7.5. Общая формулировка гипотезы подобия для турбулентного режима в приземном слое атмосферы и ее применение к исследованию пульсаций метеорологических полей

До сих пор мы рассматривали только профили средних значений скорости ветра, температуры и влажности в приземном слое атмосферы и лишь к ним применяли соображения размерности, изложенные в п. 7.2. На самом деле, однако, эти соображения имеют общий характер, и результаты пп. 7.3-7.4 далеко не исчерпывают всех приложений теории подобия к турбулентности в приземном слое. Сейчас мы рассмотрим некоторые дальнейшие приложения этой теории, относящиеся к статистическим характеристикам, отличным от средних значений основных метеорологических полей.

Начнем с того, что сформулируем в самой общей форме наши основные предположения о подобии. В п. 7.1 мы отмечали, что в случае плоскопараллельного турбулентного течения стратифицированной жидкости над плоской однородной шероховатой поверхностью (являющегося естественной моделью «приземного слоя») все одноточечные моменты гидродинамических полей будут зависеть только от вертикальной координаты Но ограничение лишь одноточечными моментами было там принято только потому, что именно они интересовали нас в первую очередь. Фактически же в такой модели все распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в каком-то конечном числе точек будут инвариантными относительно произвольных параллельных переносов этой совокупности точек в плоскости и ее отражений в вертикальной плоскости проходящей через направление среднего ветра а также стационарными (не зависящими от сдвигов во времени). Иначе говоря, в этой модели распределение вероятностей для значений

произвольных гидродинамических полей в точках может зависеть лишь от параметров и не меняется при изменении направления оси на противоположное.

Будем рассматривать только поля трех компонент скорости ветра и температуры Т (включение еще и поля влажности Ф приведет лишь к появлению очевидных добавочных формул, на которых не стоит задерживаться). Эти поля можно представить в виде

где обычные (неслучайные) функции от детально изученные в предыдущих пунктах настоящего параграфа. Та «им образом, достаточно рассмотреть лишь распределения вероятностей. для случайных полей При этом общая гипотеза о подобии турбулентного режима в рассматриваемой нами модели стратифицированной среды в применении к приземному слою атмосферы может быть сформулирована следующим образом: совместное распределение вероятностей для значений безразмерных величин в точках может зависеть лишь, от безразмерных параметров

если только выполняются следующие два условия: 1) высоты не слишком велики (находятся в пределах слоя, в котором можно считать, что и пренебрегать влиянием силы Кориолиса) и не слишком малы (все много больше «высоты шероховатости» от которой рассматриваемое распределение не должно зависеть) и 2) расстояния между любыми двумя различными точками и все отличные от нуля разности не слишком малы (так, чтобы на взаимодействия между пульсациями в рассматриваемых точках пространства-времени не оказывали влияния молекулярные эффекты, определяемые коэффициентами молекулярной вязкости и теплопроводности воздуха) и не слишком велики (чтобы не нарушались условия горизонтальной однородности и стационарности). Через здесь обозначены те же величины (7.12) и (7.14), что и всюду в этой главе. Обоснование этой гипотезы фактически уже содержалось в рассуждениях пп. 7.1-7.2.

В качестве примера рассмотрим более детально совместное распределение вероятностей для пульсаций до, Т) в фиксированной точке пространства-времени. Согласно сформулированной гипотезе подобия это распределение может зависеть лишь от вертикальной координаты и его плотность вероятности может быть записана в виде

где универсальная функция от пяти переменных. Разумеется, функция пяти переменных является очень сложной характеристикой; поэтому существенно, что в предельных случаях сильной неустойчивости сильнойустойчивости так же как и в случае безразличной стратификации формула (7.81) может быть упрощена. В случае безразличной стратификации и архимедовы силы не влияют на турбулентность, так что параметр здесь должен выпасть из соотношения (7.81). Поэтому зависимость от содержит в этом случае отсутствует, т. е. распределение вероятностей не зависит от высоты. Кроме того, при безразличной стратификации не существует и пульсаций температуры, так что зависимость Ф от V описывается множителем (где — это дельта-функция Дирака). В результате получаем

где — универсальная функция от трех переменных, описывающая распределение вероятности пульсаций скорости в точке логарифмического пограничного слоя. Предельный случай очень сильной неустойчивости (свободной конвекции) получается при так что при этом параметр должен выпасть из соотношения (7.81). Отсюда следует, что

где еще одна универсальная функция. Наконец, можно считать, что при очень сильной устойчивости турбулентные пульсации приобретают локальный характер, т. е. что их статистические свойства перестают зависеть от расстояния z до подстилающей поверхности. Поэтому следует ожидать, что при параметр будет выпадать из соотношения (7.81), т. е., иначе говоря,

К сожалению, соотношения (7.82) — (7.84) все еще трудно проверяемы, поскольку многомерные распределения вероятностей вообще очень трудно надежно определить по эмпирическим данным. Поэтому мы далее ограничимся рассмотрением лишь простейших характеристик распределения (7.81), а именно — младших моментов пульсаций в фиксированной точке Согласно общей формуле (7.13) любой одноточечный момент этих пульсаций может быть представлен в виде некоторой комбинации из параметров умноженной на универсальную функцию (тот же результат, разумеется, следует и из формулы (7.81)). По определению пульсаций их средние значения равны нулю, поэтому мы сразу перейдем ко вторым моментам рассматриваемых величин. Таких моментов всего имеется десять. Однако три из них, а именно тождественно равны нулю вследствие симметрии турбулентности относительно направления среднего ветра (в отношении моментов об этом уже говорилось на стр. 363). Моменты имеют постоянные значения; поэтому остается рассмотреть лишь пять моментов — дисперсии пульсаций (вместо которых нам будет удобнее рассматривать стандартные отклонения и смешанный второй момент Эти величины в силу (7.13) можно записать в виде

Таким образом, для описания всех вторых моментов пульсаций скорости ветра и температуры достаточно определить

параметры и и знать пять универсальных функций Через них могут быть выражены, в частности, такие интересные характеристики турбулентности, как коэффициенты анизотропии и и коэффициенты корреляции

(в последних двух равенствах верхний знак относится к неустойчивой, а нижний — к устойчивой стратификации).

Функции очевидно, являются неотрицательными при всех значениях по самому их определению. Момент определяемый функцией описывает турбулентный перенос тепла по направлению среднего ветра; практически этот перенос не играет роли, и обычно им вполне можно пренебречь. При безразличной стратификации и при очень сильной неустойчивости вообще (см. ниже); однако при других значениях функция возможно, принимает небольшие положительные значения (за счет того, что при неустойчивой стратификации неравенство как правило, будет иметь место тогда, когда и следовательно, при этом пульсация и чаще будет отрицательной, а при устойчивой стратификации дело будет обстоять наоборот).

Асимптотическое поведение функций при при и при может быть установлено, исходя из формул (7.82) — (7.84), подобно тому как это было сделано выше в применении к функциям описывающим осредненные профили. При возрастании неустойчивости (т. е. при величина и должна выпасть из всех равенств (7.85); следовательно, функции должны при этом возрастать асимптотически пропорционально функция стремиться к нулю асимптотически пропорционально а функция стремиться к некоторой постоянной. Кроме того, надо еще иметь в виду, что при т. е. турбулентность приближается к режиму, при котором в плоскости уже нет никакого выделенного направления, и пульсации и и ничем не различаются между собой (режим «истинной свободной конвекции» при отсутствии средней горизонтальной скорости). Поэтому следует ожидать, что при

или, иначе говоря,

(формула (7.87) для фактически была известна еще Прандтлю (1932а), но затем была забыта; позже она была независимо получена Обуховым (1960) вместе с формулой для Универсальные постоянные в формулах (7.87), очевидно, могут быть определены исходя из эмпирических данных. Из (7.87) вытекает также, что в условиях свободной конвекции В другом предельном случае — при (т. е. при неограниченном возрастании устойчивости) — характеристики турбулентности в силу (7.84) не должны явно зависеть от координаты Следовательно, при все функции (7.85) (и их комбинации (7.86)) должны приближаться к некоторым постоянным. Наконец, при исчезают пульсации температуры (см. (7.82)), и Поэтому величины не имеют непосредственного смысла; фактически функции следует рассматривать как состоящие из двух отдельных ветвей (при и при Что же касается постоянных то они описывают интенсивность пульсаций скорости в логарифмическом пограничном слое однородной жидкости и имеют вполне определенное значение (см. выше стр. 236, где именно эти постоянные обозначались как При малых значениях функции и допустимо приближенно описывать двумя членами ряда Тейлора

где коэффициенты очевидно, все отрицательны (так как турбулентный обмен ослабевает с возрастанием устойчивости).

Формулы, аналогичные (7.85). (и содержащие новые универсальные функции), могут быть написаны и для моментов более высокого порядка пульсаций и Так, например

Функции характеризуют асимметрию распределений вероятностей для и для Т

а функции вертикальную диффузию турбулентной энергии и интенсивности пульсаций температуры. Исходя из представления о термической конвекции как о совокупности восходящих движений нагретого воздуха в форме сравнительно интенсивных узких струек и нисходящих движений охлажденного воздуха в форме медленного оседания значительных масс, можно ожидать, что функции будут положительными, по крайней мере, при отрицательных . Согласно (7.82) — (7.84) с ростом неустойчивости (при функции должны возрастать асимптотически пропорционально функция убывать асимптотически пропорционально (так что коэффициенты асимметрии должны стремиться к постоянным), а функция убывать пропорционально . С ростом устойчивости (при ) все функции так же как и отношения и должны стремиться к постоянным.

Статистические характеристики производных от скорости и температуры в фиксированной точке вообще говоря, будут уже зависеть и от коэффициентов молекулярной вязкости и температуропроводности (напомним, что в формулировке гипотезы подобия требовалось, чтобы разности и расстояния между различными точками были не слишком малы). Поэтому применение к таким характеристикам соображений размерности приводит к более сложным формулам, содержащим уже универсальные функции от нескольких переменных. Однако имеются два важных исключения из этого правила, относящихся к величинам

и

В самом деле, эти величины входят в уравнение баланса турбулентной энергии (6.46), где обозначалось символом и в родственное ему уравнение баланса интенсивности пульсаций температуры (см, ниже уравнение (7,106)) и с их помощью могут

быть выражены через обычные одноточечные моменты полей скорости температуры и их производные. Следовательно, величины не должны явно зависеть от молекулярных констант Это обстоятельство не является случайным — как будет показано в гл. настоящей книги, величины играют существенную роль в закономерностях крупномасштабных движений и могут быть определены по распределениям вероятностей для пульсаций гидродинамических полей в двух достаточно далеких точках. Таким образом, для описания зависимости величин от высоты z в приземном слое атмосферы можно воспользоваться обычной формулой теории подобия (7.13), не содержащей . А именно, можно положить

где новые универсальные функции. При функции будут стремиться к конечным пределам (так как здесь ; см. выше стр. 344) и кроме того, при

Значительно более сложный вид имеют формулы для моментов пульсаций в нескольких точках, которые, очевидно, во всех случаях будут содержать универсальные функции от нескольких переменных. Так, например, двухточечные моменты пульсаций гидродинамических полей в точках в один и тот же момент времени будут, вообще говоря, зависеть от четырех переменных

Экспериментальное определение функций от четырех переменных представляется в настоящее время практически безнадежным; поэтому большой интерес представляют условия, при которых число переменных в формулах для двухточечных моментов может быть уменьшено. Таким условием является, в частности, условие — где положительное число, определяющее нижнюю границу интервала значений для которых турбулентный режим является режимом свободной конвекции (о порядке величины числа мы будем говорить в следующем параграфе). При этом условии можно считать, что так что из параметров задачи здесь уже нельзя составить никакого конечного масштаба длины. Кроме того, в этом случае в плоскости нет выделенного направления, так что все скалярные (т. е. не зависящие от ориентации координатных осей) двухточечные моменты могут зависеть только от но не от по отдельности. Из величин можно составить две безразмерные комбинации,

в качестве которых можно выбрать, например где Поэтому в условиях свободной конвекции все скалярные двухточечные моменты будут равны некоторым комбинациям из параметров и умноженным на универсальные функции от от В частности,

где универсальные функции от двух переменных (эти формулы были указаны Обуховым (1960)).

Задача экспериментального определения функций от двух переменных представляется также достаточно сложной, но уже не безнадежной. Замечательно, однако, что в некоторых случаях удается теоретически предсказать форму зависимости соответствующих функций двух переменных от одного из них, а для ряда статистических характеристик вообще свести всю неопределенность, имеющуюся в теоретических формулах, к неопределенности в выборе числового коэффициента. Для этого надо только использовать дополнительные соображения о подобии, относящиеся к совсем другому классу турбулентных течений, включающему атмосферную турбулентность в качестве частного случая. Рассмотрению такого подобия будет посвящена основная часть гл. 8 в поэтому дальнейший анализ формул типа (7.94) мы отложим до настоящей книги.

Как и в случае функций ряд дополнительных результатов относительно функций (не являющихся уже точными) можно получить с помощью различных вариантов полуэмпирической теории турбулентности. Так, например, Казанский и Монин (1957) (см. также Монин (1959а)), исходя из уравнения баланса турбулентной энергии (6.47), дополненного еще некоторыми полуэмпирическими гипотезами, получили для функции приближенное соотношение вида

где ) - эмпирическая постоянная. Те же соображения, примененные к уравнению баланса турбулентной энергии в форме (6.47), приводят к соотношению

содержащему еще одну эмпирическую постоянную Позже Пановский и Мак-Кормик (1960) выдвинули гипотезу, приведшую их к выводу, что

где В — новая эмпирическая постоянная, а Бюсингер (1959) и Манн (1961) с помощью двух разных предположений о путн перемешивания в стратифицированной среде получили формулы

( - тот же коэффициент, что и в (7.75)) и соответственно

Соотношение (7.98) с (что противоречит эмпирическим данным) использовал также Иокояма (1962а). Для функции Пристли (19606) и Пановскнй (19616) использовали полуэмпирическое соотношение

Моннн (1965) рассмотрел полную систему динамических уравнений для одноточечных вторых моментов скорости и температуры и пренебрег в ней слагаемыми, описывающими вертикальный перенос рассматриваемых величин (т. е., в частности, всеми слагаемыми, содержащими третьи моменты), а пульсации давления исключил с помощью простой полуэмпирической гипотезы типа (6.10) и (6.12). При этом он получил приближенное соотношение

связывающее значения функций (и при хорошо подтверждающееся эмпирическими данными, приведенными на стр. 236). Приняв, далее, еще некоторые полуэмпирические гипотезы (типа гипотезы о постоянстве коэффициента с в формуле (6.27)), он смог выразить коэффициенты анизотропности и через и известные из экспериментов постоянные (причем оказалось, что при сделанных предположениях дисперсии могут быть все положительными, лишь если . Еще одно полуэмпирическое соотношение, связывающее функции и . было предложено Пандольфо (1963). Использовав некоторые довольно грубые гипотезы, Панчев (1961) получил следующие связи между коэффициентами формул (7.36) и (7.87):

(из которых, в частности, следует, что при свободной конвекции в прямом противоречии с эмпирическими данными рис. 79 на стр. 457),

Связь между универсальными функциями можно получить из уравнения баланса турбулентной энергии (6.46): согласно этому уравнению

(см. Монин (1958)). Соотношение (7.102) является точным в той степени, в какой является законным пренебрежение вертикальным переносом энергии турбулентности, обусловленным работой сил давления и сил вязкого треиия. Если же мы вообще пренебрежем вертикальной диффузией энергии (т. е. примем уравнение (6.47)), то получим

а если будем считать эту диффузию пропорциональной величине (т. е. примем уравнение (6.47)), то будем иметь соотношение

Разумеется, оба соотношения (7.103) и (7.103) являются менее точными, чем (7.102). Вспомнив асимптотические формулы (7.33) и (7.39) для функции и исходя, например, из соотношения (7.103), находим

Таким образом, согласно формуле (7.103), при стратификации, близкой к безразличной, при сильнои же неустойчивости т. е. перестает зависеть от высоты (те же результаты, но уже с неопределенными числовыми коэффициентами получаются из одних только соображений размерности).

Подобные же соотношения можно вывести и для функции ; при этом надо только принять за основу уравнение

получающееся из уравнения теплопроводности (7.8) после умножения всех его членов на Подвергнув уравнение (7.105) операции осреднения и учитывая однородность по горизонтали и стационарность турбулентности, мы получим следующее уравнение баланса интенсивности температурных неоднородностей:

или, ииаче,

где, как обычно, Пренебрегая здесь эффектом молекулярной теплопроводности (первый член в скобках в правой части и последний член в правой части), получаем соотношение

Если, кроме того, мы пренебрежем и вертикальной диффузией пульсаций температуры (второй член в скобках в правой части (7.106)), то получим

Функция (7.108) обладает свойствами

Следовательно, в этом приближении при стратификации, близкой к безразличной, а при сильной неустойчивости убывает с высотой по закону

Однако поведение при нельзя указать, не зная, как ведет себя функция при больших положительных значениях .

Разумеется, о формулах и (7.108) — (7.110) можно повторить все то, что выше говорилось по поводу аналогичных полуэмпирических соотношений, относящихся к функциям все они являются лишь некоторыми приближениями, степень точности и область применимости которых должна быть выяснена путем их проверки на доброкачественном эмпирическом материале. В настоящее время эмпирические данные о пульсациях еще очень неполны; при этом, однако, полуэмпирические формулы все же могут иметь заметную ценность, так как они во многих случаях помогают оценить с неплохой точностью порядок величины соответствующих статистических характеристик и дают общую ориентировку при обработке результатов имеющихся сравнительно грубых наблюдений.