциями, или, иначе, стационарными случайными процессами (поскольку случайные функции от времени в научной литературе часто называются также случайными процессами). Математической теории стационарных случайных процессов посвящен ряд подробных обзоров или глав в специальных монографиях (см., например, Яглом (1952), Дуб (1953), Лоэв (1955), Розанов (1963)). Однако здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями, имеющими непосредственное отношение к теме настоящей книги (см. также гл. 6 в ч. 2 книги).

Физический смысл условия стационарности совершенно ясен: оно означает, что физический процесс, численной характеристикой которого является функция является установившимся, т. е. что все условия, вызывающие этот процесс, не меняются со временем. В применении к характеристикам турбулентности условие стационарности означает, что рассматриваемый турбулентный поток должен быть установившимся в обычном гидродинамическом смысле: все осредненные характеристики потока (например, распределение средней скорости, средняя температура), так же как и все внешние условия (например, внешние силы, положение ограничивающих поток поверхностей), должны оставаться неизменными во времени. Потоки, с достаточной степенью точности удовлетворяющие этому условию, сравнительно просто могут быть получены в лаборатории; в случае же природных турбулентных потоков обычно трудно гарантировать неизменность всех осредненных характеристик течения (в особенно сильной степени это относится к турбулентности в атмосфере, где средние значения всех гидродинамических элементов обычно

весьма неустойчивы и имеют явно выраженный суточный и годовой ход). Однако и здесь при рассмотрении мгновенных значений гидродинамических характеристик в течение сравнительно небольших промежутков времени (например, порядка нескольких минут или десятков минут) соответствующие случайные функции часто вполне можно считать стационарными. Таким образом, и в этих случаях вероятностные средние значения характеристик потока часто можно находить при помощи временного осреднения; для этого требуется, чтобы временные средние значения при сходились к вероятностным средним и чтобы средние за такое время Т, в течение которого рассматриваемый процесс еще можно считать стационарным, были уже достаточно близкими к предельным значениям, отвечающим

Значения какой-либо гидродинамической характеристики в нескольких точках установившегося турбулентного потока или значения нескольких таких характеристик в одной или нескольких точках доставляют нам примеры многомерных стационарных случайных процессов — векторных функций таких, что плотность вероятности для любого набора значений не меняется при одновременном сдвиге всех моментов времени на один и тот же произвольный интервал времени В этом случае, очевидно, и все смешанные моменты функций будут зависеть лишь от разностей соответствующих моментов времени (например, все взаимные корреляционные функции будут зависеть лишь от аргумента Ясно, что для того, чтобы статистические характеристики, зависящие от значений нескольких случайных функций времени, можно было получить при помощи временного осреднения, совокупность этих случайных функций должна представлять собой многомерный стационарный процесс; в противном случае характеристики, получаемые при временном осреднении, будут даже зависеть от меньшего числа переменных, чем соответствующие теоретико-вероятностные средние значения.