Использование гипотезы о подобии лагранжевых статистических характеристик в теории диффузии в приземном слое

Выше мы все время исходили из полуэмпирнческого уравнения турбулентной диффузии. Представляет интерес, однако, посмотреть, какие выводы о диффузии в приземном слое воздуха можно сделать, не пользуясь полуэмпирической гипотезой о линейной зависимости турбулентных потоков примеси от градиента средней концентрации. Оказывается, что значительную помощь здесь может оказать представляющееся вполне естественным предположение о подобии лагранжевых характеристик

турбулентности в приземном слое воздуха, введенное в п. 9.4. К следствиям из этого предположения мы теперь и перейдем.

Прежде всего напомним, что в пренебрежении действием молекулярной диффузии средняя концентрация примеси от мгновенного точечного источника единичной производительности в точке в момент равна плотности вероятности лагранжевых координат ( жидкой частицы, находившейся в момент в точке х (см. выше стр. 509—510). Отсюда, в частности, следует, что в случае мгновенного наземного источника производительности в начале координат средняя концентрация в момент при безразличной термическом стратификации и достаточно большом будет определяться формулой вида

где некоторая универсальная функция от трех переменных, универсальные постоянные (см. (9.65), (9.60) и (9.61)). В случае источника на высоте Н можно пользоваться тем же соотношением, если только Впрочем, при не очень больших (но все же заметно превосходящих значениях несколько более точные результаты получаются, если допустить, что формулы (9.60) и (9.61) для начинают действовать лишь через время после момента за время же от момента до центр облака примеси лишь переносится осредненным течением, т. е. остается на той же высоте Н, но перемещается на расстояние и вдоль направления (Бэтчелор (1959)). Такая поправка играет роль лишь в течение сравнительно небольшого промежутка времени, но при обработке реальных экспериментов, в которых часто поневоле приходится ограничиваться лишь не очень большими значениями она иногда оказывается полезной (см., например, Сермак (1963)). В случае неустойчивой или устойчивой стратификации формула (10.124) заменяется более общим соотношением

где Р — новая универсальная функция от четырех переменных, определяются равенствами (9,69) и (9.70),

естественный масштаб длины в стратифицированном пограничном слое, введенный в гл. 4. При не очень большом здесь также можно ввести поправку на высоту источника Н, но на ней мы уже не будем останавливаться.

Из соотношения вытекает, в частности, что дисперсии облака примеси, созданного мгновенным точечным источником, определяемые из соотношений

при безразличной стратификации должны быть асимптотически пропорциональны В силу (9.61) это означает, что дисперсии вдоль всех осей облака примеси от мгновенного точечного источника при безразличной стратификации должны быть асимптотически пропорциональны (а не как в случае однородной турбулентности, и не как в случае потока с постоянным градиентом скорости). При наличии же термической стратификации, строго говоря, нельзя уже ручаться, что эти дисперсии даже при очень большом будут строго пропорциональны , так как здесь форма распределения может зависеть от т. е. меняться при изменении Естественно думать, однако, что зависимость распределения от не будет проявляться очень сильно, так что в первом приближении и здесь дисперсии можно считать пропорциональными В случае сильной неустойчивости последний вывод имеет дополнительные основания (см. равенство (9.75)); поэтому при этих условиях для не слишком малых значений должны иметь место соотношения наиболее точным последнее соотношение, вероятно, будет в применении к Все приведенные заключения можно, во всяком случае в принципе, попытаться сравнить с эмпирическими данными, относящимися к мгновенным точечным источникам примеси. Так как, однако, таких данных пока имеется очень немного, то более удобными для проверки на опыте являются следствия из предположения об автомодельности лагранжевых характеристик, относящихся к распределению концентрации от стационарных источников примеси, о которых будет речь ниже.

Согласно формуле (10.125), наземная концентрация примеси от стационарного точечного источника на достаточно большом

расстоянии X от этого источника по направлению среднего ветра будет определяться формулой

В случае линейного источника эту формулу надо заменить соотношением

Последние две формулы, очевидно, можно также переписать в виде

и аналогично

Для приближенного вычисления интегралов в правых частях (10.126) и (10.127) воспользуемся, следуя Бэтчелору (1959) и Эллисону (1959), тем, что при большом X облако примеси от мгновенного точечного источника в начале координат должно проплыть мимо плоскости за время, много меньшее, чем время требующееся для достижения облаком этой плоскости. Иначе это можно еще выразить так: поскольку, очевидно, при интервал значений X, при которых еще остается заметно отличным от нуля, при большом X будет составлять относительно малую долю самого X Поэтому при достаточно

большом Х допустимо считать, что при любом фиксированном Это допущение вполне аналогично использовавшемуся выше при рассмотрении полуэмпирической теории пренебрежению продольной диффузией (по направлению оси по сравнению с переносом примеси средним течением. Из него следует, что равенства и (10.127) могут быть без большой ошибки заменены приближенными соотношениями

и

где берутся уже только при таком значении что

Рассмотрим сначала простейший случай диффузии при безразличной стратификации. В этом случае функция зависит от т. е. при всех является одной и той же, а удовлетворяют соотношениям (9.60) — (9.61). Поэтому здесь

и

Отсюда видно, что при нейтральной стратификации концентрация примеси от линейного стационарного источника должна убывать примерно пропорционально а от точечного стационарного источника — немного медленнее, чем как мы знаем, эмпирические данные достаточно хорошо согласуются с этим выводом (см. выше стр. 563). Более аккуратно показатель в соотношении можно определить с помощью формулы определение было произведено

Сермаком (1963), принявшим во внимание также и упоминавшуюся выше поправку к связанную с конечной высотой источника Н. При этом теоретические значения вычисленные в предположении, что оказались совпадающими с эмпирическими данными ряда авторов (относящимися и к лабораторным экспериментам, и к наблюдениям в атмосфере при нейтральной стратификации) даже лучше, чем этого можно было ожидать.

В случае стратификации, отличающейся от безразличной, положение значительно осложняется. Прежде всего здесь уже интегралы в правых частях равенств вообще говоря, могут зависеть от (т. е. от X). Естественно ожидать, однако, что эта зависимость будет гораздо слабее зависимости от X множителей перед интегралами, так что и в этом случае без большой ошибки можно использовать соотношения

Более существенным является то, что функции здесь определяются соотношениями (9.69) и (9.70), содержащими универсальные функции только асимптотическое поведение которых известно (да и то лишь с точностью до неопределенных числовых коэффициентов). Так, при сильной неустойчивости и, следовательно, . Исходя из данных, приведенных в гл. 4, можно, однако, надеяться, что именно асимптотическое поведение указанных функций будет играть основную роль при расчете концентраций, и поэтому в первом приближении мы можем подставить вместо неизвестных функций почти любые функции, изменяющиеся так, как надо, при малых и при больших значениях аргумента. Такая надежда подкрепляется, в частности, результатами вычислений Гиффорда (1962). Этот автор в соответствии с (9.71) предположил, что (так что

а затем выбрал в качестве функцию вида

и предположил (следуя Казанскому и Монину (1957)), что

По найденной исходя из этих предположений зависимости безразмерной концентрации в случае точечного источника примеси от безразмерного расстояния Гиффорд подсчитал показатель в соотношении при различной термической стратификации и разных расстояниях Полученные им значения оказались сравнительно неплохо согласующимися с эмпирическими данными, собранными в ходе выполнения программы «Прэри Грасс» в О’Нейле (Небраска, США) и опубликованными Баредом (1958) и др. Позже Малхотра и Сермак (1963) сравнили результаты расчетов Гиффорда (опять при с данными некоторых диффузионных экспериментов, производившихся в специальной аэродинамической трубе с подогреваемой нижней стенкой, позволяющей искусственно создавать неустойчивую температурную стратификацию; полученные результаты также оказались удовлетворительными. Дополнительную проверку теории Гиффорда произвел Сермак (1963), который, правда, ограничился лишь случаем очень слабых отклонений от безразличного равновесия и в этой связи заменил функцию равенства (10.130) более простой функцией Суинбенка (7.73), имеющей неверную асимптотику при больших отрицательных значениях ?. Но поскольку все использованные Сермаком экспериментальные данные (полученные частично в лаборатории, а частично при полевых наблюдениях) относились лишь к очень небольшим значениям неудивительно, что совпадение теории с экспериментом и здесь сказалось довольно хорошим.