10.6. Диффузия с конечной скоростью

Параболический характер полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии (10.55) приводит к тому, что примесь, внесенная в жидкость в момент времени немедленно распространяется по всему пространству и в момент где сколь

угодно мало, уже может быть обнаружена, хотя бы и в очень малом количестве, на сколь угодно большом расстоянии от источника примеси (см., например, формулу Это обстоятельство явно противоречит фактической ограниченности скоростей движения частиц примеси. Оно непосредственно связано с тем, что в полуэмпирической теории мгновенная скорость «жидких частиц», как мы видели на стр. 534, оказывается бесконечной. На практике, однако, появление в рассматриваемой теории бесконечной скорости чаще всего не играет большой роли, так как окружающий источник примеси объем, внутри которого концентрация не слишком мала, всегда ограничен, и распределение концентрации внутри этого объема при не слишком малом времени диффузии, как правило, удовлетворительно описывается параболическим уравнением диффузии. Тем не менее, вблизи от реальных границ облака примеси использование параболического уравнения диффузии может привести к существенным ошибкам. Например, дым, вышедший из трубы высоты Н, на самом деле достигает поверхности земли не ближе чем на расстоянии от трубы, равном где минимальная скорость ветра, максимальная скорость вертикальных движений частиц дыма; в то же время, согласно полуэмпирическому параболическому уравнению диффузии, дым может быть обнаружен у поверхности земли сколь угодно близко к. трубе. Поэтому в некоторых случаях желательно иметь более общую полуэмпирическую теорию диффузии, в которой учитывалась бы ограниченность скорости движения жидких частиц. Подобное обобщение обычной теории диффузии (не обязательно турбулентной) в разное время предлагалось рядом авторов; в настоящем пункте мы его изложим, следуя в основном работам Монина (1955, 19566).

Будем считать, что случайная функция описывающая движение «жидкой частицы», почти всюду дифференцируема по и ее производная — скорость «жидкой частицы» ограничена. Функцию при этом уже нельзя считать марковской функцией от Действительно, выше мы уже видели, что в случае марковской функции скорость всегда будет бесконечной, если только Если же допустить, что то скорость уже не будет бесконечной, но, как легко видеть, функция при этом вообще не будет случайной.

Таким образом, условие ограниченности скорости «жидкой частицы» несовместимо с предположением, что ее координата является марковской случайной функцией от

Аналогичная ситуация возникает в теории молекулярной диффузии при попытке учета инерции диффундирующей частицы; благодаря инерции ее траектория оказывается всюду имеющей конечную производную откуда вытекает, что функцию уже нельзя считать марковской. Известно, что в теории молекулярной диффузии (т. е. брауновского движения) учет инерции частиц осуществляется на основе предположения, что марковской является не функция а шестимерная функция например, Уленбек и Орнштейн (1930) или Чандрасекар (1943)). Аналогично этому будем поступать далее и мы.

Ограничимся для простоты рассмотрением одномерной задачи о диффузии по направлению оси В соответствии со сказанным выше попытаемся построить обобщение полуэмпирической теории турбулентной диффузии на основе нового полуэмпирического предположения, более широкого, чем предположение о марковском характере функции А именно, допустим, что марковской является двумерная случайная функция где координата «жидкой частицы», скорость. Поставив при, этом своей целью только учет ограниченности скорости мы можем ограничиться лишь весьма грубым описанием возможных значений Пусть разобьем всю область возможных значений скорости — на конечное число интервалов и вместо конкретных значений будем указывать лишь номера интервалов в которые эти значения попадают. Иначе говоря, вместо случайной функции мы будем рассматривать случайную функцию принимающую дискретные значения и примем предположение, что марковской является случайная функция

Рассмотрим теперь условные вероятности

Плотность вероятности для координаты «жидкой частицы» играющая основную роль в теории турбулентной диффузии, выражается через функции по формуле

Общие дифференциальные уравнения марковских случайных процессов, указанные Колмогоровым (1931), в данном случае

сводятся к следующей системе уравнений относительно функций заменяющей обычное полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии:

Здесь приняты обозначения

где - это смещение частицы при условии, что значения фиксированы. Очевидно, это математическое ожидание скорости частицк при условии, что принадлежит интервалу так что значение при всех лежит где-то внутри интервала А. Смысл величин можно пояснить следующим образом. Поскольку функция принимает лишь целочисленные значения, она может изменяться лишь скачками, переходя от значения в момент, непосредственно предшествующий к некоторому другому значению в момент, сразу следующий за Величины при это средние частоты переходов от вероятность скачка от в течение промежутка времени при условии, что Так как то ясно, что ; следовательно, ; равно взятой со знаком минус средней частоте переходов от к какому-то Другому значению

Уравнения (10.133) образуют полуэмпирическую систему уравнений диффузии, соответствующую сформулированным выше предположениям. Эти уравнения надо решать при начальных условиях

Величины задают распределение вероятностей для т. е. фактически для значений начальной скорости «жидкой частицы».

Рассмотрим более детально простейшую схему, в которой вся область возможных значений скорости «жидкой частицы»

разбивается лишь на два интервала Выберем в качестве интервалы случайная функция в этом случае указывает направление движения «жидкой частицы». Предположим для определенности, что оба направления равноправны, так что, в частности, в этом случае можно положить средняя абсолютная скорость частицы) и — частота изменений направления движения). Тогда уравнения (10.133) принимают вид

Уравнения такого типа (или вытекающее из них телеграфное уравнение, которое мы выведем ниже) впервые были получены (для описания одномерной диффузии фотонов) Фоком (1926), затем (для описания молекулярной диффузии с учетом конечности скоростей диффундирующих частиц) — Давыдовым (1935), Каттанео (1948—1949), Гольдштейном (1951), Р. Дэвисом (1954) и другими авторами. Для описания турбулентной диффузии такие уравнения предлагались Ляпиным (1948, 1950) и Мониным (1955, 19566).

Предположим, что диффузия происходит в поле стационарной турбулентности. В этом случае величины а и не зависят от и, следовательно, могут зависеть лишь от Введя новые неизвестные (плотность вероятности для координаты диффундирующей частицы) и (плотность потока диффундирующих частиц), получим

Первое из этих уравнений (справедливое и в случае нестационарной турбулентности) выражает закон сохранения количества диффундирующей примеси. Согласно этому уравнению, можно положить

причем будет иметь смысл

интегральной функции распределения вероятностей для координаты диффундирующей частицы. Подставив формулы (10.137) во второе уравнение (10.136), мы получим для функции Р так называемое телеграфное уравнение

Это уравнение — гиперболического типа; ему соответствует распространение диффундирующей примеси в пространстве с конечной скоростью, не превосходящей Оно также является лишь приближенным, так как опирается на нестрогую гипотезу о марковском характере функции но все же оно точнее обычного (одномерного) полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии. В самом деле, нетрудно показать, что наше новое уравнение диффузии представляет собой обобщение параболического уравнения диффузии: последнее получается из уравнения (10.138) как некоторый предельный случай. Это легче всего продемонстрировать на примере диффузии в поле стационарной однородной турбулентности, в котором коэффициенты а и не зависят не только от но и от т. е. являются постоянными. В этом случае (а также ) удовлетворяет такому же уравнению, что и а именно — телеграфному уравнению

Если параметры а и неограниченно возрастают, причем таким образом, что отношение стремится к конечному пределу (который мы обозначим К), то телеграфное уравнение (10.139) в пределе превращается в параболическое уравнение диффузии (отвечающее рассматриваемому здесь случаю, когда .

Решение уравнения (10.139) для неограниченного пространства при начальных условиях (10.134) имеет вид

где символы функций Бесселя мнимого аргумента, и при функция принимается равной нулю. Формула (10.140) показывает, что в рассматриваемой здесь теории распределение примеси, диффундирующей от мгновенного точечного источника, имеет четкую границу — «фронт волны» на котором сосредоточена конечная доля всего количества диффундирующей примеси (причем эта доля экспоненциально убывает со временем). За этим «фронтом» тянется непрерывный «след» (образованный частицами примеси, испытавшими многократное «рассеяние», т. е. изменение направления движения). В основной части этого «следа», а именно при правая часть (10.140) при и любых как нетрудно видеть, почти не отдичается от функции - являющейся решением параболического уравнения Таким образом, теория диффузии с конечной скоростью приводит к заметному расхождению с выводами из параболического уравнения диффузии только или при очень малом времени диффузии или же вблизи от границы облака примеси, где концентрация по любой теории очень мала. В качестве иллюстрации на рис. 84 приведены графики непрерывной части распределения при для двух значений вместе с графиками распределения примеси, отвечающими параболическому уравнению диффузии.

Математическое ожидание и дисперсия распределения (10.140) равны

при они почти не отличаются от значений Согласно принятой здесь модели процесса диффузии, вероятность «рассеяния» на малом интервале времени равна а «рассеяния» на непересекающихся интервалах времени суть независимые случайные события.

Рис. 84. Сопоставление непрерывной части распределения при по теории диффузии с конечной скоростью с распределением Гаусса, вытекающим из параболического уравнения диффузии. Кривая 1 отвечает правой части формулы (10.140) (без слагаемых, содержащих -функции) при кривая 2 — то же, при пунктирная кривая — распределение Гаусса.

Поэтому число «рассеяний» на интервале времени это случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром

Если обозначить через условную плотность вероятности для при условиях то, очевидно,

Эта формула дает разложение распределения (10.140) по «кратности» рассеяний; с помощью (10.140) можно убедиться, что а при функции отличны от нуля лишь при и при этом условии имеют вид

При распределение (10.140) асимптотически приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсиеи являющемуся решением параболического уравнения диффузии Тот же предел, как мы видели, достигается, если (а так же — фиксированы и фиксировано, но х неограниченно возрастает. Таким образом, при достаточно больших точках , далеких от «фронта волны» изложенная схема описания турбулентной диффузии дает практически такие же результаты, что и обычная полуэмпирическая теория, основанная на использовании параболического уравнения. Это обстоятельство еще раз показывает, что изложенная схема действительно является обобщением полуэмпирической теории в том смысле, что содержит в себе последнюю в качестве предельного случая.

В качестве примера применения теории диффузии с конечной скоростью к случаю неоднородной турбулентности посмотрим, как будет выглядеть эта теория в применении к вертикальной диффузии в приземном слое воздуха. В этом случае распределение концентрации следует определять по формуле где решение соответствующего телеграфного уравнения (10.138) при надлежащих краевых условиях (мы ниже будем использовать лишь условие «отражения» примеси при и начальном условии, отвечающем наличию в момент мгновенного точечного источника примеси единичной интенсивности в точке (0, 0, Н). В силу общих

принципов подобия, развитых в гл. 4, следует ожидать, что коэффициенты (размерности скорости) и а (размерности частоты) здесь могут быть представлены в виде

где безразмерные универсальные функции, введенная для удобства числовая постоянная, позволяющая наложить на функцию дополнительное ограничение (при этом X будет иметь смысл предельного значения при т. е. отношения при безразличной стратификации). Поскольку рассматриваемая теория диффузии все равно не является точной, имеет смысл привлечь дополнительные приближенные соображения полуэмпирического характера и для определения функций Это можно сделать, например, следующим образом. Примем за основу полуэмпирическое соотношение (см. § 6); если, кроме того, еще допустить, что то отсюда вытекает, что

универсальная функция, определяющая профиль средней скорости ветра в приземном слое воздуха. Воспользуемся теперь тем, что в стационарном случае уравнения (10.136) имеют вид

где вертикальный поток диффундирующей примеси. При безразличной стратификации, которой мы уделим больше всего внимания в дальнейшем, поэтому правую часть второго уравнения (10.146) здесь можно записать в виде общем случае, строго говоря, это будет уже не так, но можно надеяться, что и здесь появляющаяся поправка к слагаемому — будет относительно невелика и не будет играть большой роли. Таким образом, в первом приближении можно положить

С другой стороны, если пренебречь возможным различием коэффициента турбулентной диффузии и коэффициента турбулентной вязкости, то, согласно теории подобия, градиент стационарного распределения концентрации пассивной примеси будет равен

Сравнивая два приведенных выражения для и используя (10.145), получим

Формулы (10.144), (10.145) и (10.147) при известной функции и известной постоянной а (которую допустимо считать принимающей разные значения при устойчивой и при неустойчивой стратификации) полностью определяют вид коэффициентов телеграфного уравнения диффузии приземного слоя воздуха. При этом предельный переход соответствующий замене телеграфного уравнения обычным параболическим уравнением диффузии, очевидно, будет эквивалентен переходу к пределу при

Пользуясь полученными формулами и переходя к безразмерным переменным мы можем привести уравнение (10.138) к виду

где а переменная и функция определяются формулами

Как и функция переменная и функция в случаях безразличной, устойчивой и неустойчивой стратификации определяются по-разному. Так, в случае безразличной стратификации во всех предыдущих формулах следует перейти к пределу или Но при малых поэтому уравнение (10.148) здесь принимает вид

Если теперь мы вернемся от безразмерных переменных к размерным переменным то масштаб сократится. Поэтому в случае безразличной стратификации мы можем пользоваться уравнением (10.150), понимая под любой конечный масштаб. В случае устойчивой стратификации, пользуясь для например, интерполяционной формулой где при больших получаем: В случае неустойчивой стратификации при больших имеем так что и Следовательно, функция в уравнении (10.148) при устойчивой стратификации возрастает с увеличением медленнее, а при неустойчивой стратификации — быстрее, чем ; в этом и заключается основное качественное отличие указанных случаев от случая безразличной стратификации.

Далее мы ограничимся рассмотрением уравнения (10.150), описывающего диффузию с конечной скоростью в приземном слое воздуха при безразличной температурной стратификации. При этом в качестве масштаба используемого для измерения высот удобно выбрать высоту источника Н, так что безразмерные переменные определяются формулами Начальные условия для интересующего нас решения

мы сформулируем сначала в терминах условных плотностей вероятности удовлетворяющих уравнениям (10.135):

где вероятности положительного и отрицательного направления начального движения диффундирующей частицы, определяемые из физических соображений (например, для частиц дыма, выходящих из дымовой трубы, естественно принять, что а для частиц газа, распространяющихся от точки разрыва снаряда — что Но так как в силу формул (10.137), то для функции начальные условия записываются в виде

где сосредоточенное в точке распределение вероятностей, т. е. функция, равная нулю при и единице при

Интересующее нас решение уравнения (10.150), удовлетворяющее условию «отражения» примеси на поверхности Земли очевидно, будет совпадать с решением уравнения

во всем пространстве соответствующим наличию, кроме источника в точке Я, также и симметрично действующего источника в точке —Я. Поэтому мы можем положить где решение уравнения (10.152), удовлетворяющее условиям (10.151). В частном случае наземного источника (при в условиях (10.151), очевидно, надо считать, что а решение здесь обращается в функцию которая может зависеть только от отношения своих аргументов имеет вид При этом уравнение (10.152) обращается в обыкновенное уравнение второго порядка относительно решение которого, отвечающее условиям нашей задачи, как оказывается, имеет вид

(Монин (1956б)). Следовательно, концентрация примеси здесь задается формулой

Отметим, что согласно формуле (10.153), т. е. функция здесь оказывается непрерывной в точке иными словами, доля примеси, находящаяся на «фронте» ее распространения во все моменты времени равна нулю (это объясняется тем, что в точке частота

«рассеяний» бесконечно велика, так что частица, вышедшая из источника в точке не может не испытать одного рассеяния). Характер поведения концентрации примеси около «фронта» существенно зависит от значения числовой постоянной При концентрация примеси неограниченно растет при приближении к «фронту», так что последний имеет характер сильного разрыва. При наоборот, концентрация примесн при приближении к фронту стремится к нулю (а при к некоторому конечному значению) Экспериментальным данным Казанского и Монина (1957) лучше всего соответствует значение близкое к единице. В экспериментах этнх авторов измерялись профнлн концентрации примесн в дымовой струе от стационарного линейного источника, перпендикулярного направлению ветра, на расстоянии от источника в Двадцать измеренных профилей были сведены на один график в форме где — наибольшее значение концентрации дыма для данного профиля (которое из-за того, что дым был теплее воздуха и поэтому стремился подняться вверх, обычно достигалось не при а на небольшой положительной высоте), высота дымовой струи в точке измерения. Эмпирические данные о следует сравнивать с теоретической кривой Такое сравнение показано на рис. 85, где пунктирными кривыми проведены теоретические функции с и График показывает, что концентрация дыма при приближении к «фронту» остается, по крайней мере, ограниченной и что теоретическая кривая с все же лучше аппроксимирует экспериментальные данные, чем с В одном из опытов Казанского и Моннна с помощью кинематографирования одиночного клуба дыма был также изучен характер роста его вертикального диаметра со временем. При этом оказалось, что экспериментальная кривая хорошо аппроксимируется прямой причем значение оказалось равным 0,75, чему опять соответствует значение близкое к единице.

При сопоставлении теории диффузии с конечной скоростью с обычной полуэмпирической теорией турбулентной диффузии решение (10.154) целесообразно сравнивать с решением (10.93), отвечающим случаю линейного возрастания коэффициента обмена Такое сопоставление (в предположении, что представлено на заимствованном из книги Паскунла (19626) рис, 86. Мы видим, что профиль средней концентрации при

Рис. 85. Вертикальное распределение плотности дыма в дымовой струе.

каждом фиксированном в пределах значений Z, которым еще соответствуют относительно большие значения концентрации О, принимает очень близкую форму в теории диффузии с конечной скоростью и в обычной полуэмпирической теории. Существенное расхождение профилей наблюдается лишь около «вершины» облаку примеси, где согласно теории диффузии с конечной скоростью концентрация внезапно падает до нулевого значения, в то время как согласно обычной теории она продолжает плавно убывать, оставаясь отличной от нуля при сколь угодно больших значениях

Рис. 86. Сопоставление вертикального распределения концентрации по теории диффузии с конечной скоростью (пунктирная кривая) с распределением, получаемым из параболического уравнения диффузии с линейным по высоте коэффициентом обмена (сплошная кривая).

При функция (10.54), естественно, стремится к функции (10.93), являющейся решением параболического уравнения диффузии . В случае наземного точечного источника, производящего примесь, начиная с момента с Постоянной (единичной) скоростью, концентрация находится с помощью интегрирования по времени решения (10.154); при отсюда легко получается следующее разложение по степеням

Эта формула позволяет оценивать скорость приближения профиля концентрации к логарифмическому профилю, соответствующему стационарному наземному источнику.

В случае высотного источника (на произвольной высоте Н) решение соответствующей задачи с начальными условиями для уравнения (10.152) может быть найдено с помощью общего метода Римана решения дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. Это решение, вообще говоря, имеет значительно более громоздкий вид (оно представляется в виде интеграла от сложной комбинации гипергеометрических функций; см. Монин (1956б)). Тем не менее, в некоторых случаях оно может быть заметно, упрощено. Так, например, для наземной концентрации примеси от высотного мгновенного точечного источника, выпустившего всю примесь вверх (дымовая труба), получается формула вида

Исходя из формул (10.140) и (10.156), для распределения наземной концентрации по направлению ветра от дымовой трубы высоты Н можно получить формулу

где

масса дыма, выходящего из трубы за единицу времени, скорость ветра (предполагаемая постоянной), средняя скорость движения и частота «рассеяний» частнц, диффундирующих в горизонтальной плоскости поперек направления ветра. Параметр а следует считать малым, и при оценке положения и величины максимума функции (10.157) йожно приближенно заменить единицей.