Диффузия в свободных турбулентных течениях

Рассмотренный случай продольной диффузии примеси в прямой трубе или прямом канале весьма специфичен в том отношении, что здесь сохраняется ряд свойств, характерных для диффузии в поле однородной турбулентности. С этой точки зрения более типичными примерами диффузии в потоке с градиентом скорости являются, например, случаи диффузии в турбулентных струях или турбулентных следах за твердыми телами. Однако теоретическое изучение диффузии в струях или следах с помощью полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии неприятно тем, что при этом обязательно приходится привлекать еще какие-то дополнительные гипотезы, позволяющие определить зависимость коэффициентов турбулентной диффузии (а также и средней скорости й) от пространственных координат. В качестве таких дополнительных гипотез обычно используются те или иные полуэмпирические теории турбулентного обмена, о которых шла речь в п. 5.8. Получаемые на этом пути результаты часто оказываются вполне удовлетворительными с точки зрения практики (см., например, Хинце (1959), Абрамович (1960)), но теоретически они не очень обоснованы, и мы не будем на них задерживаться.

В случае, когда исследуется распределение примеси в плоскости расположенной вниз по течению за непрерывным точечным или линейным источником на малом расстоянии него (по сравнению с масштабом где типичное значение средней скорости, типичный лагранжев масштаб времени), ряд результатов можно получить с помощью перехода к переменным Лагранжа, если воспользоваться разложением лагранжевой скорости в ряд Тэйлора (9.78). В частности, как заметил Хинце (1951, 1959), во многих случаях полезным оказывается уже первое приближение, согласно которому так что где значения и, и и относятся к точке пространства-времени. Отсюда следует, что в установившемся потоке со средней скоростью, направленной вдоль оси

координата жидкой частицы, вышедшей в момент из точки в момент достижения ею плоскости где будет в первом приближении равна

Если то согласно этому равенству поэтому распределение вероятностей для здесь только постоянным множителем отличается от распределения вероятностей для

Рис. 82. Распределение температуры в нескольких сечениях двумерной турбулентной струи, в которую помещена нагретай проволочка (по Хинце и Ван дер Хегге Цийнену).

Если, однако, значения и меньше , но не пренебрежимо малы, то

Отсюда уже можно без труда выразить моменты распределения случайной величины через моменты эйлеровой пульсационной скорости в точке причем обычно при этом вполне можно ограничиться лишь несколькими первыми членами ряда (10.84). В тех случаях, когда получающиеся формулы содержат моменты и четвертого порядка, по-видимому, допустимо также заменить их комбинациями вторых моментов,

приняв, что соответствующие семиинварианты пренебрежимо малы (см. Бэтчелор и Таунсенд (1956), Хинце (1959)). Несмотря на очевидную грубость подобных приближенных рассмотрений, они неплохо описывают целый ряд наблюдавшихся Хинце и Ван дер Хегге Цийненом (1951) и Коренном и Уберои (1950, 1951) характерных особенностей распределения температуры в плоскости в текущей по направлению турбулентной струе, в которую в фиксированной плоскости помещалась нагретая проволочка. В качестве примера на рис. 82 приведено такое распределение температуры, полученное в опытах Хинце и Ван дер Хегге Цийнена, в которых в плоскую струю, вытекающую из узкого сопла, на расстоянии от сопла и на ниже оси струи вводилась тонкая проволочка, нагретая электрическим током до температуры 400° С. Ось на рис. 82 принималась параллельной направлению средней скорости у проволочки и проходящей через проволочку (начиная от которой и измерялось расстояние X); различными значками обозначены данные измерений при разных значениях Мы видим, что в отличие от аналогичных данных, относящихся к случаю однородной турбулентности, распределение температуры здесь оказывается асимметричным — более вытянутым в область положительных значений которым отвечают большие, чем отрицательным значения средней скорости. Полученный результат находится в соответствии с формулой (10.84), поскольку в данном случае можно считать, что Среднее значение распределения, приведенного на рис. 82, равно 0,036; в этом опыте такое же значение имеет Таким образом, в данном случае при вычислении среднего значения уже третьим слагаемым в правой части (10.84) можно пренебречь. Заметим еще, что если бы мы попытались описать распределение температуры в струе полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии с постоянным коэффициентом то в условиях, к которым относится рис. 82, получилось бы в противоречии с эмпирическими данными.

В другом крайнем случае очень большого X (или, иначе, очень большого времени диффузии некоторые результаты могут быть получены на основе соображений об автомодельности, рассмотренных в пп. 5.9 и 9.4. Из этих соображений непосредственно вытекает, что в случае непрерывного источника

примеси (расположенного около обтекаемого тела или сопла, из которого вытекает струя) распределение средней концентрации О в любых двух плоскостях с достаточно большими значениями X (где X отсчитывается от источника, по направлению средней скорости течения) будут подобны друг другу. Точно так же в случае мгновенного источника (также расположенного около тела или сопла и внесшего в поток примесь в момент времени подобными будут распределения средней концентрации в трехмерном пространстве в два момента времени достаточно удаленные от момента . В силу соображений симметрии естественно предполагать, что соответствующие распределения будут симметричными, причем их максимум будет расположен около оси струи или следа в плоскости случае непрерывного источника, расположенного достаточно близко от оси) или же около точки где дается формулами случае мгновенного источника). При этом результаты пп. 5.9 и 9.4 позволяют просто определить зависимость соответствующих максимальных концентраций или от X или они и не дают возможности оценить форму распределении или

Начнем, например, со случая непрерывно действующего стационарного источника примеси и воспользуемся тем, что в силу стационарности процесса диффузии поток примеси через любую плоскость должен быть постоянным. В случае турбулентного следа скорость переноса примеси по направлению вдали от обтекаемого тела, очевидно, всюду будет практически равна скорости обтекаемого потока. В то же время размеры площади в плоскости на которой имеет место заметный поток примеси от точечного источника в точке в случае трехмерного следа за конечным телом будут расти пропорционально а в случае двумерного следа за цилиндром — пропорционально

В случае следа за цилиндром и линейного источника примеси (параллельного оси цилиндра) постоянным должен быть поток примеси на единицу длины оси в плоскости единичному отрезку оси отвечает прямоугольная площадка с заметно отличной от нуля концентрацией О, имеющая площадь, пропорциональную Но поскольку концентрация примеси в плоскости пропорциональна получаем

Аналогичное рассуждение применимо и к диффузии примеси в зоне перемешивания двух плоскопараллельных потоков и в турбулентных струях (включая сюда и диффузию пассивной материальной примеси в струях конвективного происхождения). Однако теперь скорость переноса примеси через плоскость уже не будет всюду равна фиксированной скорости а будет функцией от Существенно, однако, что при изменении параметра X функция от остается подобной себе, причем ее максимальное значение остается постоянным в случае плоской зоны перемешивания и двумерной конвективной струи и убывает пропорционально в случае обычной трехмерной струи (бьющей в заполненное той же жидкостью пространство), пропорционально в случае обычной двумерной струи и пропорционально в случае трехмерной конвективной струи. Далее, площадь той части плоскости на которой концентрация заметно отлична от нуля, в случае точечного источника примеси в трехмерной струе растет пропорционально в случае линейного источника в двумерной, струе или зоне перемешивания — пропорционально а в случае точечного источника в двумерном течении — пропорционально где определяется по формулам (9.47), или родственным им, из условия, что Поскольку поток примеси пропорционален произведению концентрации на скорость и на площадь, то рассуждения, приведшие выше к соотношениям (10.85), теперь приводят к следующим соотношениям:

В случае мгновенного источника примеси постоянной должна оставаться общая масса примеси (или, если источник линейный, масса примеси, приходящаяся на единицу длины оси Но через время размер (вдоль оси облака примеси от

мгновенного источника характеризуется масштабом (естественно, совпадающим с В силу результатов отсюда для максимальной концентрации облака примеси, образующегося через время после момента ее испускания, получаются формулы:

(основная часть результатов (10.85) — (10.86) принадлежит Бэтчелору (1957); см. также Яглом (1965)).