ГЛАВА I. ЛАМИНАРНЫЕ И ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ

1.1. Система уравнений динамики несжимаемой жидкости

Турбулентность представляет собой сложное физическое явление, теоретическое изучение которого должно опираться на основные законы физики, находящие свое выражение в уравнениях гидро- и термодинамики. Поэтому мы начнем с того, что кратко напомним здесь эти уравнения и некоторые важнейшие вытекающие из них следствия, ограничившись, естественно, лишь теми формулами и фактами, которые нам понадобятся в дальнейшем (более подробное изложение см. например, в книгах Гольдштейна (1938), Кочина, Кибеля и Розе (1963), Ламба (1932) и Ландау и Лифшица (1953)). Поток жидкости мы, как обычно, будем характеризовать полем скорости и полями двух каких-либо термодинамических характеристик среды — например, полем давления и полем плотности или температуры всего пятью функциями от четырех переменных. Кроме того, нам будут нужны также значения молекулярных коэффициентов переноса, определяющих физические свойства жидкости, — коэффициента вязкости или кинематической вязкости и второго коэффициента вязкости , а в дальнейшем также и коэффициента теплопроводности и (или температуропроводности где теплоемкость жидкости при постоянном давлении).

Простейшим уравнением механики жидкости, выражающим физический закон сохранения вещества, является уравнение неразрывности

или

(здесь и ниже мы всегда будем предполагать, что по дважды повторяющемуся в одночленном выражении индексу производится суммирование от единицы до трех, так что например, имеет тот же смысл, что Основные динамические уравнения, выражающие второй закон Ньютона, примененный к малому объему жидкости, т. е. представляющие собой уравнения баланса количества движения (импульса), имеют следующий вид:

где компонента плотности внешних сил в точке х в момент Из уравнения следует, что плотность можно вынести за знак производной в первом члене левой части (1.3), одновременно вынеся также и за знак производной во втором члене. Что же касается до коэффициентов вязкости и , то изменение их значений в пространстве (обусловленное зависимостью этих коэффициентов от температуры, меняющейся от точки к точке) на практике чаще всего оказывается весьма незначительным, так что членами, содержащими производные этих коэффициентов, обычно вполне можно пренебречь. Но это значит, что величины в уравнениях (1.3) также могут быть вынесены за знак производной, после чего эти

уравнения принимают вид

Четыре уравнения (1.2) и (1. 4) содержат пять неизвестных функций и поэтому еще не образуют замкнутой системы. На практике, однако, изменения плотности движущейся жидкой частицы в очень многих случаях оказываются столь малыми, что ими также можно пренебречь. Такое пренебрежение, в частности, всегда будет законным в случае так называемых «капельных жидкостей», т. е. сред, являющихся жидкостями в обычном смысле этого слова. В случае же газообразных сред при стационарном движении (со скоростью , не зависящей от ) изменениями плотности, обусловленными изменениями давления вполне можно пренебречь, если только абсолютная скорость движения во всех точках потока мала по сравнению со скоростью распространения звука а. В общем случае нестационарного движения газа изменения плотности будут пренебрежимо малы, если кроме условия будет выполняться еще и условие где характерные время и расстояние, на которых скорость жидкости претерпевает заметное изменение (см. Ландау и Лифшиц (1953), ч. 1, § 10). Во всех перечисленных случаях плотность обычно вообще будет принимать постоянное значение во всем пространстве, заполненном жидкостью. При этом будет уже представлять собой заранее заданную постоянную величину (характеризующую свойства среды), и четырех уравнений (1.2) и (1.4) здесь будет достаточно для определения четырех неизвестных функций (при заданных начальных и граничных условиях).

Сами эти уравнения в рассматриваемом, теперь случае не сжимаемой жидкости приобретают более простой вид, так как в них можно опустить ряд членов, содержащих производные от (или выражающихся через такие производные). Так, в уравнений неразрывности (1.2) мы можем в этом случае опустить все слагаемые в левой части, после чего оно приобретает вид

В силу (1,5) в уравнениях движения (1.4) последний член в правой части тождественно обращается в нуль, после чего эти уравнения переходят в известные уравнения Навье-Стокса

Уравнения (1.6) представляют собой основные уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости. Мы видим, что они содержат уже единственный коэффициент вязкости, так что вторая вязкость оказывается существенной лишь при учете сжимаемости.

Легко видеть, что давление может быть с самого начала исключено из уравнений (1.6). В самом деле, для этого надо только применить к обеим сторонам (1.6) операцию взятия ротора, которая в тензорных обозначениях записывается как операция где полностью антисимметричный тензор третьего ранга (т. е. , если индексы не все различны, и или если тройка получается из тройки (1, 2, 3) при помощи четной или соответственно нечетной подстановки). Предполагая для простоты, что внешние силы отсутствуют, мы придем при этом к системе трех уравнений

где

— компоненты вектора вихря. В принципе из уравнений (1.7) и (1.8) могут быть определены три функции после этого для нахождения поля давления надо только решить уравнение Пуассона

получаемое с помощью применения к уравнениям операции (т. е. с помощью составления дивергенции векторного уравнения Навье — Стокса).

Из уравнения (1.9) следует, что с точностью до слагаемого, являющегося гармонической функцией х

где интегрирование распространяется на весь объем, заполненный жидкостью. В частности, если течение жидкости происходит во всем безграничном пространстве, то соответствующей гармонической функцией может быть лишь постоянная. Но поскольку в уравнениях движения фигурируют лишь производные от давления, то постоянное слагаемое в выражении для давления

вообще не играет никакой роли; поэтому здесь допустимо считать, что уравнение (1.9) является точным без всяких добавлений. Для течений в ограниченных областях гармоническую добавку к правой части (1.9) следует определять из граничных условий для давления; в ряде случаев и здесь она также оказывается постоянной и поэтому может не учитываться.