2.4. Простейшие примеры абсолютно неустойчивых потоков жидкости

Приведенные выше экспериментальные данные о зависимости для течений в трубах и пограничных слоях от интенсивности начальных возмущений и о затягивании ламинарного режима определенно показывают, что при числе немного превосходящем указанные течения представляют собой автоколебательные системы с жестким возбуждением (некоторое представление о возможном механизме возбуждения колебаний в этих системах дает изложенная в п. 2.2 теория Тэйлора). Сейчас мы покажем, что нетрудно указать также примеры движений жидкости, неустойчивых уже и по отношению к бесконечно малым возмущениям, т. е. с точки зрения теории колебаний, представляющих собой системы с мягким возбуждением.

Рис. 12. Схематическая форма линий тока и распределения давления вблизи возмущенной поверхности тангенциального разрыва скорости.

Один из простейших примеров абсолютно неустойчивого потока жидкости представляет собой течение около поверхности тангенциального разрыва скорости, о котором уже упоминалось выше. Качественно возникновение здесь абсолютной неустойчивости может быть объяснено с помощью совсем простых физических соображений. В самом деле, рассмотрим идеальную жидкость с нулевой вязкостью, два слоя которой скользят один по другому с противоположными скоростями образуя поверхность разрыва скорости. Допустим, что в результате некоторого возмущения на поверхности разрыва образовалась волна малой амплитуды (см. рис. 12). Предположим для простоты, что эта волна остается неподвижной. В таком случае над гребнями волны линии тока будут сгущаться, т. е. скорость повысится, а в ложбинах линии тока станут реже и скорость уменьшится. Вследствие уравнения Бернулли над гребнями волн давление будет понижено, а в ложбинах — повышено (на рис. 12 это обозначено знаками + и -). Таким образом, в жидкости возникнут поперечные градиенты давления, которые будут стремиться увеличить амплитуду волны. В дальнейшем это увеличение амплитуды приведет к тому, что волна распадется на отдельные вихри, положив начало турбулизованной зоне.

В реальной жидкости возникающие волны, разумеется, не неподвижны, но аналогичные процессы и здесь приводят к их распаду. Этот процесс можно реально наблюдать, например, при турбулизации струи, бьющей из какого-то отверстия и распространяющейся затем в пространстве, заполненном той же (но неподвижной) жидкостью (границу такой струи, очевидно, можно рассматривать как поверхность тангенциального разрыва скорости). Аккуратный количественный анализ неустойчивости поверхности тангенциального разрыва скорости был выполнен Гельмгольцем (1868) (ср. Ламб (1932), § 232 или Ландау и Лифшиц (1953), § 30). При наличии вязкости скольжение двух слоев жидкости друг по другу, разумеется, будет невозможным, и вместо поверхности разрыва мы будем иметь между двумя течениями узкий переходной слой, в котором профиль скорости будет иметь -образную форму. Вопрос об устойчивости такого слоя является более сложным; однако и здесь удается показать (и теоретически и экспериментально), что он является весьма мало устойчивым (см. ниже. п. 2.8). Заметим еще, что абсолютней неустойчивость поверхности тангенциального разрыва скорости представляет собой лишь простейший случай так называемой неустойчивости Гельмгольца — абсолютной неустойчивости специального типа поверхностей раздела, отделяющих друг от друга области течения, заполненные одной и той же или разными жидкостями, движущимися с разной скоростью. Обзор основных относящихся сюда результатов и ссылки на дальнейшую литературу можно найти в статье Биркгофа (1962).

Другим простейшим примером абсолютной неустойчивости является равновесие в поле тяжести жидкости с переменной по оси плотностью в случае возрастания плотности с высотой. Легко понять, что при любом законе изменения с высотой плотности несжимаемой жидкости уравнения движения будут допускать решение и соответствующее состоянию покоя; при этом только при наличии поля тяжести давление должно меняться с высотой по закону

Пусть теперь вследствие какого-то возмущения некоторый элемент жидкости переместится с уровня на новый уровень . Если плотность убывает с высотой, то при наш элемент будет под действием силы тяжести стремиться опуститься вниз, а при под действием архимедовой силы он будет стремиться подняться наверх, так что равновесие будет

устойчивым. Однако если плотность возрастает с высотой, то при любом знаке переместившийся элемент жидкости будет стремиться еще дальше удалиться от своего первоначального положения, и состояние равновесия будет абсолютно неустойчивым. Заметим еще, что в случае идеальной жидкости (не обладающей трением) уравнения движения будут при любом допускать также стационарное решение с произвольным вертикальным профилем х-компоненты скорости нулевыми. компонентами скорости по двум другим осям), причем в силу тех же соображений и это течение будет абсолютно неустойчиво при В случае вопрос об устойчивости такого течения заметно более сложен; заранее можно лишь, сказать, что в силу соображений подобия критерий устойчивости здесь должен выражаться через значение так называемого числа Ричардсона — безразмерного параметра

Случай расслоенной по оси жидкости представляет большой интерес для метеорологических задач, в которых такое расслоение вызывается наличием определенного, профиля температуры В этом случае, однако, мы не можем просто считать жидкость несжимаемой, а должны привлечь к ее рассмотрению уравнение состояния и элементарные термодинамические тождества (см. например, Ландау и Лифшиц (1953), ч. 1, § 4). При этом оказывается, что элемент жидкости, переместившийся с уровня на уровень будет при более легким, чем окружающий его воздух, а при более тяжелым, чем окружающий его воздух, тогда и только тогда, когда

где под теперь понимается абсолютная температура, удельный объем. Условие (2.4) и будет условием абсолютной неустойчивости состояния покоя при наличии профиля поля температуры. В случае, когда среду можно считать идеальным газом, так что критерий неустойчивости будет иметь вид

(в таком виде это условие можно найти во всех курсах динамической метеорологии). Величина в метеорологии называется адиабатическим градиентом температуры (Для воздуха этот градиент равен приблизительно Термическое расслоение воздуха, при котором больше, равно или меньше , называется соответственно устойчивой, безразличной или неустойчивой стратификацией.

Еще один способ представления условия неустойчивости (2.4) или (2.5), также часто использующийся в метеорологии, связан с введением вместо обычной температуры Т так называемой потенциальной температуры

где некоторое стандартное давление (обычно принимаемое равным нормальному давлению на уровне моря). В силу выражения для энтропии идеального газа, приведенного на стр. Отсюда ясно, что при адиабатических пррцессах потенциальная температура не меняется, так что 0 равно температуре, которую будет иметь воздух, если его адиабатически привести к стандартному давлению Легко видеть, что поэтому с помощью понятия о потенциальной температуре критерий неустойчивости (2.4) может быть сформулирован следующим образом: состояние покоя будет неустойчивым, если (т. е. если потенциальная температура убывает с высотой), и будет устойчивым, если если потенциальная температура возрастает с, высотой).

При наличии произвольного профиля скорости ветра движение в случае неустойчивой стратификации все равио будет неустойчивым; в случае же устойчивой стратификации устойчивость или неустойчивость движения должна как-то определяться значением числа Ричардсона