ГЛАВА V. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

§ 9. ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

9.1. Уравнения гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа

В предыдущих главах мы все время пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода поток несжимаемой жидкости (которую мы только будем рассматривать в настоящей главе) в момент характеризуется полем скорости и т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках пространства (в настоящей главе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно, как правило, обозначать координаты через а не через как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью (1.9)) при этом позволяют (во всяком случае, принципе) определить значения переменных Эйлера в любой момент времени по заданным начальным значениям Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в турбулентном потоке) или деформация материальных (состоящих из фиксированных элементов жидкости) поверхностей и линий в турбулентном потоке, использование переменных Эйлера неудобно, а более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Этот метод заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства здесь за основу берется движение фиксированных «жидких частиц», прослеживаемое начиная от некоторого начального момента времени Под «жидкими частицами» при этом понимаются объемы жидкости, линейные размеры которых очень велики по сравнению со

средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными, и что в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися «как одно целое» (т. е. без заметной деформации). Иначе говоря, «жидкая частица» представляет собой выделенную «точку» объема жидкости, перемещающуюся внутри этого объема в соответствии с уравнениями гидромеханики. Лагранжев метод описания самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, составляющими в совокупности гидродинамический поток, и поэтому он представляется даже более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера вследствие чего уравнения гидродинамики в форме Лагранжа довольно редко используются при конкретных расчетах. Если для случая идеальной (невязкой) жидкости такие уравнения все же приводятся в некоторых учебниках (см., например, Ламб (1932)), то для случая вязкой жидкости соответствующие уравнения до сих пор очень мало изучены; вывод этих уравнений, позволяющий записать их в сравнительно компактном виде, впервые был опубликован по-видимому, лишь сравнительно недавно Гербером (1949) (см. также Монин (1962в)). Хотя использование лагранжевых уравнений гидродинамики вязкой жидкости в задачах теории турбулентности еще является делом будущего, мы приведем здесь все же вывод этих уравнений, попутно вводя ряд понятий и обозначений, которые будут далее постоянно использоваться в настоящей главе.

Исчерпывающей лагранжевой характеристикой потока несжимаемой жидкости может служить функция задающая для любого момента времени координаты X всевозможных «жидких частиц», идентифицируемых по значениям некоторого параметра х. Уравнения гидродинамики в принципе должны позволить определить значения при любых по заданным начальным значениям скоростей «жидких частиц» ?—т. е. по величинам

Связь между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками дается соотношением

Переход от эйлеровых уравнений гидродинамики к лагранжевым заключается в замене независимых переменных на и переходе от неизвестной функции к новой неизвестной связанной с формулой (9.1).

Далее в настоящем параграфе мы всегда будем использовать в качестве лагранжевых параметров «жидких частиц» х начальные значения их пространственных координат X в момент , т. е. положим

При этом функция двух переменных описывает семействе траекторий «жидких частиц», находившихся в начальный момент времени во всевозможных точках х объема, занятого жидкостью. Ясно, что и в любой момент точки соответствующие всевозможным допустимым значениям х, непрерывно заполняют весь объем, занятый жидкостью. Таким образом, мы видим, что лагранжев метод заключается в задании потока жидкости в виде семейства траекторий (отличающихся друг от друга значениями на каждой из которых роль параметра играет время Отметим, что согласно сказанному выше «жидкие частицы», соответствующие этим траекториям, фактически представляют собой математические точки, плывущие вместе с жидкостью.

Перейдем теперь к выводу лагранжевых уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости. Будем пользоваться декартовыми компонентами векторов X и х, которые обозначим соответственно. Как указывалось выше, переход от эйлеровых уравнений гидродинамики к лагранжевым заключается прежде всего в замене независимых переменных на Подчеркнем, что при этой замене переменных мы переходим от декартовых координат к нестационарным криволинейным и неортогональным координатам, сопутствующим движению жидкости, Действительно, каждая координатная поверхность — во все моменты времени состоит из одних и тех же «жидких частиц»; в начальный момент времени такие поверхности суть плоскости, но с течением времени они, перемещаясь вместе с жидкостью, искривляются,

Далее мы будем использовать для якобианов по переменным сокращенное обозначение

и будем учитывать, не оговаривая этого, то обстоятельство, что величина не меняется при циклической перестановке переменных и меняет знак при их ациклической перестановке.

При переходе от эйлеровых координат к лагранжевым большую роль играет матрица

Согласно (9.2) в начальный момент времени т. е. матрица М является единичной, а Величины суть элементы обратной матрицы т. е. алгебраические дополнения элементов в матрице М, деленные на Отсюда для вычисления производных по эйлеровым координатам получаем формулу

Здесь и в дальнейшем под всегда подразумевается циклическая перестановка индексов (1, 2, 3). В справедливости формулы (9.5) легко убедиться, записав ее левую часть в виде где повторяющемуся индексу а, как обычно, подразумевается суммирование); такое же выражение получается в правой части при разложении входящего в нее детерминанта по элементам столбца

Из (9.1) и (9.5) вытекает следующее соотношение для дивергенции скорости:

(где - декартовы компоненты поля скорости). В случае несжимаемой жидкости дивергенция скорости тождественно равна дулю, так что и, следовательно, не меняется со временем. Поскольку в начальный момент времени это равество остается справедливым и для любого

момента времени. Вспоминая выражение (9.4) для имеем

Это равенство и играет роль уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (вязкой или идеальной, безразлично) в лагранжевых переменных.

Далее мы будем пользоваться формулой (9.5), полагая в ее правой части Дважды используя эту формулу, для оператора Лапласа по эйлеровым координатам получаем выражение

Теперь мы можем уже без всякого труда перейти к лагранжевым переменным в уравнениях Навье — Стокса

Пользуясь формулами (9.1), (9.5) и (9.7), получаем

Уравнения (9.6) и (9.9) относительно неизвестных образуют полную систему уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа.

Отметим, что нелинейным относительно основных динамических переменных слагаемым в уравнениях движения соответствуют силы, описывающие взаимодействие между компонентами механической системы. Так, в уравнениях Навье — Стокса (9.8) нелинейные (а именно, квадратичные) относительно переменных слагаемые содержатся в выражении для ускорения им соответствуют силы инерционного взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости через которые (с помощью формулы выражается и градиент давления (подчеркнем, что силы вязкости описываются в (9.8) линейными выражениями). Однако инерционные взаимодействия имеют относительный характер — они устраняются при переходе к сопутствующей системе отсчета. В лагранжевых уравнениях движения (9.9) нелинейными

относительно переменных выражениями описываются уже лишь реальные силы взаимодействия между жидкими частицами — силы давления и вязкости (причем силы вязкого взаимодействия здесь описываются нелинейными выражениями пятой степени относительно переменных Отношение типичных для данной задачи значений нелинейных и линейных слагаемых в уравнениях движения можно назвать константой взаимодействия. Так, в случае уравнений Навье — Стокса (9.8) константой инерционного взаимодействия является отношение типичных значений сил инерции и сил вязкости, т. е. число Рейнольдса при достаточно больших (характерных для развитой турбулентности) инерционные взаимодействия оказываются весьма сильными. В лагранжевом описании константой вязкого взаимодействия является отношение типичных значений сил вязкости к типичному ускорению, т. е. при больших вязкие взаимодействия оказываются весьма слабыми.

Приведем еще вид лагранжевых уравнений гидродинамики для двумерного плоскопараллельного течения. Пусть движение жидкости происходит только в плоскостях (так что причем не зависят от Тогда, используя для якобианов по обозначения вида

уравнения (9.6) и (9.9) нетрудно привести к виду

В этом случае вязкие силы, очевидно, описываются уже нелинейными выражениями третьей степени относительно переменных

В заключение настоящего пункта отметим, что, кроме использования соотношения (9.1), имеется еще один способ установления связи между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками потока жидкости, основанный на рассмотрении произвольных консервативных характеристик «жидких частиц» (т. е. гидродинамических характеристик, значения которых для фиксированной «жидкой частицы» не меняются при ее движении). При лагранжевом описании каждую такую характеристику можно записать в виде так как при фиксированном х она не зависит от времени При эйлеровом описании,

однако, значения такой характеристики в фиксированной точке пространства X могут меняться со временем Связь между лагранжевым и эйлеровым описанием будет, очевидно, даваться соотношением

Так как , то и полная производная по времени от правой части должна быть равна нулю, т. е.

где мы воспользовались формулой (9.1). Пользуясь, кроме того, уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости , получаем

Это уравнение является дифференциальным аналогом соотношения (9.12). Таким образом, эйлерово поле любой консервативной характеристики «жидких частица удовлетворяет уравнению переноса (9.13). В частности, консербивнои характеристике отличной от нуля (и равной бесконечности), лишь для одной «жидкой частицы» (с иаадиьной координатой соответствует эйлерово поле

которое является решением уравнения переноса (9.13) при начальном условии