Устойчивость течений в трубе и в пограничном слое

Результаты, относящиеся к плоскопараллельным течениям, разумеется, не могут быть непосредственно применены к течению Пуазейля в трубе. Можно, однако, попытаться и к этому течению применить теорию возмущений. Ограничившись лишь простейшими волновыми возмущениями вида и как обычно, придем к некоторой задаче на собственные значения. Исследования различных частных случаев этой задачи, проводившиеся разными авторами (см., например, Преч (19416), Белякова (1950), Сексл и Шпильберг (1958), Коркос и Селларс и Кропик (1964), где можно найти также дальнейшие ссылки), не привели к обнаружению каких-либо возрастающих волновых возмущений. Поэтому в настоящее время большинство специалистов предполагает, что течение Пуазейля в трубе (так же, как и плоское течение Куэтта) при всех числах Рейнольдса устойчиво по отношению к любым бесконечно малым возмущениям. Однако ни одна из имеющихся работ не содержит строгого доказательства этого факта. Прежде всего, большинство авторов вообще рассматривало только самые простые не зависящие от

осесимметричные волновые возмущения с которых возникающая задача на собственные значения оказывается родственной задаче, определяющей устойчивость или неустойчивость плоскопараллельных течений типа плоского течения Куэтта); для общих же волновых возмущений с устойчивость пока доказана лишь в некоторых очень специальных случаях (например, в случае не зависящих от х возмущений с или таких возмущений, что Таким образом, пока нельзя исключить возможности существования каких-либо более сложных не осесимметричных волновых возмущений, являющихся неустойчивыми. Кроме того, даже и для осесимметричных возмущений дело обстоит не так просто, как это обычно предполагается. В связи с наличием в уравнении для осесимметричных возмущений течения Пуазейля особой точки при общее решение задачи с начальными условиями здесь опять не может быть разложено по простейшим «волновым возмущениям», отвечающим дискретному спектру; поэтому общее исследование устойчивости таких возмущений не сводится к задаче на собственные значения. Отсюда вытекает, что вопрос об устойчивости течения Пуазейля в трубе даже и для простейших осесимметричных возмущений (для которых строго доказано отсутствие возрастающих волновых решений) пока нельзя считать выясненным до конца.

Перейдем теперь к рассмотрению случая течения в пограничном слое на плоской пластинке. Так как согласно результатам п. 1.4 толщина пограничного слоя возрастает сравнительно медленно вертикальная скорость здесь значительно меньше горизонтальной, то есть основания рассчитывать. что и к этому течению с неплохой точностью можно приложить теорию устойчивости для плоскопараллельных течений (некоторые оценки влияния поправочных членов в уравнении Орра — Зоммерфельда (2.28), возникающих при рассмотрении почти, но не точно плоскопараллельных течений, позволяющие в известной мере оправдать это предположение, были выполнены Пречем (1941а)). Поэтому Толмин и Шлихтинг в своих расчетах много внимания уделили устойчивости плоскопараллельного течения с профилем скорости, совпадающим или близким к профилю Блазиуса (изображенному на рис. 2 на стр. 54). В результате они сумели построить кривую т. е. определить границу области неустойчивости в плоскости имеющую по их данным примерно ту же форму, что и кривая на рис. 14. Критическое число Рейнольдса где — толщина вытеснения пограничного слоя, определяемая формулой (1.53), по

Толмину оказалось равным 420, а по Шлихтингу — 575. Согласно формуле (1.56) это означает, что по Толмину и по Шлихтингу. Тот факт, что эти значения несколько ниже указанных в может быть естественно объяснен тем, что потеря устойчивости вовсе не должна сопровождаться мгновенным переходом к турбулентному режиму. В точке потери устойчивости лишь возникают некоторые нарастающие колебания, которые усиливаются, сносясь вниз по течению, и при каком-то большем х вызывают переход к развитой турбулентности. С другой стороны, однако, полученные значения сами по себе никак не могут рассматриваться и как подтверждающие теорию Толмина — Шлихтинга, и поэтому неудивительно, что еще Тэйлор (1938) высказывал сомнение в законности применения этой теории к реальному течению в пограничном слое, не являющемуся на самом деле плоскопараллельным. Однако непосредственная экспериментальная проверка теории Толмина — Шлихтинга, произведенная Шубауэром и Скрэмстедом (1947) как раз на примере течения в пограничном слое, подтвердила в основных чертах все ее выводы и тем самым показала, что сомнения в правильности этой теории не являются основательными. После этого Линь (1945) и Шэнь (1954) еще раз повторили расчеты Толмина и Шлихтинга и получили снова значение но несколько отличающуюся от прежних форму границы области неустойчивости, показанную на рис. 15.

Упоминавшиеся выше опыты Шубауэра и Скрэмстеда производились в аэродинамической трубе Национального бюро стандартов США в Вашингтоне, обладающей особенно малой начальной турбулентностью; параметр в этой трубе при соблюдении некоторых специальных мер предосторожности может быть доведен до значений порядка

Рис. 15. Форма нейтральной кривой на плоскости для пограничного слоя над плоской пластинкой.

Это обстоятельство залось очень. важным, так как некоторые имеющиеся в настоящее время результаты показывают, что при значениях превышающих 0,002 (т. е., в частности, при значениях, имевшихся во всех более старых опытах) переход к турбулентности, по-видимому, вызывается влиянием конечных возмущений во внешнем потоке в соответствии с описанной в п. 2.2 схемой Тэйлора, Однако при основную

роль при этом переходе играют случайные малые двумерные возмущения синусоидальной формы, амплитуда которых при некоторых условиях возрастает вниз по течению в полном соответствии с выводами теории возмущений. Подобные правильные колебания и были еще в 1940 г. обнаружены Шубауэром и Скрэмстедом с помощью тщательных термоанемометрических наблюдений. В дальнейшем с целью более аккуратной проверки выводов теории эти авторы использовали также помещенную в пограничный слой тонкую металлическую ленту, приводимую в колебание при помощи электромагнита и создающую искусственные возмущения фиксированной частоты При этом им удавалось обнаружить нейтральные (не возрастающие и не затухающие) почти чисто синусоидальные колебания скорости, соответствующие точкам граничной кривой на диаграмме устойчивости. Для сопоставления этих данных с выводами теории удобно рассмотреть вместо более обычных возмущений вида (2.27) с фиксированным волновым числом возмущения вида с фиксированной (вещественной) частотой гл и переменным (вообще говоря, комплексным) т. е. исследовать вопрос об изменении вдоль пластинки (т. е. с ростом х) возмущений заданной частоты создаваемых в фиксированной точке потока (о связи такого подхода к теории устойчивости с обычным см. статью Гастера (1962)). При этом мы можем рассчитать кривую и получить, таким образом, форму области неустойчивости на плоскости Результаты такого подсчета (по данным Шэня (1954)) приведены на рис. 16 вместе с эмпирическими точками Шубауэра и Скрэмстеда для частот нейтральных возмущений. Совпадение теории с опытом здесь оказывается вполне удовлетворительным.

Рис. 16. Рассчитанная форма нейтральной кривой на плоскости для пограничного слоя на плоской пластинке и экспериментальные данные о частотах нейтральных колебаний.

Впоследствии опыт Щубауэра и Скрэмстеда был повторен также Бэрнсом, Чайлдсом, Николом и Россом (1959), использовавшими вместо термоанемометра помещенную в поток посеребренную пластинку. Пульсации этой пластинки, создаваемые z-компонентой скорости потока, вызывали пульсации

отражения направленного на нее пучка света, которые легко поддавались измерению. Результаты, полученные этими авторами, указаны на рис. 16 крестиками; они также хорошо совпадают с выводами теории.

Рис. 17. Эмпирические данные о волновых числах нейтральных возмущений в пограничном слое над плоской пластинкой по данным Шубауэра и Скрэмстеда.

На рис. 17 приведены эмпирические данные Шубауэра и Скрэмстеда, касающиеся на этот раз волновых чисел нейтральных возмущений; эти данные тоже неплохо укладываются на теоретическую кривую. Дальнейшие данные, касающиеся сравнения эмпирических данных Шубауэра и Скрэмстеда с выводами теории, можно найти в книгах Линя (1955) и Шлихтинга (1951, 1959) и в обзорных статьях Драйдена (1959) и Стюарта (1963).

Аналогично проводятся также расчеты нейтральной кривой и в случае более сложных профилей скорости, соответствующих, например, пограничному слою при обтекании искривленных поверхностей и при течениях с градиентом скорости во внешнем потоке. Любопытно, что форма получаемой при этом кривой существенно зависит от того, имеет ли профиль скорости точку перегиба (т. е. обращается ли в нуль при некотором z) или нет. В последнем случае граница области устойчивости имеет то же характер, что и в случаях течения

Пуазейля между двумя плоскостями и ллоскопараллельного течения полупространстве с профилем Блаузиуса (см. рис. 14 и 15), т. е. при обе ее ветви стягиваются к оси абсцисс.

Рис. 18. Схематическая форма нейтральной кривой в плоскости для течения с профилем скорости, имеющим точку перегиба (например, для пограничного слоя при наличии замедляющего градиента давления).

Таким образом, при отсутствии у профиля скорости точки перегиба любые возмущения фиксированной длины волны (или фиксированной частоты) при возрастании числа Рейнольдса в конце концов становятся устойчивыми. В случае же наличия у профиля скорости точки (или точек) перегиба верхняя граница области устойчивости при имеет конечную асимптоту (см. рис. 18); иначе говоря, здесь существует интервал длин волн (или частот) таких, что соответствующие возмущения неустойчивы при сколь угодно больших числах Рейнольдса. Это обстоятельство, очевидно, непосредственно связано с определяющей ролью наличия точки перегиба у профиля скорости для неустойчивости течений идеальной жидкости.