6.4. Баланс турбулентной энергии в сжимаемой жидкости

Учет сжимаемости жидкости и, в частности, пульсаций плотности сразу вносит в изложенные выше расчеты существенное усложнение. А именно, при этом средняя плотность импульса оказывается уже равной где средняя плотность импульса пульсационного движения (при отсутствии пульсаций плотности обращающаяся в нуль).Аналогично, средняя плотпость кинетической энергии здесь имеет вид

где плотность энергии среднего движения, плотность энергии пульсационного движения, — дополнительная часть пульсационной энергии, овязаиная с работой импульса при перемещениях жидкости, составляющих осредненное течение.

При составлении уравнений для моментов в случае сжимаемой жидкости в основу должны быть положены общее уравнение неразрывности (1.1) и уравнения движения (1.3), которые мы здесь перепишем в виде

В уравнениях (6.29) символом как обычно, обозначен единичный тензор, а символом — общий тензор вязких напряжений,

задающийся формулой остальные обозначения не отличаются от использовавшихся в уравнениях (1.3). Осредняя уравнения (1.1) и (6.29), получим соотношения

играющие в данном случае ту же роль, которую играют уравнения Рейнольдса (5.1) в случае турбулентности в несжимаемой жидкости. С помощью уравнения (6.30) и уравнения

вытекающего из (1.4) (и, следовательно, справедливого лишь в пренебрежении пульсациями коэффициентов вязкости), можно найти также выражение для производной При этом мы получим соотношение

где

— величина, которая для случая несжимаемой жидкости обращается в нуль. Сравнение уравнения (6.32) (с 6.31) показывает, что

Таким образом, величины имеют ясный физический смысл — они описывают обмен импульсом между осредненным и пульсационным движением.

Из уравнений движения (6.29) и уравнения неразрывности (1.1) легко получается также уравнение для тензора отличающееся от соответствующего уравнения для несжимаемой жидкости (уравнение (6.3) на стр. 319) лишь тем, что под

теперь надо понимать вязкие напряжения в сжимаемой жидкости. В частности, плотность кинетической энергии , в сжимаемой жидкости будет удовлетворять уравнению

отличающемуся внешне от (6.4) лишь наличием в правой части еще одного слагаемого описывающего изменение кинетической энергии в результате сжатий и расширений элементов жидкости (сопровождающихся изменением внутренней энергии). Взяв среднее значение от всех членов этого уравнения, мы получим уравнение для средней плотности кинетической энергии Е. Это уравнение, однако, мы здесь не будем выписывать, а вместо того выпишем три уравнения для трех составляющих плотности Е:

где

В этих уравнениях выражение в квадратных скобках описывает взаимные превращения энергий а выражения в фигурных скобках — взаимные превращения или

Уравнения (6.30) — (6.34) и (6.36) содержат целый ряд новых статистических характеристик турбулентности, не содержащихся в соответствующих уравнениях для несжимаемой жидкости. Наиболее существенными из этих новых характеристик являются величины компоненты средней плотности импульса пульсационного движения, или, что то же самое, компоненты

средней плотности турбулентного потока массы. Если осредненный турбулентный поток массы по направлению среднего движения отсутствует, то , и энергия пульсационного движения будет описываться лишь величиной Самое важное отличие общего уравнения для от уравнения (6.15), справедливого для несжимаемой жидкости, заключается в появлении слагаемого

которое мы сейчас рассмотрим несколько более подробно.

В большинстве турбулентных течений, встречающйхся на практике (как в природных условиях, так и в технических устройствах), основной массовой силой, действующей на жидкость и производящей работу, является сила тяжести. При этом, направив ось вертикально вверх, мы можем положлть где ускорение силы тяжести, а У,— компоненты ускорения других массовых сил. Но ускорение силы тяжести обычно значительно больше, чем индивидуальное ускорение частиц в осредненном движении и чем ускорения всех других массовых сил так что в большинстве задач можно положить

Смысл этой величины можно уяснить, заметив, что при наличии пульсаций плотности на турбулентные элементы действует архимедова сила — так что В есть средняя работа архимедовой силы при турбулентных перемещениях элементов жидкости. Таким образом, величина В описывает взаимные превращения кинетической энергии турбулентности и потенциальной энергии вертикального столба жидкости непостоянной плотности в поле тяжести. Особенно существенную роль играют такие взаимные превращения в случае вертикально стратифицированной жидкости с переменной по высоте средней плотностью (например, в случае атмосферы при отличной от безразличной температурной стратификации). Если вертикальная стратификация жидкости устойчива, то вертикальные перемещения турбулентных элементов сопровождаются затратой энергии на работу против архимедовых сил, так что (заметим, что при устойчивой стратификации плотность убывает с высотой, и пульсации плотности и вертикальной скорости, очевидно, будут иметь положительную корреляцию). В случае неустойчивой стратификации, наоборот, при вертикальных перемещениях турбулентных элементов работа архимедовых сил совершается за счет

потенциальной энергии стратификации и приводит к росту энергии турбулентности; в этом случае (корреляция и р отрицательна).

В случае атмосферной турбулентности и в ряде других важных случаев для вычисления величины можно воспользоваться уравнениями теории свободной конвекции и в соответствии с (1.73) считать, что где коэффициент теплового расширения среды. В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать случай газовой среды и в соответствии с уравнением состояния идеального газа будем считать, что где Т — средняя температура. В таком случае т. е. турбулентный поток массы оказывается пропорциональным турбулентному потоку тепла. Отсюда для величины В получается выражение

Для приближенного вычисления величины (6.39) часто можно использовать полуэмпирическую формулу (см. (6.25)), в силу которой

Иногда, однако, приходится учитывать то, что при вертикальных перемещениях элементов среды температура Т, вообще говоря, меняется, т. е. что она не является строго консервативной величиной. Так как, однако, лучистый и молекулярный теплообмен между турбулентными элементами и окружающей средой почти всегда очень мал, то энтропию или функционально с ней связанную потенциальную температуру (см. выше стр. 98) можно уже считать консервативной величиной. Вследствие малости пульсаций давления по сравнению с пульсациями температуры (на которой основывается все приближение свободной конвекции) поэтому Исходя отсюда, в тех случаях, когда соотношение (6.40) оказывается неточным из-за неконсервативности температуры, полуэмпирическое соотношение (6.25) обычно можно применить к потенциальной

емпературе , положив

(где снова имеет смысл отношения коэффициентов обмена для теплоты и для импульса).