Учет горизонтального рассеяния, создаваемого градиентом скорости ветра

Чтобы приближенно учесть также и влияние градиента средней скорости на горизонтальное рассеяние, Сафмен (19626) воспользовался методом Ариса, при котором распределение примеси в плоскости описывается несколькими первыми моментами задаваемыми формулой (10.75). С помощью полуэмпирического уравнения диффузии (10.55) для моментов и т. д. получаются известные нам уравнения (10.76), в которых, однако, теперь краевое условие на верхней границе канала использовавшееся в п. 10.4, заменяется условием при Так как нас будет интересовать в первую очередь асимптотическое поведение облака примеси от мгновенного источника в момент 10 при то мы можем ограничиться случаем наземного источника в начале координат — точке (0, 0, 0) (поскольку естественно думать, что при наличии источника на конечной высоте Я эта высота будет заметно сказываться на процессе рассеяния облака примеси лишь в течение ограниченного промежутка времени). Чтобы уяснить себе основные качественные особенности исследуемого эффекта взаимодействия вертикального градиента скорости с вертикальным перемешиванием, рассмотрим прежде всего простейший модельный случай, когда (случай могущий представить интерес при конечной высоте источника , легко получается отсюда при помощи перехода к новой инерционной системе координат). В этом случае искомым решением уравнения (10.76) относительно будет (символом здесь и всюду ниже будет обозначаться разность Решение уравнения (10.76) для функции при и таком более сложно; ясно, однако, что оно должно быть пропорционально и, следовательно, в силу соображений размерности должно иметь вид

Здесь универсальная функция одного переменного такая, что при с помощью уравнения (10.76) эту функцию удается явно выразить через и так называемые функции параболического цилиндра математической физики (см. Сафмен (1962б)). Аналогично обстоит дело и с наиболее интересной для нас функцией описывающей дисперсию распределения примеси в плоскости по направлению оси Согласно уравнению эта функция зависит уже и от коэффициента горизонтального обмена точнее говоря, она представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых зависит только от не от а второе — от не от Первое из указанных слагаемых, очевидно, пропорцибнально и поэтому в силу соображений размерности должно записываться в виде произведения что же касается второго из них, то его общий вид также легко может быть выписан, если только представляет собой степенную функцию от . В частности, если или, соответственно, где то нужное нам решение уравнения (10.76) будет представимо в виде

Здесь новые затухающие на бесконечности функции, которые, как оказывается, тоже выражаются через функцию и функции параболического цилиндра. Аналогичные (но более сложные) выражения могут быть получены и для моментов высших порядков

Согласно формулам (10.100), (10.101) и т. д. моменты распределения примеси в плоскости в момент времени представляют собой степенные функции от умноженные на функции от принимающие, как нетрудно проверить, конечные значения при Поэтому в любом слое фиксированной толщины Н моменты распределения примеси во всех плоскостях при имеют асимптотически одинаковую форму. Суммарное распределение примеси между различными плоскостями очевидно, описывается функцией Эта функция не

зависит от и и показывает, что при фиксированном значении толщина облака примеси имеет порядок при этом если то примесь почти равномерно распределяется по вертикали в пределах слоя толщины (с постоянной вертикальной плотностью Выражения для моментов при получающиеся после подстановки в формулы (10.100) и (10.101) явных выражений соответствующих специальных функций и перехода к пределу согласно Сафмену оказываются равными

Отсюда вытекает, что координата X центра тяжести распределения примеси в нижнем слое (толщины и дисперсия этого распределения по направлению имеют следующий вид:

Мы видим, что центр тяжести распределения примеси в нижнем слое переносится средним течением по направлению оси со все возрастающей скоростью (пропорциональной градиенту скорости Г и квадратному корню из коэффициента вертикального обмена). Что же касается дисперсии этого распределения, то она, согласно (10.103), складывается из двух слагаемых. Первое из них пропорционально (т. е. только постоянным множителем отличается от соответствующего слагаемого в выражении (10.88) для горизонтальной дисперсии облака примеси, диффундирующей в безграничном пространстве); оно, очевидно, создается взаимодействием вертикального турбулентного переноса с вертикальным градиентом скорости.

Второе же слагаемое в выражении для описывает обычное горизонтальное рассеяние, вызываемое турбулентными пульсациями горизонтальной скорости (т. е. турбулентной диффузией с коэффициентом Это второе слагаемое при имеет обычный вид а при оно зависит также и от выражает взаимодействие горизонтальной и вертикальной диффузии) и пропорционально Существенно, однако, что в любом случае при достаточно больших значениях оно оказывается пренебрежимо малым по сравнению с первым слагаемым (имеющим порядок Заметим еще, что уравнение длябог будет отличаться от отсутствием члена с предположении, что средняя скорость при всех направлена вдоль оси Поэтому дисперсия будет описываться лишь вторым слагаемым формулы (10.103) для (с очевидной заменой на при больших значениях будет много меньшей, чем Максимальная наземная концентрация (достигающаяся, очевидно, в точке при будет убывать асимптотически пропорционально если и пропорционально если Ясно, что все эти факты никак не согласуются с упрощенной формулой (10.99). Кроме того, эта формула оказывается неверной и в том отношении, что распределение примеси в плоскости достаточно большом значении и по форме не напоминает распределения Гаусса. В самом деле, воспользовавшись аналогичными (10.100) — (10.102) соотношениями для момента можно показать, что достаточно большом откуда вытекает, что асимметрия распределения примеси по направлению оси при фиксированном не стремится к нулю, а приближается к единице.

Перечисленные результаты относились к модели, в которой Естественно ожидать, однако, что и в других случаях при наличии зависимости скорости ветра от высоты дело будет обстоять аналогичным образом. Наибольший интерес, разумеется, представляло бы исследование случая

(т. е. случая диффузии в логарифмическом пограничном слое), а также случаев, когда определяются формулами, выведенными в гл. 4 для пограничного слоя в температурно-стратифицированной жидкости. Одиако такое исследование, опирающееся на полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии, наталкивается на значительные аналитические трудности. Поэтому, следуя опять Сафмену, мы ограничимся лишь кратким рассмотрением ситуаций, возникающих при использовании аппроксимации всехфвертикальных

профилей степенными функциями. Предположим, что

постоянные, и В таком случае общий вид решений уравнений (10.76), (10.76), и т. д. (для случая наземного мгновенного точечного источника производительности в начале координат в момент сиова может быть установлен на основе соображений размерности. В частности, в уравнение (10.76) для теперь входит единственный размерный параметр поскольку из можно составить единственную безразмерную комбинацию получаем

где безразмерная универсальная функция (явный вид которой дается формулой Функция согласно (10.76) и (10.104), должна быть пропорциональна а в остальном также зависит лишь от следовательно,

где еще одна универсальная функция. Наконец, в силу и (10.104) представляется в виде суммы слагаемого, пропорционального и слагаемого, пропорционального пропорционально поэтому

Поскольку при все функции и т. д. должны убывать при в силу (10.105) отсюда вытекает, что толщина облака примеси в момент должна иметь порядок В слое толщины распределение примеси будет практически независимым от высоты и будет иметь плотность

где в силу (10.94). При принятом нами предположении, что скорость на всех уровнях параллельна оси (от которого, впрочем, при необходимости легко

освободиться, введя в рассмотрение еще и компоненту центр тяжести распределения примеси в этом слое будет иметь координаты

При том же предположении дисперсии распределения примеси в плоскости где будут иметь вид

где — новые постоянные, а смешанный момент будет равен нулю (так как Первое слагаемое первой формулы (10.108) снова описывает горизонтальное рассеяние, вызываемое взаимодействием вертикального градиента средней скорости с вертикальным турбулентным переносом, а второе слагаемое той же формулы — обычную горизонтальную турбулентную диффузию. Ясно, что первый из этих эффектов при больших будет преобладающим, если только . В условиях приземного слоя атмосферы последнее условие, по-видимому, всегда приходится считать выполняющимся (так как при устойчивой или безразличной стратификации и, вероятно, следует считать, что а при сильной неустойчивости приближается к но коэффициент если только им здесь можно пользоваться, вряд ли будет замётио возрастать с высотой). Поэтому следует ожидать, что в атмосфере наличие вертикального градиента скорости ветра всегда играет основную роль в горизонтальном рассеянии в течение сравнительно больших промежутков времени. Так как к тому же естественно думать, что примерно пропорционально то в пренебрежении поворотом ветра с высотой рассеяние по направлению среднего ветра при больших будет заметно превосходить рассеяние по перпендикулярному направлению. Кроме того, дисперсия здесь оказывается заметно большей и средней толщины облака (имеющей порядок поэтому облако примеси при больших отзывается больше всего вытянутым по направлению среднего ветра.