10.3. Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии

Вернемся снова к рассмотрению турбулентной диффузии непрерывно распределенной примеси в пренебрежении молекулярной диффузией. При этом средняя концентрация примеси в момент связана с начальной концентрацией соотношением (10.5). Отсюда видно, что если плотность вероятности для координат жидкой частицы удовлетворяет некоторому линейному уравнению по переменным то такому же уравнению будет удовлетворять и функция Постараемся теперь понять, какой вид может иметь это последнее уравнение.

В пренебрежении молекулярной диффузией поле концентрации примеси удовлетворяет уравнению переноса

получающемуся из уравнения диффузии (10.1) после приравнивания нулю его правой части. Осреднив все члены этого уравнения, получим

где вектор имеет смысл плотности турбулент-) ного потока диффундирующей примеси. Простейшая (и наиболее ранняя) теория турбулентной диффузии, предложенная Тэйлором (1915) и Шмидтом (1917, 1925) (но по существу восходящая еще к Буссинеску (1897)), исходит из предположения, что поток 5 пропорционален градиенту средней концентрации примеси, т. е. что

где К — это коэффициент гл. 3 и 4 (в настоящей главе мы все время будем иметь дело только с ним, и поэтому индекс Ф нам будет удобно опустить). В более общем анизотропном случае вместо предположения (10.47) принимается существование линеинои зависимости между векторами

где тензор коэффициентов турбулентной диффузии является, вообще говоря, функцией от

Из полуэмпирической гипотезы (10.48) немедленно получается полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии

В силу очень большой важности этого уравнения для дальнейшего содержания настоящего параграфа целесообразно прежде всего рассмотреть некоторые дополнительные соображения, относящиеся к выводу этого уравнения и позволяющие лучше понять область его приложимости. Начнем с простейшего случая диффузии в поле стационарной однородной турбулентности, все статистические характеристики которой не меняются при изменении начала отсчета времени или сдвига начала системы пространственных координат. В этом случае тензор вторых моментов смещений жидкой частицы за время х (т. е. величин определяется обобщенной формулой Тэйлора (9.30), а вреднее значение смещений равно где -постоянная (в силу стационарности и

однородности) средняя скорость течения. Кроме того, как мы знаем из в этом случае есть веские основания предполагать, что совместное распределение вероятностей для величин и при малых, и при больших (по сравнению с типичным лагранжевым масштабом времени Т) значениях будет весьма близким к гауссовскому распределению и, по-видимому, не будет сильно отличаться от гауссовского при всех вообще значениях Поэтому плотность вероятности здесь можно приближенно представить в виде трехмерной гауссовской плотности вида (4.23) со средними значениями и матрицей дисперсий (обратной матрице коэффициентов в выражении для плотности), определяемой формулой (9.30) (в частности, при отсутствии средней скорости и в предположении, что при мы снова приходим к формуле Но нетрудно проверить, что такая функция является решением уравнения (10.49) с ко эффициентами вида

(см. Бэтчелор (1949б)). Такому же уравнению будет в этом случае удовлетворять и средняя концентрация таким образом, предположение о справедливости уравнения вида (10.49) (но с коэффициентами определяемыми формулой (10.50), т. е. зависящими от времени распространения примеси для диффузии в поле стационарной однородной турбулентности точно эквивалентно предположению о том, что распределение вероятностей для вектора смещения жидкой частицы при любом 1 будет нормальным (гауссовым). Если, однако, в духе полуэмпирической гипотезы (10.48) желать, чтобы распределение средней концентрации При всех описывалось уравнением вида (10.49) с одними и теми же коэффициентами то, согласно (10.50), приходится ограничиться лишь рассмотрением значений больших по сравнению с лагранжевым масштабом времени Т. При этом, в силу (10.50),

в полном соответствии с полуэмпирическим представлением о том, что турбулентные коэффициенты обмена должны быть равны произведению типичной скорости на типичный масштаб длины (или, что то же самое, квадрата типичной скорости на типичный масштаб времени).

Мы видим, что для диффузии в поле однородной стационарной турбулентности полуэмпирическое уравнение (10.49) (с постоянными коэффициентами диффузии выполняется лишь при но при таких зато может быть обосновано весьма убедительно (оно вытекает из нормальности распределения вероятностей для очень правдоподобного в силу центральной предельной теоремы; см. выше п. 9.3). Заметим, однако, что этом случае ценность уравнения (10.49) оказываете довольно ограниченной, так как общее выражение для здесь может быть сразу выписано и независимо от этого уравнения (например, исходя из равенств (10.5) и Поэтому основная ценность полуэмпирической теории заключается в возможности ее применения к более общему случаю неоднородной (или нестационарной) турбулентности, к которому мы теперь и перейдем.

Покажем прежде всего, что и в общем случае уравнение (10.49), строго говоря, может быть применимо, лишь если время диффузии значительно превосходит типичный лагранжев масштаб времени. Для этого посмотрим, в чем заключается теоретико-вероятностный смысл этого уравнения. Уравнение (10.49) является уравнением первого порядка по следовательно, его решение однозначно определяется начальным значением (краевые условия мы считаем заранее фиксированными). Обозначим временно плотность вероятности символом (чтобы подчеркнуть ее зависимость от начального момента времени ); в таком случае соотношение (10.5) можно переписать в виде Полагая здесь получим при любом Используем этот результат для момента времени и затем решим снова уравнение (10.49) для интервала времени от момента и до при начальном условии Тогда получим

где Но такое уравнение для «плотности вероятности перехода» случайной функции будет справедливо, лишь если эта функция является марковской, т. е. такой, что условное распределение вероятностей значения функции в момент при условии, что известны ее значения в произвольные моменты будет зависеть только от последнего из этих значений но не от значений (в теории марковских случайных

процессов уравнение (10.52) часто называется уравнением Смолуховского). В самом деле, для произвольной (не обязательно марковской) случайной функции при будет иметь место очевидное соотношение

где первый множитель под знаком интеграла есть условная плотность вероятности для при условии, что значения фиксированы. Последняя формула превращается в (10.52), только если указанная плотность вероятности не зависит от значения а это означает, что случайная функция является марковской. Подчеркнем еще раз, что наш вывод не использует явного вида уравнения (10.49), а опирается лишь на то, что это уравнение — первого порядка по

Наоборот, Ьсли случайная функция является марковской, то для плотности вероятности (а потому, согласно (10.5), и для средней концентрации при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (10.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях «регулярности» (налагаемых на переходную вероятность и гарантирующих, что рассматриваемая марковская случайная функция будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные

(где, как обычно, и и плотность вероятности удовлетворяет уравнению

Это уравнение, очевидно, совпадает с (10.49), если положить Смысл последнего равенства заключается в том, что величина являющаяся, согласно первой формуле (10.53), средней скоростью движения частицы примеси, в общем случае равна сумме «скорости переноса» и дополнительной скорости

связанной с тем, что в поле неоднородной турбулентности частицы примеси даже и в отсутствие осреднённого течения могут иметь тенденцию двигаться в определенном направлении. Подчеркнем, что здесь фигурирует лишь понятие средней, но не мгновенной скорости движения частицы; мгновенная скорость в изложенной «марковской модели» не существует. В самом деле, предел который должен был бы иметь смысл среднего квадрата мгновенной скорости движения, частицы — в момент в силу второго равенства (10.53) не может быть конечным при как средний квадрат длины пути, пройденного частицей за время от момента до при согласно (10.53), имеет порядок а не . Заметим, что вторая формула (10.53) дает статистическую интерпретацию «коэффициентов турбулентной диффузии»: мы видим, что отличается лишь множителем от скорости изменения тензора дисперсии смещения частицы (изученного нами в

Невозможность определения мгновенной скорости движения означает, что случайная функция недифференцируема. Таким образом, в полуэмпирической теории тур булентной диффузии функция описывающая движение фиксированной «жидкой частицы» в турбулентном потоке, трактуется как нигде не дифференцируемая марковская функция. На самом деле траектории «жидких частиц» в турбулентном потоке, разумеется, не обладают такими свойствами. Так, функция при всех дифференцируема по (и, более того, удовлетворяет лагранжевым уравнениям гидродинамики (9.6) и (9.9), содержащим первые и вторые производные от по и по Знание статистических свойств производной — (т. е. лагранжевой скорости) важно для многих задач, использующих лагранжево описание турбулентного движения (см., например, формулу (9.27) для тензора дисперсии смещения жидкой частицы). С этим связано и то, что дисперсии смещения «жидкой частицы» за очень малое время на самом деле пропорциональны не (см. формулу (9.28)). Наконец, функция не является также и марковской случайной функцией; например, плотности вероятности для величины при фиксированном значение и соответственно фиксированных значениях которые для

марковской функции должны совпадать, на самом деле, как легко понять, будут различными (в частности, при малых вторая из этих плотностей вероятности будет существенно отлична от нуля лишь при а первая не будет обладать таким свойством).

Если, однако, рассматривать функцию лишь на дискретном множестве моментов времени где шаг по времени велик по сравнению с лагранжевым масштабом времени Т, то практичебки можно считать, что случайная последовательность является марковской. В самом деле, приращения функции на непересекающихся интервалах времени длины практически некоррелированы, и естественно ожидать, что они будут также и почти независимы, а случайная последовательность с независимыми приращениями заведомо является марковской. Отметим, кроме того, что дисперсии приращений функции на интервалах времени длины согласно (9.35), пропорциональны как это и должно быть при условиях (10.53). Таким образом, если бы вместо дифференциального уравнения (10.49) мы рассмотрели аналогичное разностное (по времени) уравнение, соответствующее марковской последовательности то оно уже близко соответствовало бы реальным свойствам движения «жидких частиц» в турбулентном потоке. Следовательно, можно ожидать, что полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (10.49) все же имеет определенный смысл, но лищь как дифференциальный аналог некоторого разностного по времени уравнения с шагом Но отсюда вытекает, что уравнение (10.49) можно использовать для описания поля в фиксированный момент времени где Иначе говоря, формулы для распределения примеси или тех или иных характеристик этого распределения, получаемые при решении уравнения (10.49), можно рассматривать как асимптотические формулы, справедливые при . В практических задачах, связанных, например, с диффузией примесей в атмосфере, как правило, представляет интерес именно описание диффузии в масштабах, значительно превышающих лагранжев масштаб времени Т (который в приземном слое воздуха обычно имеет значения порядка секунд); поэтому в этих задачах обычно можно пользоваться полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии. Заметим, впрочем, что даже при больших значениях полуэмпирическое уравнение может приводить все же к неверным результатам на очень больших расстояниях от источников примеси в рвязи с тем, что эта теория фактически

предполагает, что скорость распространения примеси может быть бесконечно большой (см. ниже п. 10.6).

В дальнейшем чаще всего нам придется иметь дело со случаем стационарного и однородного в плоскостях турбулентного движения со средней скоростью всюду направленной вдоль оси . В этом случае коэффициенты (как и все другие статистические характеристики турбулентности) могут зависеть только от координаты Кроме того, здесь естественно считать, что координатные оси совпадают с главными направлениями тензора (так как именно направления указанных осей здесь являются выделенными направлениями). Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (10.49) в. этом случае обращается в уравнение

Заметим, что если необходимо учесть гравитационное оседание диффундирующих частиц (происходящее с постоянной скоростью то к левой части уравнения (10.55) следует добавить слагаемое Точно так же возможность распада примеси периодом полураспада — I приводит к появлению в левой части добавочного слагаемого Если область течения по какому-то направлению простирается до бесконечности, то соответствующим краевым условием обычно будет условие достаточно быстрого убывания при неограниченном удалении точки X от местоположения всех источников примеси. Краевые условия на твердых стенках следует подбирать, исходя из анализа физических процессов, происходящих на этих стенках, но обязательно так, чтобы получающееся решение соответствовало марковской случайной функции (перечислению всех таких условий как раз и посвящены работы Феллера и Вентцеля, упоминавшиеся на стр. 508). В соответствии со сказанным на стр. 507—508 достаточно общим краевым условием на твердой стенке описывающим практически все встречающиеся ситуации, является условие вида

где постоянная размерности скорости (для общности мы даже допускаем здесь наличие гравитационного оседания со скоростью приводящего К добавлению к вертикальному

турбулентному потоку примеси потока -дад. Случай соответствует «отражению» примеси от стенки, случай - «поглощению» примеси, а случай промежуточной ситуации частичного отражения и частичного поглощения (более подробное обсуждение условия (10.56) см. в работах Монина (1956а, 19596) и Колдера (1961)).