10.4. Диффузия в поле однородной турбулентности и в поле простейших течений с градиентом скорости

Распространение примеси от источников в случае однородной турбулентности

Вернемся к простейшему случаю диффузии в идеализированной модели однородной и стационарной турбулентности с постоянной средней скоростью (которую, как обычно, мы будем предполагать направленной вдоль оси Направдм оси координат по главным осям тензора дисперсии (считая ось одной из главных осей) и пренебрежем молекулярной диффузией по сравнению с турбулентной. Воспользовавшись еще тем, что согласно эмпирическим данным плотность вероятности в случае однородной турбулентности при всех близка к плотности многомерного нормального распределения (причем при больших значениях это обстоятельство имеет и определенное теоретическое оправдание), мы можем для поля осредневной концентрации отвечающей начальному значению написать формулу

При этом для решения любых вопросов, относящихся к осред» ненной концентрации надо только знать дисперсии компонент смещения жидкой частицы за время которые выражаются по формуле (9.31) через соответствующие лагранжевы корреляционные функции В частности, при и три лагранжевых масштаба времени) можно

принять, что при этом правая часть (10.57) будет совпадать с решением уравнения

(являющегося частным случаем уравнения при начальном условии (случай мгновенного точечного источника в то распределение (10.57) будет описывать эллипсоидообразное облако примеси, концентрация которой убывает при удалении от центра по закону Гаусса. Центр этого облака находится в точке (т. е. перемещается со средней скоростью течения), а максимальная концентрация (в центре) Пропорциональна (т. е., например, при убывает с ростом пропорционально ). Если (случай мгновенного линейного источника вдоль то облако примеси при любом х будет иметь форму цилиндра эллиптического сечения с осью на прямой . В этом случае максимальная концентрация пропорциональна т. е. при больших значениях х убывает пропорционально . В случае непрерывно действующего точечного источника в точке постоянной производительности следует пользоваться формулами (10.6) и (10.12), причем при мы можем в последней из них без большой ошибки заменить на После этого интеграл по в (10.6) легко берется в явном виде, и в результате получается формула

Формула (10.59) описывает струю примеси, имеющую форму эллиптического параболоида, вытянутого вдоль оси При эта формула может быть преобразована к виду

показывающему, что на большом расстоянии от источника при фиксированных концентрация примеси убывает примерно пропорционально а при фиксированном X и возрастании расстояния от оси струи вблизи оси она убывает экспонен

циально. Точно так же в случае стационарного линейного источника на оси производительности единицу длины) формулы (10.8) и (10.12) при тогда, когда можно принять, что приводят к соотношению

где — функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя второго рода). В частном случае, когда , решение (10.61) можно упростить, представив его в виде

Отсюда видио, что в случае стационарного линейного источника концентрация примеси в поле однородной турбулентности с постоянной средней скоростью убывает при (и фиксированном Z) примерно пропорционально

Продольное рассеяние примеси в прямой трубе или канале

Перейдем теперь к значительно более сложной задаче о турбулентной диффузии в потоке с градиентом скорости. Интересные результаты здесь удается получить лишь для отдельных частных классов течений. Начнем с практически важного случая продольной диффузии примеси в прямой длинной трубе. (или прямом канале). Важность этого случая диффузии связана, в первую очередь, с тем, что измерение скорости продольного распространения примеси в трубе часто оказывается наиболее доступным методом измерения средней скорости течения (и для турбулентных течений, и даже для ламинарных). По этой причине продольное рассеяние уже сравнительно давно привлекло внимание экспериментаторов (см., например, исследования рассеяния при ламинарном течении в кровеносных сосудах и в стеклянных капиллярах, перечисленные в статье Тэйлора (1953), и работу Аллена и Е. Тэйлора (1923) о рассеянии при турбулентном течении в трубе). Эксперименты, описанные в перечисленных работах, состояли в том, что в какой-то момент времени в трубу в некоторой точке вводилась определенная масса примеси (т. е. имитировался мгновенный точечный источник). Затем нанекотором расстоянии X от этой точки вниз по течению измерялось изменение во времени средней (по Сучению трубы) концентрации примеси Естественно, что

в течение некоторого времени после введения примеси в трубу ее концентрация в точке X будет равна нулю. Пусть момент, в который в точке X впервые обнаруживается примесь; тогда величина итал очевидно, будет равна максимальной скорости течения в трубе (т. е. в случае осесимметричных труб — скорости течения на оси трубы). Средняя же скорость течения может быть определена по формуле где время, соответствующее некоторой характерной точке функции

Согласно экспериментальным данным (полученным в прямых круглых трубах) продольное рассеяние примесей в трубах обладает следующими примечательными особенностями: (1) кривые соответствующие достаточно большим (по сравнению с радиусом трубы расстояниям X, оказываются приблизительно симметричными относительно своих максимумов, хотя распределение скорости течения по сечению трубы радиальная координата) симметрично относительно средней скорости если время соответствует максимуму кривой то совпадает со средней скоростью определяемой как отношение объема жидкости, вытекающего из трубы за единицу времени, к площади ее поперечного сечения (иначе говоря, центр тяжести продольного распределения концентрации перемещается вниз по течению со скоростью, равной именно этой средней скорости ширина кривой определяемая как квадратный корень из отношения увеличивается при возрастании расстояния X (или, что эквивалентно, времени пропорционально т. е. дисперсия имеет вид где некоторая постоянная; (4) величина которая, очевидно, играет роль «эффективного коэффициента продольной диффузии», имеет значение, во много раз превосходящее значение коэффициента радиальной (турбулентной или молекулярной) диффузии примеси. Особенно любопытна особенность (2), которая показывает, что определение максимума кривой От (0 Дает возможность измерить именно ту среднюю скорость которая наиболее интересна для большинства гидротехнических приложений, и особенность (3), согласно которой длина участка трубы (симметричного относительно точки содержащего, скажем, 90% (или 95%, или 99%) диффундирующей примеси, растет со временем как так что

ее отношение к среднему расстоянию этого участка от источника примеси непрерывно уменьшается. Заметим еще, что так как участок, заполненный примесью, движется со средней скоростью то жидкость вниз по течению от этого участка, находящаяся у оси трубы (и следовательно, движущаяся со скоростью, превышающей с течением времени догоняет, а затем и перегоняет этот участок.

Особенности продольного рассеяния примесей трубах были теоретически проанализированы (и проверены экспериментально) в работах Тэйлора (1953, 1954а,б), первая и третья из которых посвящены ламинарным, а вторая — турбулентным течениям. Опубликование этих работ обострило интерес к рассматриваемому явлению и способствовало выполнению ряда новых теоретических и экспериментальных исследований (Бэтчелора, Бинни и Филлипса (1955), Ариса (1956), Элдера (1959), Эллисона (1960), Сафмена (19626), Филипа (1963) и др.), уточнивших в некоторых деталях результаты Тэйлора и расширивших область их применимости. При этом, в частности, выяснилось, что перечисленные выше основные свойства (1) — (4) продольного распространения примеси могут быть просто объяснены, исходя из общих соображений о движений жидких частиц в прямых трубах и каналах. А именно, как отмечалось в конце п. 9.3, продольное перемещение жидкой частицы в прямой трубе (или прямом канале) при не слишком малом времени движения

—10 подчиняется тем же закономерностям, которые справедливы в случае однородной турбулентности в потоке жидкости с постоянной средней скоростью Следовательно, среднее значение продольной координаты жидкой частицы, находившейся в момент в точке при большом будет весьма точно определяться соотношением а дисперсия координаты будет иметь вид где эту постоянную мы записывали в виде Что же касается плотности вероятности Для значений то центральная предельная теорема теории вероятностей дает веские основания предполагать, что при больших эта плотность вероятности будет близка к плотности нормального распределения вероятностей. Отсюда вытекает, что продольное распределение облака примеси от мгновенного точечного источника через большое время будет иметь колоколообразную «гауссовскую» форму со средним значением и дисперсией Если фиксировано не а - время прохождения жидкой частицей фиксированного участка трубы длины X, то где

средняя лагранжева скорость частицы за время от до Поскольку при возрастании X пульсации времени прохождения становятся относительно все менее существенными, приближается к при достаточно большом X распределение вероятностей средней за время лагранжевой скорости будет с высокой степенью точности совпадать с распределением вероятностей средней за время лагранжевой скорости следовательно, при достаточно большом X

Пренебрегая здесь слагаемым (среднее значение которого имеет порядок и последующими слагаемыми еще более высокого порядка малости, найдьм, что при больших значениях X

где X — нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией При этом и сама величина будет иметь нормальное распределение вероятностей, но со средним значением и дисперсией где что вполне соответствует эмпирически установленным свойствам (1) — (3) продольного рассеяния примеси. Указанное выше свойство (4) также имеет простое объяснение, так как в данном случае продольная дисперсия облака примеси вызывается в первую очередь влиянием поперечного градиента средней скорости, т. е. порождается разностями скоростей заметно превосходящими как турбулентные пульсации продольной скорости приводящие к турбулентной диффузии, так и тем более молекулярные флюктуации, вызывающие молекулярную диффузию.

Если, однако, мы захотим оценить численные значения коэффициентов то приведенные соображения, опирающиеся на лагранжево описание течения жидкости, помогут нам мало. В самом деле, коэффициент К выражается через

лагранжев масштаб времени однако этот масштаб определяется по лагранжевой корреляционной функции скорости, и его очень трудно связать с непосредственно измеряемыми эйлеровыми статистическими характеристиками (так что обычно он сам оценивается только по данным диффузионных экспериментов). Оказывается, однако, что в рассматриваемом случае продольного рассеяния примесей в трубе или канале значение К можно довольно точно оценить, воспользовавшись полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии для эйлерова поля концентрации именно этот путь исследования и был применен в глубоких работах Тэйлора. Поскольку наша задача состоит в изучении асимптотических закономерностей при большом 1 (или X), следует ожидать, что полуэмпирическое уравнение здесь окажется достаточно точным, причем в данном случае его использование имеет еще и то преимущество, что при этом одна и та же теория может быть применена к рассеянию и в тур булентных, и в ламинарных течениях (в последнем случае приближенное полуэмпирическое уравнение заменяется точным уравнением молекулярной диффузии Следуя Тэйлору (1953, 1954а), предположим, что средняя концентрация О не зависит от угловой переменной и поэтому запишем уравнение диффузии (10.55) (или в ламинарном случае уравнение для диффузии в прямой круглой трубе в виде

Далее нам будет удобно перейти к системе отсчета, движущейся со средней скоростью течения жидкости, т. е. заменить продольную координату X на координату о); кроме того, вместо мы введем безразмерную радиальную переменную где радиус трубы. Ориентируясь на указанную выше особенность (4) продольного рассеяния примесей в трубах, установленную по экспериментальным данным, мы сразу же пренебрежем в уравнении (10.65) слагаемым описывающим продольную диффузию примеси (учет этого слагаемого почти не изменит рассуждений и приведет лишь к небольшой поправке в окончательном результате, кото» рая будет указана ниже). Тогда уравнение (10.65) в переменных примет вид

Мы будем использовать это уравнение для описания распределения концентрации соответствующего наличию в момент в точке мгновенного точечного источника примесц. Предварительно сравним интервалы времени в течение которых концентрация примеси в фиксированной точке трубы может существенно измениться вследствие одного только переноса примеси осредненным течением (конвекции) и одной только поперечной диффузии. Можно положить где (0 — стандартное отклонение распределения концентрации примеси осредненной по сеченйю трубы. С другой стороны, есть время, в течение которого поперечная диффузия приводит к выравниванию неоднородностей распределения концентрации по сечению трубы, и можно положить где — некоторое типичное значение коэффициента поперечной диффузии. Ясно, что значение а потому и растет со временем распространения примеси х (согласно приведенным выше теоретическим соображениям и экспериментальным данным — асимптотически пропорционально тогда как не меняется со временем. Поэтому при достаточно большом будет выполняться неравенство

Ограничимся рассмотрением лишь таких больших при которых уже выполняется неравенство (10.67), и вычислим значение полного потока примеси через сечение трубы (напоминаем, что так что сечение движется вдоль трубы со скоростью Очевидно,

где сечение трубы; отсюда видно, что может быть отлично от нуля лишь при наличии радиальных неоднородностей поля концентрации О. При условии (10.67) такие радиальные неоднородности весьма быстро выравниваются; поэтому достаточно длительно могут существовать лишь очень слабые неоднородности, постоянно создаваемые неоднородным конвективным переносом примеси и «приспосабливающиеся» к этому переносу в том смысле, что для них эффекты конвекции и поперечной диффузии балансируются, Такие неоднородности удовлетворяют

уравнению

(здесь в левой части мы заменили на вследствие малости радиальных неоднородностей Из (10.69) получаем

после этого формула (10.68) легко приводится к виду

где

Подставляя полученное выражение для в уравнение выражающее закон сохранения количества примеси (это уравнение может быть выведено, например, интегрированием всех членов уравнения диффузии (10.66) по сечению трубы), получим Отсюда видно, что продольное рассеяние примеси относительно плоскости, движущейся вдоль трубы со скоростью происходит совершенно аналогично молекулярной диффузии (т. е., в частности, также приводит к гауссовскому распределению концентрации по направлению но с коэффициентом диффузии К, определяемым формулой (10.70). Следовательно, пространственная дисперсия продольного распределения примеси будет равна и, значит, где Учитывая, кроме того, что, согласно (10.70), К есть величина порядка мы можем привести условие (10.67), при котором были справедливы наши рассуждения, к виду

Нам остается лишь вычислить значения коэффициента К для ламинарных и для турбулентных течений. В первом случае в формуле (10.70) для К в соответствии с формулой (1.23) следует положить и принять где коэффициент молекулярной диффузии рассматриваемой примеси. Тогда формула (10.70) для К легко приводится к виду

так что — За исключением чрезвычайно медленных течении в особо тонких капиллярах, число значительно превосходит единицу, так что Нетрудно видеть, что при учете также и молекулярной диффузии, т. е. при сохранении слагаемого в уравнении (10.65), мы вместо (10.72) получили бы формулу » обычно почти не отличающуюся от (10.72).

Ясно, что если бы скорость была постоянной, то продольная диффузия определялась бы лишь значением коэффициента х; таким образом, наличие поперечного градиента скорости приводит к резкому увеличению продольной дисперсии примеси. Любопытно отметить, что поперечная диффузия, наоборот, задерживает продольное рассеяние примеси: согласно (10.72), с увеличением значение К уменьшается. Если бы поперечной диффузии не было, то, как нетрудно убедиться с помощью уравнения переноса, распределение примеси, вначале сосредоточенное на участке трубы очець малой длины (и равномерное по сечению трубы), за время превратилось бы в равномерное распределение, при котором на участке длиной вне этого участка. При наличии же поперечной диффузии оно, как мы видели, превращается в гауссовское распределение, в котором почти вся примесь сосредоточена на участке трубы длины при достаточно большом весьма малой по сравнению с

Поскольку значение К нетрудно определить экспериментально с помощью измерений концентрации или то использование формулы (10.72) открывает возможность получения по данным таких экспериментов значений коэффициента молекулярной диффузии Этот метод измерения величины был проверен Тэйлором (1953), экспериментально исследовавшим диффузию марганцевокислого калия в стеклянных

капиллярах и получившим исходя отсюда значение коэффициента молекулярной диффузии этого вещества, хорошо согласующееся с данными других измерений. Специально обсуждению такого метода измерения посвящена также статья Тэйлора (1954б).

В случае турбулентного течения при достаточно большом числе Рейнольдса (таком, что толщина вязкого подслоя составляет пренебрежимо малую долю радиуса осредненную скорость можно задать с помощью «закона дефекта скорости» (5.41):

где «динамическая скорость», определяемая по напряжению трения на стенке трубы. Учитывая, что турбулентное напряжение трения в круглой трубе имеет вид (см. (5.17)), и приняв гипотезу о том, что турбулентный коэффициент диффузии точно совпадает с турбулентным коэффициентом вязкости (т. е. воспользовавшись аналогией Рейнольдса, по терминологии , можно представить радиальный коэффициент диффузии в виде

Используя значения функции полученные с помощью обработки данных измерений Никурадзе и других исследователей, Тэйлор (1954а) получил по формуле (10.70) значение (так что с в формуле (9.39) на стр. 478). К этому значению К нетрудно ввести поправку за счет продольной турбулентной диффузии, вычислив соответствующий поток примеси через сечение трубы

Для грубой оценки можно принять простое предположение, что тогда где для К численное интегрирование дает значение Величина К очень мала по сравнению с К, но поскольку для все равно удается получить лишь приближенное численное значение, целесообразно все же добавить К к полученному выше значению К, т. е. принять формулу

(неточность гипотезы, использованной при вычислении К, здесь вряд ли может, иметь какое-нибудь значение в силу относительной малости всего слагаемого К).

Результат (10.74) оказывается хорошо согласующимся с эмпирическими данными о продольном распространении примеси в достаточно длинных прямых круглых трубах. Так, например, опытные данные Аллена и Е. Тэйлора (1923), касающиеся диффузии соли в потоке воды в прямых круглых (но не очень длинных) трубах, приводят к значению для одной серии экспериментов и для другой (см. Тэйлор В аналогичных опытах самого Тэйлора (проводившихся при участии Эллисона), в которых использовалась значительно более длинная гладкая труба, при условиях, наиболее точно соответствующих описанной выше теории, было получено значение ; при использовании же трубы с сильно шероховатыми стенками оказалось, что Зависимость концентрации от времени во всех перечисленных опытах на достаточно большом расстоянии от источника примеси близко соответствовала гауссовской кривой (см., например, рис. 81, воспроизводящий данные одного из опытов Тэйлора). В случае же изогнутых труб или, например, промышленных нефтепроводов, никогда не бывающих идеально прямыми, значения естественно, оказываются уже заметно отличающимися от приведенного выше теоретического значения для прямых труб; в ряде случаев здесь принимает значения, близкие к 20 (Тэйлор

Рис. 81. Зависимость концентрации соли в фиксированном сечении прямой трубы от времени по данным Тэйлора (1954а).

Совершенно аналогично может быть рассмотрена и задача о продольном распространении примеси в широком прямом канале, ограниченном стенками (роль верхней стенки может играть также свободная поверхность жидкости). Эта задача рассматривалась в работах Элдера (1959), Эллисона (1960) и Сафмена (19626). В первых двух указанных работах был применен изложенный выше метод Тэйлора, а в третьей — изящный метод Ариса (1956), при котором из

полуэмпирического уравнения диффузии (10.55) (или уравнения молекулярной диффузии прежде всего выводятся уравнения для моментов

Нетрудно видеть, что, например, в случаях, когда равно 0, 1 или 2 и используется уравнение (10.55), эти уравнения будут иметь вид

аналогично выглядят и уравнения для моментов и моментов высших порядков. Полученные уравнения можно решать последовательно при начальных и граничных условиях, следующих из начальных и граничных условий для концентрации . В таком случае асимптотическое поведение полученных решений будет описывать среднее распределение примеси при больших, значениях в плоскости (т. е. в тонком слое, окружающем высоту с точностью до моментов того порядка, на котором была оборвана система уравнений для величин (10.75). Аналогично этому асимптотическое поведение величин будет с той же степенью точности описывать среднее распределение примеси во всем трехмерном объеме, занятом жидкостью. Окончательные результаты, получаемые на этом пути, разумеется, оказываются такими же, как и при применении метода Тэйлора. Согласно этим результатам, если примесь была внесена в поток в момент в точке где и она не поглощается стенками, то центр тяжести соответствующего облака примеси в момент асимптотически (при больших значениях будет иметь координаты где т. е. будет горизонтально перемещаться вдоль оси со скоростью По вертикали примесь будет распределена асимптотически равномерно (в том смысле, что любой слой жидкости

фиксированной толщины при большом будет содержать одно и то же количество примеси), причем центр тяжести примеси в каждом слое также будет перемещаться с асимптотически постоянной скоростью для разных слоев координаты центра тяжести примеси будут при больших х различаться на постоянную величину, зависящую от соответствующих значений и формы профилей Распределение примеси в плоскостях в момент будет при большом близко к распределению Гаусса с нулевым средним значением и дисперсией

Распределение же примеси в плоскостях будет близко к распределению Гаусса со средним значением и дисперсией

где

(ср. (10.70)). Дисперсия распределения примеси по направлению в тонком слое вблизи фиксированной высоты также будет иметь асимптотическую форму (10.78), но постоянное слагаемое здесь, вообще говоря, будет зависеть от

Сафмен исследовал продольную диффузию в плоском канале между двумя твердыми стенками, рассматривая ее как возможную модель распространения примеси в. атмосфере при наличии инверсионного слоя, преграждающего дальнейший подъем примеси на некоторой фиксированной высоте Я. Поскольку такая модель является довольно грубой, профиль скорости ветра н он также описывал лишь очень схематически: Кроме простейшего случая ламинарного течения Куэтта, когда и, следовательно, согласно (10.78) -(10.79),

им был разработан еще лишь случай, когда где и (в соответствии с аналогией Рейнольдса)

В этом последнем случае интеграл, входящий в первую формулу (10.79), также берется в явном виде, и мы получаем

Элдер рассмотрел диффузию в канале со свободной поверхностью на высоте и сравнил полученные при этом результаты с данными специальных экспериментов, в которых исследовалось расплывание капель раствора марганцевокислого калия в слегка наклонном лотке, по которому свободно стекала вода. Здесь уже требовалось подобрать форму профиля средней скорости, хорошо соответствующую реальному течению в лотке, причем результат оказался весьма чувствительным даже к небольшим изменениям этой формы. В работе Элдера предполагалось, что профиль скорости в открытом канале дается логарифмической формой «закона дефекта скорости» (5.43) с постоянной Кармана тогда, если определять с помощью аналогии Рейнольдса и принять, что то оказывается, что

Согласно данным измерений Элдера, что примерно втрое превосходит соответствующее значение (10.82); одним из возможных объяснений получившегося расхождения может служить несправедливость гипотезы о равенстве трех коэффициентов вместо этого принять, что (напомним, что и обычно оказывается меньшим, чем стр. 236), то коэффициент продольной диффузии станет равным Это значение оказывается уже весьма хорошо соответствующим определенному из экспериментов значению даже лучше, чем можно было ожидать, учитывая, что указанные опыты производились при сравнительно небольшом значении числа небольших и в условиях, не позволяющих рассчитывать на высокую точность получаемых данных. Впрочем, по мнению Эллисона (1960), полученное совпадение должно в значительной

мере считаться случайным, так как около свободной поверхности логарифмическая форма профиля скорости не может служить хорошей аппроксимацией. В этой связи Эллисон повторил расчеты Элдера, приняв, что профиль скорости задается формулой Согласно его результатам, значение существенно зависит от значения коэффициента входящего в причем экспериментальным данным Элдера лучше всего соответствует значение