Дисперсии смещений частиц в потоке с постоянным градиентом средней скорости

Еще одним примером течения, в Котором можно определить асимптотическое поведение дисперсий является идеализированное турбулентное течение во всем безграничном пространстве, такое, что его эйлерово поле пульсаций скорости стационарно и статистически однородно, а средняя скорость не меняется во времени и линейно зависит от пространственных координат. Последнее условие, очевидно, необходимо для того, чтобы поле пульсаций скорости можно было считать, однородным, так как градиент средней скорости существенно влияет на статистический режим турбулентности, и поэтому в однородной турбулентности градиент скорости должен принимать постоянное значение. Предположим, что средняя скорость всюду направлена вдоль оси и изменяется только по направлению например, где Не ограничивая общности, достаточно рассмотреть лишь движение жидкой частицы, находившейся в момент в точке Обозначим координаты этой частицы в момент через а ее скорость — через . В таком случае

или, в проекциях на оси координат,

и

Исходя из этих формул, уже нетрудно выразить и величины через статистические характеристики поля и причем в отличие от рассматривавшихся выше случаев здесь уже не требуются никакие специальные гипотезы о лагранжевой автомодельности.

Так как и то и следовательно, и (в силу (9.56)). Поскольку поле и однородно и стационарно, лагранжева скорость также будет стационарной случайной функцией; ее корреляционный тензор будет иметь вид Рассмотрим теперь тензор дисперсии Ясно, что наличие осредненной скорости, направленной вдоль оси никак не сказывается на смещениях частицы по направлениям Поэтому величины здесь представляются в обычном для однородной турбулентности виде (9.30), и их асимптотическое поведение при малых и больших значениях описывается формулами (9.28) и (9.35). Иначе обстоит дело с наиболее интересными компонентами Для первой из них изервой формулы (9.56) вытекает соотношение

В силу третьего равенства (9.56) первое слагаемое в фигурных скобках здесь может быть преобразовано к виду

Аналогично вычисляется второе слагаемое в фигурных скобках:

Используя полученные выражения, формулу для после многократного интегрирования по частям удается привести к виду

Совершенно аналогичный расчет приводит к следующей формуле для

При больших из (9.57) и (9.57) получаются следующие асимптотические формулы:

Таким образом, оказывается, что дисперсия смещения жидкой частицы вдоль оси (по направлению осредненного течения) при больших х асимптотически пропорциональна т. е. растет со временем значительно быстрее, чем дисперсии поперечных смещений (асимптотически пропорциональные ). Кроме того, смещения вдоль осей оказываются взаимно коррелированными. Используя для асимптотическую формулу (9.35), для коэффициента корреляции между величинами получаем следующее предельное значение:

Таким образом, это предельное значение оказывается универсальным (не зависящим от параметров Асимптотические формулы (9.58) и (9.59) были опубликованы Коренным (19596). Однако эквивалентные выражения еще раньше были известны из полуэмпирической теории, использующей для описания движения жидких частиц дифференциальные уравнения параболического типа; к этому вопросу мы еще вернемся в следующем параграфе.