5.6. Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке

Перейдем теперь к рассмотрению турбулентного пограничного слоя на длинной плоской пластинке при постоянной скорости набегающего потока. Осредненное движение в таком пограничном слое будет стационарным и почти плоскопараллельным; во многом оно будет близким к течению в трубе, радиус которой равен толщине пограничного слоя, а скорость на оси — скорости вне этого слоя. Имеются, однако, по крайней мере две причины, нарушающие аналогию между течениями в трубах

и в пограничном слое. Во-первых, физические условия на внешней границе пограничного слоя весьма отличны от условий в центре трубы: вне пограничного слоя (т. е. при турбулентность обычно вовсе отсутствует, в то время как течение в трубе всюду является полностью турбулентным. Во-вторых, характеристики пограничного слоя зависят не только от нормальной к пластинке координаты но также (хоть и сравнительно слабо) и от продольной координаты х, отсчитываемой вдоль пластинки. Указанные причины приводят к тому, что с теоретической точки зрения течение в пограничном слое оказывается значительно сложнее течений в канале или трубе.

Разница между течениями в пограничном слое и в трубах и каналах не затрагивает тонкого слоя жидкости, непосредственно примыкающего к пластинке, в котором действует универсальный «закон турбулентности вблизи стенки» (5.13). Как хорошо видно из рис. 25, на котором все точки ложатся на одну и ту же кривую, этот закон одинаков и для труб, и для каналов, и для пограничных слоев. Величина и, входящая в формулу (5.13), в пограничном слое, разумеется, может изменяться при изменении это изменение, однако, оказывается довольно медленным (см. ниже стр. 277), так что в каждом сечении поток успевает приспособиться к местным условиям и зависит уже лишь от значения и при данном х. Изменяется с ростом х также и относительная толщина слоя, к которому приложим закон (5.13): если при малых не превышающих формулой (5.13) еще можно с известным основанием пользоваться при всех вплоть почти до самой границы турбулентного пограничного слоя, то при порядка суммарная толщина вязкого подслоя и логарифмического пограничного слоя уже не превосходит 10—20% от толщины 6. Это последнее обстоятельство, очевидно, отличает течение около плоской пластинки от течений в трубах и каналах, где при всех логарифмическими формулами можно без большой ошибки пользоваться вплоть до оси трубы или середины канала.

Профиль средней скорости во внешней части пограничного слоя естественно характеризовать зависимостью от дефекта скорости Если исходить из хорошо подтверждающегося на опыте предположения, что для невозмущенного пограничного слоя профиль скорости в каждом сечении зависит лишь от локальных условий, относящихся к этому же сечению, то разность должна определяться значениями и , параметрами жидкости и (в случае шероховатой пластинки) характеристиками шероховатости при данном х. Согласно общему принципу подобия по числу Рейнольдса следует

ожидать, что во внешней части течения, достаточно далеко отстоящей от стенки, вязкость и характеристики шероховатости будут сказываться только через посредство величины напряжения трения на стенке динамической скорости или локального коэффициента трения Отсюда вытекает следующая общая форма закона дефекта скорости для пограничного слоя:

(см. Ротта (1962а, б)). Для проверки этого закона целесообразно построить на графике значения а в виде функции от и попытаться выяснить характер рассеяния экслериментальных точек в зависимости от значений отношения При этом, однако, оказывается, что это рассеяние полностью покрывается обычным разбросом экспериментальных точек, так что с точностью до погрешностей измерении все значения прекрасно ложатся на одну кривую (см., например, рис. 35, заимствованный из обзорной статьи Клаузера (1956)). Таким образом, зависимость отношения от медленно меняющейся с изменением величины если только она имеет место, является крайне слабой. Это означает, что на практике закон дефекта скорости для пограничного слоя на плоской пластинке может быть записан в виде

полностью аналогичном тому, который использовался выше при рассмотрении течений в трубах и каналах.

По сравнению с законом дефекта скорости (5.41) для труб и каналов закон (5.54) имеет лишь один недостаток: в то время как в (5.41) фигурирует известная точно длина Ни в формулу (5.54) входит толщина пограничного слоя 6, не имеющая точного определения и лишь весьма приближенно определяемая по данным эксперимента. В то же время отношение длины 6 к более точно определяемым толщинам типа, например, толщины вытеснения в турбулентном пограничном слое (в отличие от

ламинарного) оказывается переменным (зависящим от В частности, если выполняется закон (5.54), то из самого определения (1.53) толщины вытеснения следует, что

(толщиной вязкого подслоя, к которому неприложим закон (5.54), здесь пренебрегается).

Рис. 35. Проверка закона дефекта скорости для турбулентного пограничного слоя по данным разных авторов.

Учтя это соотношение, Ротта (1951а) предложил использовать в формуле (5.54) вместо аргумента безразмерный аргумент не содержащий величины ; в силу (1.53) этот аргумент удобен также и тем, что для него тождественно выполняется условие нормировки Предположим теперь, что и, где при тогда, очевидно,

Следовательно, при обработке наблюдений вполне можно заменить 6 на и если окажется однозначной функцией от то это значит, что выполняется и закон (5.54).

Разумеется, равенство (5.54) не может выполняться вплоть до так как оно не содержит вязкости и не учитывает граничного условия Непосредственно около етенки действует универсальный закон (5.13) и, как мы уже видели, в области, к которой применимы одновременно оба эти закона, функции обязательно будут логарифмическими. Поэтому неудивительно, что после переноса данных рис. 35 на новый график, на котором по оси абсцисс нанесена логарифмическая шкала, функция в пределах от и до примерно представляется прямой вида (см. рис. 36, где учтена лишь часть точек, приведенных на рис. 35).

Рис. 36. Логарифмическая форма закона дефекта скорости для пограничного слоя.

Отметим, что коэффициент здесь имеет точно то же значение, что и на рис. 31, относящемся к плоским каналам, как это и должно быть в силу универсальности логарифмического закона (5.25); коэффициент же для каналов и для пограничных слоев оказы вается различным. Кроме того, из сравнения рис. 36 с рис. 31 видно, что при функция для пограничных слоев заметно более резко отклоняется от прямой чем та же функция для плоских каналов. Согласно данным Хама (1954)

значения функции Для пограничных слоев в области хорошо описываются эмпирической формулой в случае же течений в плоских каналах функцию при можно неплохо описать формулой с коэффициентами лишь немного отличающимися от

Существенная разница между профилем скорости в турбулентном пограничном слое около его внешней границы и профилем скорости в трубах и каналах около оси, естественно, объясняется различием между характером самого турбулентного течения во внешней части пограничного слоя и в центральной части трубы или канала. Заметим в этой связи, что в отличие от ламинарного пограничного слоя, не имеющего сколько-нибудь резкой границы, турбулентный пограничный слой обычно имеет отчетливую границу, выше которой турбулентность отсутствует. Эта граница имеет неправильные очертания, беспорядочно изменяющиеся во времени, как это хорошо видно на фотографиях турбулентного пограничного слоя, полученных с помощью метода теней, позволяющего визуализировать возмущенные области потока (см., например, рис. 37).

Рис. 37. Теневая фотография турбулентного пограничного елея на Цилиндре (из статей Ротта (1962а, б)). Направление течения — слева направо.

Соответствующая такой фотографии общая схема турбулентного пограничного слоя представлена на рис. 38. По данным измерений Клебанова (1955) верхняя граница турбулентного пограничного слоя в каждой

отдельной точке колеблется в пределах примерно от и до 1,26 (где — расстояние от стенки, на котором средняя скорость равна почти по нормальному закону со средним значением 0,786. Доля времени, в течение которого на расстоянии z от стенки наблюдается турбулентность, убывает с ростом z и при равняется всего лишь 0,06 (качественно близкие, хотя и отличающиеся количественно, результаты указывают также Корсин и Кистлер (1955)). Отсюда ясно, почему логарифмический профиль, характерный для развитой турбулентности, может с неплохой точностью применяться почти до центра канала или трубы, но в пограничном слое при большом сравнительно точно выполняется лишь для тонкого слоя жидкости, расположенного около стенки.

Рис. 38. Общая схема турбулентного пограничного слоя на плоской пластинке.

Вне этой пристеночной части течения в каждой точке быстро чередуются периоды наличия и отсутствия турбулентности, так что среднее значение скорости, получаемое при осреднении по достаточно большому промежутку времени, фактически оказывается средним между значениями скорости, отвечающими турбулентному и ламинарному потокам. Так как в ламинарном потоке обмен импульсом между соседними слоями жидкости гораздо меньше, чем в турбулентном потоке, и поэтому градиенты скорости более резки, то ясно, что во внешней части турбулентного пограничного слоя средняя скорость при удалении от стенки должна возрастать быстрее, чем по логарифмическому закону, что и подтверждается данными рис. 36. Естественно также, что в случае пограничного слоя,

возникающего при обтекании плоской пластинки турбулентным потоком, богатым возмущениями, различие между Условиями во внешней части этого слоя и в центре трубы должно быть менее значительным. И действительно, опыты Вигхардта (1944) и других исследователей, пропускавших обтекающий поток сначала через турбулизирующую решетку, показывают, что форма функции в. формуле (5.54) зависит от степени возмущенности потока вдали от пластинки и при увеличении этой степени возмущенности приближается к форме, характерной для течений в трубах и каналах.

Интересная попытка объединения универсального пристеночного закона (5.13) с законом дефекта скорости (5.54) была цредпринята Коулсом (1956). Исходя из (5.13), общий вид профиля средней скорости в каждом сечении пограничного слоя может быть представлен в виде

где функция, изображенная на рис. 25 (и обращающаяся в при поправка к универсальному закону (5.13), обращающаяся в нуль непосредственно вблизи пластинки (скажем, при Но в таком случае при и следовательно, чтобы удовлетворялся также и закон дефекта скорости, функция должна зависеть только от у. Исходя отсюда, Коулс предположил, что

где — постоянная Кармана, П — новая постоянная, а -функция от одного переменного, нормированная условием При этом еще остается некоторая неопределенность, связанная с тем, что толщина определяется не вполне однозначно; воспользовавшись этим, Коулс наложил на функцию дополнительное условие нормировки которое, как легко видеть, эквивалентно условию Тем самым он задал определенным образом коэффициент С в (5.55), т. е. указал точную связь масштаба с легко определяемой по экспериментальным данным

толщиной вытеснения величиной и параметрами .

Обработав большое число экспериментальных данных, относящихся к профилям скорости в пограничном слое на плоской пластинке (как при постоянном давлении, так и при наличии градиента давления в обтекающем потоке), Коулс обнаружил, что для широкого класса двумерных турбулентных пограничных слоев функция оказывается одной и той же. Таким образом, по данным Коулса внешние условия обтекания (включая сюда и распределение давления в свободном потоке) отражаются лишь на величине множителя П (который в случае сложного распределения давления приходится считать зависящим от координаты в простейшем случае безнапорного обтекания пластинки потоком постоянной скорости

Рис. 39. Универсальная функция следа по Коулсу (1956).

Универсальная функция полученная Коулсом с помощью обработки экспериментальных данных, изображена графически на рис. 39; она имеет почти точно антисимметричную -образную форму и неплохо аппроксимируется отрезком синусоиды при

Чисто формально в равенстве (5.57) можно перейти к пределу при (т. е. при с помощью (5.55) и условия при этом получается простой результат

Таким образом, функция задает форму профиля средней скорости в точке с т. е. в точке отрыва пограничного слоя, в которой (ср. схематический рис. 8 на стр. 85). Исходя отсюда, Коулс назвал функцию функцией следа, а закон (5.57), согласно которому отклонения профиля средней скорости в пограничном слое от универсального пристеночного закона (5.13) строго пропорциональны универсальной функции следа — законом следа. Общая форма профиля средней скорости удовлетворяющего этому закону следа, схематически показана на рис. 40. Здесь пунктиром изображено распределение средней скорости в верхней половине гипотетического турбулентного следа, создаваемое в основном взаимодействием турбулентного ядра этого следа со внешним ламинарным потоком и колебаниями границы между турбулентной и нетурбулентной частями течения в соответствии схемой рис. 38; разность средних скоростей в центре и на границе этого следа равна Если мы поместим в центре этого следа твердую пластинку, то распределение скорости в следе существенно изменится за счет того, что вблизи поверхности пластинки на поток начнет сильно воздействовать вязкость, приводящая к обязательному выполнению условия прилипания Это дополнительное ограничение в чистом виде порождает «универсальный пристеночный профиль», изображенный на рис. 40 линией из точек. В результате наложения этого «пристеночного профиля» на профиль в следе и получается реальный профиль скорости в турбулентном пограничном елое, изображенный на рис. 40 сплошной линией.

Как и в случае течений в трубе, из существования части течения, к которой приложим и пристеночный закон (5.13), и закон дефекта скорости (5.54) (с логарифмическими функциями вытекает, что локальный коэффициент трения должен удовлетворять уравнению вида

(ср. вывод уравнения (5.45) на стр. 254). Аналогично положению с законом (5.54) наличие в формуле (5.58) неточно определяемой толщины 6 делает эту формулу в таком виде неудобной для приложений; поэтому желательно заменить здесь каким-либо более легко определяемым масштабом длины.

Рис. 40. (см. скан) Схематическое изображение профиля скорости, удовлетворяющего закону следа Коулса.

Проще всего воспользоваться формулой (5.55), позволяющей переписать уравнение (5.58) в виде

Сравнение этого соотношения с данными непосредственных мерений значений локального коэффициента трения в различных точках пограничного слоя на гладкой, плоской пластинке, выполненных Шульц-Груновым (1940) и Смитом и Уокером (1959), приведено на рис. 41; оно показывает, что экспериментальные значения достаточно точно следуют правой части

Рис. 41. Зависимость локального коэффициента сопротивления для пограничного слоя на плоской пластинке от числа Рейнольдса по данным Шульц-Грунова и Смита и Уокера.

Несколько более сложно обстоит дело, если желать заменить 6 просто длиной х (отсчитываемой от начала пластинки). Для этого надо выразить толщину 6 через х, что можно сделать с помощью следующих приближенных рассуждений. Так как линии тока вихревого турбулентного движения в пограничном слое не выходят за границу этого слоя, средняя граница пограничного слоя должна совпадать с линией тока осредненного движения, расположенной на расстояний 6 от пластинки, Отсюда - вытекает, что угол наклона этой границы к оси должен равняться отношению средней вертикальной скорости (в направлении оси

к средней горизонтальной скорости в точках границы. Но средняя горизонтальная скорость на границе пограничного слоя равна что же касается средней вертикальной скорости, то она не зависит от а определяется лишь относительным пульсационным движением, связанным с переносом импульса в направлении; оси Следовательно, в силу соображений размерности эта вертикальная скорость должна быть пропорциональной динамической скорости и; составленной по значению при данном х. Отсюда вытекает соотношение

где числовой коэффициент (порядка единицы). Предположим еще, что пограничный слой является турбулентным, практически начиная с (рамой передней кромки пластинки, так что равенство (5.60) выполняется при всех х, начиная с (где Величина вообще говоря, является функцией от х, но поскольку она изменяется очень медленно, то, интегрируя равенство ее можно без большой ошибки вынести за знак интеграла (быть может, немного изменив одновременно значение коэффициента Отсюда получается приближенное равенство

Подставляя это равенство в уравнение (5.58), получим

Этот результат впервые был указан Карманом (1930, 1934) (пришедшим к нему из немного других рассуждений); он хорошо согласуется со старыми экспериментальными данными Кемпфа (1929) (полученными при помощи непосредственного динамометрического измерения локальных коэффициентов трения), так же как и с последующими эмпирическими данными

Шульц-Грунова (1940) и Дхавана (1952) (см. рис. 42, где коэффициенты выбраны так, чтобы получилось наилучшее совпадение с данными Кемпфа).

Рис. 42. Зависимость коэффициента сопротивления для пограничного слоя на плоской пластинке от числа Рейнольдса по данным Кемпфа, Шульц-Грунова и Дхавана. Кривая 1 — закон сопротивления Кармана кривая 2 — закон Шульц-Грунова (5.64); кривая 3 - закон Фокнера (5.66).

Заметим еще, что из сравнения численных значений коэффициентов и в формулах (5.59) и (5.62), приводящих к наилучшему сопоставлению с эмпирическими данными, можно оценить и значение коэффициента в формуле (5.61). В частности, если принять значения этих коэффициентов, использованные на рис. 41 и 42 (пренебрегая небольшим расхождением

в принятых значениях то для толщины определяемой формулой (5.55) с с тем значением С, которое принимает Коулс (1956)), получается 0,3.

В случае шероховатых пластинок предыдущие формулы должны быть изменены аналогично тому, как это делалось в случае шероховатых труб; например, формула (5.58) в применении к вполне шероховатой пластинке должна записываться в виде (5.45) (но с 6 вместо На этом, однако, мы уже не будем задерживаться (см., например, Шлихтинг (1951), гл. XXI, § 4).

Согласно является медленно убывающей функцией от х. Однако явное определение как функции от с помощью уравнения (5.62) является довольно сложным, и на практике обычно используются более простые интерполяционные или эмпирические формулы. Так, например, Шлихтинг (1936) (исходивший, правда, не из формулы Кармана (5.62), а из более сложных результатов Прандтля, изложенных, например, в книге Шлихтинга (1951)), предложил для расчетную формулу

(где lg - десятичный логарифм), дающую результаты, близкие к вытекающим из (5.62). Позже Шульц-Грунов (1940) использовал формулу

результаты сопоставления которой с эмпирическими данными приведены на рис. 42. Наконец, если принять, что профиль средней скорости в пограничном слое во всех сечениях дается «законом 1/7» (см. стр. 263), то для может быть получена совсем простая формула

Эта формула при с = 0,0576 также неплохо описывает данные измерений, относящиеся к интервалу чисел Рейнольдса При дальнейшем увеличении числа формула (5.65) начинает давать, заниженные значения так что для получения лучшего совпадения приходится заменить показатель степени 1/5 в этой формуле меньшим значением. В частности, при значениях вплоть до 109 хорошего совпадения с экспериментами можно добиться, используя формулу Фокнера (1943)

Помимо локального коэффициента сопротивления можно рассматривать также полный коэффициент сопротивления пластинки длины определяемый формулами

(cp. (1.51)-(1.52)). Этот полный коэффициент сопротивления значительно проще поддается измерению, чем локальный коэффициент и относительно

него имеется очень много экспериментальных данных, наиболее ранние из которых относятся еще к 1793 г. (см. Шубауэр и Чен (1959) ср. также Гольдштейн (1938) и Шлнхтннг (1951)). Исходя из формулы (5.62) для Шёнгер (1932) получил для соотношение

дающее хорошее совпадение с данными эксперимента. Используя вместо (5.62) более сложные расчеты Прандтля, Шлнхтннг предложил простую интерполяционную формулу

дающую результаты, почти не отличающиеся от вытекающих из Близкую формулу

использовал Шульц-Грунов (1940). Если исходить из «закона 1/7», то, как мы уже видели, для получается зависимость вида лучшее совпадение в широком интервале чисел Рейнольдса можно, однако, получить, следуя (5.66), положить

Сравнение этого результата с формулой (1.52) для коэффициента сопротивления пластинки при ламинарном обтекании показывает, что при турбулентном обтекании сопротивление значительно больше, чем при ламинарном (например, при больше почти в 2,5 раза) и гораздо медленнее убывает с ростом числа Рейнольдса.

Все предыдущие рассуждения относились к случаю, когда пограничный слой можно считать турбулентным, начиная практически от самого переднего края пластинки. Если же переход к турбулентному режиму происходит лишь в точке достаточно далекой от переднего края, то в закон сопротивления необходимо внести поправку на наличие ламинарного участка пограничного слоя. Если принять допущение Прандтля (1927) о том, что после перехода к турбулентности пограничный слой ведет себя приблизительно так же, как если бы он был турбулентным, начиная от передней кромки пластинки, то эта поправка сводится к следующему: из вычисленной выше силы сопротивления следует вычесть разность сил сопротивления при турбулентном и ламинарном режимах для участка пластинки от передней кромки до точки перехода . С учетом этой поправки коэффициент сопротивления будет равен

где дается, скажем, формулой (5.68) (или другой из приведенных выше формул), а коэффициенты сопротивления для пластинки длины при турбулентном и, соответственно, ламинарном обтеканий. Полученная поправка позволяет описать переходную область между законом

сопротивления (1.52) для ламинарного режима и рассматривавшимися выше законами сопротивления для чнсто турбулентного режима. Коэффициент в формуле (5.72) будет, разумеется, зависеть от критического числа Рейнольдса при котором происходит переход ламинарного течения в турбулентное; согласно данным Прандтля при например, (значения При некоторых других значениях могут быть найдены в книге Шлихтинга (1951)).

Приведенные результаты, - касающиеся закона изменения величин при изменении чисел Рейнольдса могут быть использованы также и для исследования изменения с ростом х профиля средней скорости, зависящего согласно формуле (5.57), от и . Зависимость от х детально исследовалась выше, изменение же с ростом может быть определено из формулы (5.61), снова содержащей Так как очень медленно убывает с ростом х, толщина возрастает почти как первая степень х (если принять формулу (5.66), то пропорционально Существенно, что это возрастание является гораздо более быстрым, чем возрастание толщины ламинарного пограничного слоя, которая согласно формуле (1.33) пропорциональна (ср. рис. 4 на стр. 56, содержащий данные непосредственных измерений толщины как в ламинарной, так и в турбулентной частях пограничного слоя).