9.5. Лагранжева корреляционная функция скорости и ее связь с эйлеровыми статистическими характеристиками

Выше мы видели, Что при исследовании движения фиксированной жидкой частицы очень важную роль играет лагранжева корреляционная функция скорости

Об эмпирических данных, касающихся этой функции, мы скажем в следующем параграфе. Пока отметим только, что все эти данные очень малочисленны и неточны, так как в настоящее время нет никаких надежных методов измерения лагранжевых статистических характеристик турбулентности. Поэтому имеет смысл хотя бы вкратце остановиться на вопросе о возможных методах теоретического определения таких характеристик — непосредственно или исходя из их связи с гораздо лучше изученными эйлеровыми статистическими характеристиками, описывающими случайное поле

Легко понять, что задача об определении лагранжевых статистических характеристик по эйлеровым не может быть простой,

В самом деле, в силу основных формул

являющихся фактически определением величин и лагранжевы величины в момент зависят от значений эйлерова поля и во всех точках случайной траектории Траектория же эта определяется как решение системы интегральных уравнений

в свою очередь содержащих поле Поэтому распределение вероятностей для каждой лагранжевой величины будет, вообще говоря, зависеть от всего бесконечномерного распределения вероятностей для значений в функциональном пространстве всевозможных векторных При этом даже и связь между распределениями в функциональном пространстве полей оказываете» очень сложной, и попытки явно описать ее так и не привели к результатам, могущим быть примененными к каким-либо конкретным турбулентным течениям (см. Ламли (1962б)).

Рассмотрения распределений вероятностей в функциональном пространстве можно избежать, допустивчто функции — аналитические по всем переменным и поэтому разлагаются в ряды Тэйлора. Исходя отсюда, можно заключить, что и все лагранжевы величины в этом случае должны как-то выражаться через значения эйлеровой скорости и всех ее частных производных в одной-единственной точке пространства — времени. И действительно, представив значения в виде степенных рядов

можно с помощью (9.76) преобразовать коэффициенты этих рядов к виду

т. е. выразить их через эйлеровы величины, относящиеся к точке Из формул (9.78) — (9.79) вытекают некоторые важные общие выводы; например, как было замечено Ламли (1962а), отсюда сразу следует, что если случайное поле и является статистически однородным, то статистически однородными будут и случайные поля (этим обстоятельством мы фактически уже пользовались в п. 9.3). Если, однако, применить эти формулы для определения лагранжевых статистических характеристик, то результаты окажутся малоутешительными: для всех моментов полей этом получаются очень сложные представления в виде суммы бесконечного числа одноточечных эйлеровых статистических характеристик, умноженных на различные степени Ясно, что практически использовать такие представления для конкретного подсчета лагранжевых характеристик можно лишь при очень малых значениях при которых всеми членами рядов (9.78), кроме небольшого числа первых из них, можно пренебречь. В частности, в применении к лагранжевой корреляционной функции поля скорости таким образом удается оценить лишь члены порядка не выше причем уже для членов порядка получаемая оценка оказывается довольно сложной (см. гл. 7 в ч. 2 настоящей книги).

Лишь в случае членов нулевогр порядка по (т. е. относящихся к моменту времени дело обстоит совсем просто, так как по определению Поэтому, например, Оказывается, что в случае несжимаемой жидкости и статистически однородного поля (а следовательно, и поля аналогичный результат имеет место и для всех вообще одноточечных характеристик поля скорости. Наметим здесь вкратце его доказательство, следуя работе Ламли (1962а). Выберем в пространстве точек х объем и рассмотрим интеграл вида где некоторая функция от трех переменных. Перейдем в этом интеграле от

переменных к новым переменным где . В случае несжимаемой жидкости (и только в этом случае) такой переход очень упрощается тем, что соответствующий якобиан здесь, как мы знаем, тождественно равен единице (см. формулу (9.6) на стр. 464). Следовательно, в этом случае

где область пространства, которую в момент заполняет жидкость, заполнявшая в момент область Если, кроме Того, поля являются статистически однородными, то средние значения функций под знаком интеграла с обеих сторон (9.80) не зависят от координат. Тем не менее, мы не можем просто осреднить обе стороны равенства (9.80) и вынести средние значения функции из под знака интеграла, поскольку область интегрирования правой части является случайной и зависит от поля Так как, однако, пространство, заполненное жидкостью, неограниченно (иначе не могло бы быть однородности), то мы можем при любом фиксированном выбрать за например, шар сколь угодно большого радиуса. В частности, мы можем выбрать его радиус настолько большим, чтобы область отличалась от только некоторой частью (неправильной формы), расположенной сравнительно близко от границы и имеющей объем, который с очень большой вероятностью не будет превосходить достаточно малой части полного объема шара При этом, заменив в правой части (9.80) интеграл по аналогичным интегралом, распространенным по фиксированной области мы с очень большой вероятностью внесем этим лишь очень малую относительную ошибку. Осреднив теперь обе части полученного приближенного равенства и разделив результат на объем найдем

где мы пишем уже знак точного равенства, так как относительная ошибка здесь может быть сделана сколь угодно малой, если только выбрать достаточно большую область . В частности, если — это характеристическая функция лагранжевой скорости характеристическая функция эйлеровой скорости Поэтому в случае однородной турбулентности в несжимаемой жидкости распределения вероятностей для эйлеровой и для

гранжевой скорости во все моменты времени совпадают между собой. Таким образом, в однородной турбулентности невозможны парадоксы того типа, с которым мы встретились в случае пограничного слоя, где но

Разумеется, все наше рассуждение относится только к одноточечным распределениям вероятностей; для распределений, относящихся к двум моментам времени, выделенное курсивом утверждение уже будет, вообще говоря, неверным. Поэтому для лагранжевой корреляционной функции отсюда следует лишь, что в случае однородной турбулентности

но ничего не следует о форме зависимости от Заметим, однако, что если поле скорости является не только однородным, но и стационарным, то и функция будет стационарной по (этим обстоятельством мы также фактически уже пользовались выше). В самом деле, представив в виде ряда Тэйлора (9.78)- (9.79) (с заменой на на можно записать корреляционную функцию как сумму одноточечных эйлеровых характеристик (относящихся к точке умноженных на степени х. Поэтому, если соответствующие эйлеровы одноточечные характеристики не зависят от (в силу стационарности и однородности поля и то

Равенство (9.81) выше, было доказано для идеализированного случая однородной турбулентности в безграничном пространстве; однако близкое равенство может быть установлено и для турбулентного течения в бесконечно длинной прямой трубе.

В этом случае надо только принять за достаточно длинный отрезок трубы между сечениями При любом фиксированном — мы можем выбрать а столь большим, чтобы область отличалась от лишь небольшими кусками неправильной формы вблизи краев суммарный объем которых очень мал по сравнению с полным объемом Но тогда после деления обеих частей равенства (9.80) на объем и последующего осреднения мы получим в правой части величину, почти не отличающуюся от объемного среднего значения функции взятого по цилиндрическому объему, ограниченному сечениями и стенками трубы. В левой же части будет стоять величина которую при достаточно большом вообще можно

считать не зависящей от х (ср. стр. 477). В частности, при мы таким образом получаем равенство о котором шла речь на стр. 477.

Вернемся теперь опять к простейшему случаю однородной и стационарной турбулентности. В этом случае и причем без ограничения общности можно даже считать (как мы и будем делать в дальнейшем), что (это эквивалентно простому переходу к новой инерционной системе координат). Если лагранжев корреляционной тензор рассматриваемой турбулентности, а — пространственно-временной эйлеров корреляционный тензор, то, как мы знаем, . Однако значения при вообще говоря, уже не могут быть выражены через значения В связи с отсутствием надежных данных о функции некоторые авторы пробовали предположить, что (см., например, работу Болдуина и Майкельсена (1962), содержащую также сопоставление следствий из этой равенства с эмпирическими данными); но, такое предположение не имеет никаких теоретических оснований. Более естественно предположить, что лагранжевы коэффициенты корреляции не суммируется!), описывающие связь между компонентой скорости фиксированной жидкой частицы в моменты времени будут убывать с ростом медленнее, чем эйлеровы коэффициенты корреляции описывающие связь между скоростями разных элементов жидкости, оказывающихся в момент и в момент одной и той же точке пространства. Если это так, то при для всех должно выполняться неравенство Из последнего неравенства, в частности, следует, что лагранжево время корреляции (лагранжев макромасштаб времени) должно быть больше эйлерова времени корреляции (макромасштаба времени) а лагранжев микромасштаб времени точно также должен быть больше

эйлерова микромасштаба Непосредственная проверка этих выводов пока, к сожалению, остается невозможной из-за отсутствия данных одновременных измерений эйлеровых и лагранжевых временных масштабов в условиях, близких, к тем, которые отвечают однородной и стационарной турбулентности. Однако, как заметил Корсин (1963), сопоставление результатов измерений эйлеровых пространственно-временных корреляционных функций поля скорости, выполненных Фавром, Гавильо и Дюма (1953) в аэродинамической трубе за турбулизирующей решеткой, с данными диффузионных экспериментов Уберои и Корсина (1953), проводившихся в аналогичных условиях, дает некоторые основания думать, что в таких условиях В случае же, когда средняя скорость отлична от нуля и сравнительно велика, можно ожидать, что коэффициент корреляции будет убывать с ростом еще значительно быстрее, чем при как теперь он описывает связь между скоростями элементов жидкости, проносящихся в моменты с большой скоростью мимо одной и той же точки пространства, т. е. фактически находящихся на большом расстоянии друг от друга). Идействительно, и Паскуил (1959), предположив, что

(где направление оси совпадает с горизонтальным направлением, перпендикулярным среднему ветру), нашли из эмпирических данных о горизонтальной диффузии в атмосфере, что в первом (весьма грубом) приближении (см. ниже стр. 513).

Из равенства (9.82), очевидно, следует, что и поэтому значению отвечает очень значительное превышение лагранжевых временных масштабов над эйлеровыми.

Предположение (9.82) о совпадении формы лагранжёвой и эйлеровой временных корреляционных функций, часто, использующееся в исследованиях о турбулентной диффузии, можно считать допустимым лишь по той причине, что на самом деле точная форма функций , во многих случаях оказывается не очень существенной (см., например, выше стр. 476). Никаких теоретических оснований это предположение не имеет. Более того, в гл. настоящей книги будет показано, что при очень больших значениях числа Рейнольдса при в то же время эйлерова временная

корреляционная функция при очень большом и условии (выполняющемся в опытах и Паскуила) для таких имеет вид снова является линейной по если Корсин (1963), где исходя отсюда приближенно оценивается зависимость отношений различных временных масштабов от числа Рейнольдса). Таким образом, при соотношение (9.82) заведомо не может выполняться при всех 1. О поведении же лагранжевой и эйлеровой корреляционных функций при значениях сравнимых с соответствующими временами корреляции, в общем случае вообще ничего нельзя сказать. Поэтому теоретическое определение вида функций оказывается возможным только на основе каких-либо специальных чисто эмпирических или же полуэмпирических гипотез.

Сафмен (1963) приближенно подсчитал значения функции для одного конкретного вида эйлеровой пространственно-временной корреляционной функции предположив, что в соотношении (9.22) скорость при можно заменить эйлеровой скоростью Однако мы уже отмечали, что такое предположение необоснованно; поэтому на нем не стоит задерживаться. Ииоуэ (1950—1951) и Огура (19526) рассмотрели модель турбулентного движения (задаваемого в виде совокупности возмущений поля скорости различных масштабов), в которой лагранжевы корреляционные функции оказались все задающимися следующей универсальной формулой: при при Позже, одиако, Ииоуэ (1952, 1959) пришел к выводу, что более удобной является другая модель, в которой Грант (1957) использовал для подсчета функций специальную гипотезу о пути перемешивания и пришел при этом к более сложной (но также универсальной) формуле: при при позже тот же результат получил Мацуока (1960) с помощью небольшого изменения первой модели Ииоуэ, о которой говорилось выше. Еще одну модель турбулентности предложили Вандель и Кофед-Ханзен (1962); в этой модели для лагранжевой корреляционной функции уже не получилось универсальной формулы, но зато эта функция оказалась довольно просто выражающейся через эйлерову временную корреляционную функцию. На самом деле, одиако, лагранжева корреляционная функция не имеет одну и ту же форму во всех однородных и стационарных турбулентных течениях и не может быть однозначно выражена через эйлерову временную или простраиственно-времеииую корреляционную функцию. Поэтому все перечисленные здесь результаты могут рассматриваться лишь как некоторые приближения к действительности, степень точности которых пока не может быть выяснена из-за отсутствия надежных эмпирических данных.