7.2. Применение соображений размерности к турбулентности в стратифицированной среде

Характеристики турбулентности в температурно-стратифицированной среде, описываемой уравнениями (7.5), (7.6) и (7.8) и условиями (7.7) и (7.9), очевидно, могут зависеть только от небольшого числа физических величин. А именно, они могут зависеть от параметров и входящих в указанные уравнения, от значений (или и и задающих потоки импульса и тепла, идущие из бесконечности к поверхности (или наоборот), и характеризующих динамическое и тепловое взаимодействие приземного слоя воздуха с подстилающей поверхностью, и от параметра шероховатости суммарно описывающего геометрйческие свойства подстилающей поверхности. При этом существенно, что не все эти параметры играют одинаково важную роль. Прежде всего напомним, что в областях с достаточно развитой турбулентностью (т. е. практически всюду кроме весьма тонкого подслоя, прилегающего к подстилающей поверхности) потоки тепла и импульса, обусловленные молекулярной теплопроводностью и вязкостью, всегда очень малы по сравнению с турбулентными потоками тепла и импульса (см., например, стр. 220, 229 и 281). Поэтому в этих областях члены уравнений (7.5) и (7.8), содержащие коэффициенты обычно можно просто опустить. Но тогда соотношения (7.7) и (7.9) можно переписать в более простой форме

показывающей, что характеристики турбулентности здесь не должны зависеть от Что же касается параметра

шероховатости то он определяет граничные условия на поверхности земли и через эти граничные условия влияет также на абсолютные значения средней скорости и и на разность средних температур на значительных расстояниях от подстилающей поверхности. Однако законы изменения средней скорости и средней температуры на расстояниях на которых непосредственное влияние подстилающей поверхности уже не ощущается, от не должны зависеть, а должны определяться лишь значениями потоков импульса и тепла. Иначе говоря, изменение параметра шероховатости может привести лишь к сдвигу кривых на некоторое постоянное значение, но не должно влиять на форму профилей Таким образом, зависимость от высоты градиентов средней скорости и температуры и других родственных им осредненных характеристик развитого турбулентного режима в приземном слое воздуха должна определяться значениями лишь следующих четырех параметров: плотности , «параметра плавучести» (характеризующего влияние архимедовой силы на турбулентность), турбулентного напряжения трения и вертикального турбулентного потока тепла При этом в случае при безразличной стратификации, когда влияние архимедовых сил на турбулентности не должно сказываться, т. е. зависимость от параметра должна исчезнуть. В этом случае мы возвращаемся к турбулентности в однородной среде, для которой

справедлива теория логарифмического пограничного слоя, развитая в п. 5.3.

Таким образом, при характеристики турбулентности на высоте будут зависеть лишь от пяти величин: Поскольку в данном случае имеется четыре независимых размерности — длина, время, масса и температура, то из этих пяти величин можно составить лишь одну (с точностью до числового множителя) независимую безразмерную комбинацию. Следуя работам Обухова (1946), Монина (1950в) и Монина и Обухова (1953, 1954), мы здесь в качестве этой безразмерной комбинации выберем величину

где

— масштаб длины, составленный из параметров (безразмерная постоянная Кармана к введена в выражение для ради удобства некоторых последующих выкладок, а знак выбран так, чтобы было при устойчивой термической стратификации, когда Тогда можно утверждать, что зависимость от высоты любой осредненной характеристики развитого турбулентного режима в приземном слое воздуха, не зависящей от свойств подстилающей поверхности, может быть записана в виде

где комбинация размерности составленная из параметров универсальная функция. В качестве масштаба для осредненной скорости ветра мы примем величину а для осредненной температуры — величину

(ср. (5.75)), где постоянная к также введена для удобства последующих выкладок, а знак у 7 выбран так, что при устойчивой термической стратификации Наконец, укажем, что для коэффициента турбулентности К естественным масштабом будет величина

Согласно формуле (7.13), вводя с помощью масштабов безразмерные величины, мы можем описать зависимость характеристик турбулентного режима от высоты универсальными функциями от . Так, например, для вертикальных градиентов средней скорости ветра и температуры получаются соотношения

где - две универсальные функций параметра ?. Формулы (7.15) и (7.16) были указаны Мониным и Обуховым (1953, 1954); их можно рассматривать как непосредственное обобщение основных формул (5.21) и (5.76) теории логарифмического пограничного слоя на случай температурно-стратифицированной среды. Подставляя эти формулы в соотношения (5.5) и (5.9), определяющие турбулентные коэффициенты обмена для количества движения и для теплоты, найдем, что

Отнршение коэффициентов обмена и К равно

вообще говоря, оно является некоторой универсальной функцией от ?. Число Ричардсона определенное в пп. 2.4 и 6.5 (см. формулы (2.3) и (6.51)), в силу (7.12) и (7.14) — (7.16) оказывается равным

Оно также является универсальной функцией от ?. Аналогично этому динамическое число Ричардсона формулы (6.45), определяемое по потокам тепла и количества движения и профилю скорости будет равно

Число очевидно, просто связано с коэффициентом турбулентной вязкости К:

Из анализа общего характера функций которому будет посвящен следующий пункт этой главы, можно вывести, что обе функции являются монотонными и поэтому имеют однозначную обратную функцию. Отсюда вытекает, что величины могут на равных правах использоваться как параметры, характеризующие степень вертикальной устойчивости воздуха.

Аналогично обстоит дело и с характеристиками поля концентрации пассивной примеси в стратифицированной среде при наличии постоянного потока этой примеси через границу (в случае приземного слоя воздуха в качестве такой пассивной примеси можно рассматривать, например, водяной пар; тогда будет иметь смысл величины испарения с единицы площади подстилающей поверхности за единицу времени). Здесь надо только добавить еще величину к числу параметров, определяющих осредненные характеристики турбулентного режима. Однако при этом добавляется также еще одна независимая размерность величины и, следовательно, мы опять имеем единственную безразмерную характеристику В частности, для вертикального градиента средней влажности (в дальнейшем только эту пассивную примесь мы будем рассматривать) получается соотношение

вполне аналогичное (7.15) и (7.16); коэффициент обмена для влаги («коэффициент турбулентной диффузии») при этом равен

Сами профили скорости ветра, температуры и влажности в приземном слое могут быть получены интегрированием равенств (7.15), (7.16) и (7.22):

где