4.4. Определение моментов и семиинвариантов случайного поля по его характеристическому функционалу

Так как характеристический функцяоиал содержит в себе полное статистическое описание случайного поля, то ясно, что он определяет также все моменты и семиинварианты этого поля. Сейчас мы выведем явные формулы, связывающие моменты и семиинварианты с функционалом при этом мы придем к естественному обобщению формул (4.9) и (4.11), относящихся к конечномерному случаю.

Начнем опять с рассмотрения случайной функции от одного переменного. Так как моменты и семиинварианты случайного вектора выражаются, как мы знаем, через частные производные соответствующей характеристической функции то прежде всего нам надо обобщить понятие производной на случай функции от бесконечного числа переменных — функционала относительно функции . Напомним,, что в конечномерном случае функция называется дифференцируемой и точке если ее приращение при небольшом изменении значений аргумента представимо в виде

(т. е. с точностью до малых высшего порядка линейно зависит от Частную производную при этом можно определить как коэффициент при в линейной части приращения так что

Аналогично этому функционал мы будем называть дифференцируемым при значении его аргумента, если при добавлении к небольшой добаики главная часть изменения рассматриваемого функционала линейно зависит от

(иначе говоря, если существует производная представимая в виде Значение функции в точке в этом случае называется вариационной производной от по в точке Учитывая, что является коэффициентом при в линейной части приращения удобно принять для вариационной производной обозначение

Это обозначение подчеркивает также, что фактически вариационная производная представляет собой двойной предел

где на этот раз под понимается функция, отличная от нуля лишь на малом интервале длины окружающем точку х. Требование дифференцируемости функционала накладывает на этот функционал определенные ограничения, которым, например, не удовлетворяет такой простейший функционал, как зиачеияе функции в фиксированной точке Наиболее простым примером дифференцируемого функционала является функционал для которого, очевидно, а

В примере (4.40) вариационная производная не зависит от значения функции при котором эта производная берется. Однако в общем случае это уже, разумеется, будет не так, так что формулы (4.38) и (4.39) более правильно было бы писать в виде

Таким образом, вариационная производная от функционала является снова функционалом от зависящим еще от точки как от параметра. Поэтому эта вариационная производная будет уже иметь производные двоякого типа: ее можно обычным образом дифференцировать по параметру а можно также составить ее вариационную производную по в точке являющуюся второй вариационной производной от исходного функционала

Вторая вариационная производная будет уже функционалом зависящим от пары точек причем этот функционал будет не произвольным, а удовлетворяющим условию симметрии вытекающему из легко доказываемого тождества

Простейший пример дважды дифференцируемого функционала доставляет функционал в этом случае,

как нетрудно проверить,

Аналогично определяются также и вариационные производные высших порядков: вариационная производная

(если она существует), очевидно, является функционалом относительно зависящим еще от точек

Пусть теперь -характеристический функционал случайной функции задающийся формулой (3.21). В таком случае

(так как осреднение переставимо с дифференцированием). Отсюда следует, что

Рассуждай таким же образом, можно получить и более общее равенство

показывающее, что

Формула (4.46) и является обобщением формулы на бесконечномерный случай.

Совершенно аналогично определяются вариационные производные от функционалов зависящих от (скалярной или векторной) функции точки х многомерного пространства. Так, например, функционал называется дифференцируемым по при заданном значении функции в если имеет место равенство

(т. е. если главная часть приращения при небольшом изменении функции линейно зависит от В этом случае функционал

зависящий от точки как от параметра, называется вариационной производной (или, подробнее, частной вариационной производной) от по в точке (иначе эту производную можно определить как двойной предел

где векторная функция, у которой отлична от нуля лишь компонента и притом только в малой окрестности точки Вариационную производную (4.48) можно затем продифференцировать по при этом придем ко второй вариационной производной

зависящей уже от пары точек и удовлетворяющей условию

Подобным же образом определяются и вариационные производные

высших порядков. Если под понимать характеристический функционал -мерного случайного поля и то совершенно аналогично выводу формулы (4.46) получается равенство

(Заметим, что свойство (4.50) вариационных производных обращается при этом в известное свойство (4.18) корреляционных функций).

Семиинварианты случайного поля мы теперь определим при помощи равенства

где характеристический функционал нашего поля. Легко видеть, что

и вообще, что совпадает с семиинвариантом системы величии определенным по соответствующей характеристической функции с помощью формулы (4.11). Из формулы (4.52) легко вывести все свойства семиинвариантов (свойство (4.50) вариационной производной, например, означает, что корреляционные функции пульсаций должны обладать тем же свойством (4.18), что и обычные корреляционные функции). Для функционала имеющего вариационные производные всеч порядков, при некоторых условиях можно получить разложение в ряд Тэйлора:

В применении к характеристическому функционалу случайного поля это разложение обращается в разложение по корреляционным функциям всевозможных порядков:

Можно показать, что для сходимости ряда в правой части (4.54) яеобходимо и достаточно, чтобы его члея стремился к яулю при если же мы оборвем этот ряд на конечном числе члеяов, то для остатка можяо получить оцеяку, близкую к оцеяке остаточяого члеяа обычяого ряда Тэйлора (см. Новиков (1964)). Заметим, одяако, что если мы просто оборвем разложение (4.54) функционала каком-либо конечном числе члеяов, никак не учитывая остатка, то Мы придем к функционалу, обладающему свойством (3.24) характеристического функционала, но наверное не обладающему столь же обязательным свойством (3.25). В самом деле, это следует хотя бы из того, что функционал, равяый сумме конечного числа членов правой части (4.54), не удовлетворяет уже простейшему яеравеяству вытекающему из яеравеяства (3.25) с (а также и из самого определения (3.27) характеристического функционала Поэтому, предположив, что все момеяты некоторого случайного поля порядка выше данного К тождественно обращаются в нуль, мы можем в конце кояцов прийтя к абсурдным яыводам, противоречащим, например, условию, что никакая вероятность не может превосходить единицы.

Несколько более удобным с этой точки зрения представляется применение разложения Тэйлора к логарифму характеристического функционала т. е. представление в виде

Оборвав разложение (4.55) на конечном числе членов, мы на этот раз придем уже к функционалу, удовлетворяющему только условию (3.24), и необходимому для характеристического функционала условию . Более того, ограничившись лишь линейными и квадратичными по членами в правой части (4.55), мы получим функционал, наверное являющийся характеристическим функционалом некоторого случайного поля — а именно гауссовского случайного поля с теми же моментами первых двух порядков, что и исходное поле (см. формулу Если, одяако, мы учтем в разложении (4.55) еще члены третьего порядка по т. е. положим

или же оборвем ряд (4.55) на любом другом конечном числе членов выше второго порядка по то мы придем к функционалу, который будет удовлетворять (3.24) и условию яообще говоря, не будет обладать свойством (3.25), необходимым для характеристических функционалов. Поэтому, предположив, что все семяиявариаяты рассматриваемого случайного поля и порядка выше даяяого обращаются в иуль, мы также можем в конце кояцов прийти к противоречию с очевидными свойствами распределений вероятности (например, с неотрицательностью вероятности, из которой следует условие В части 2 книги мы еще будем иметь случай вспомнить об этом неприятном обстоятельстве.