3.4. Характеристические функции и характеристический функционал

Во многих случаях вместо плотностей вероятности (3.9) удобно рассматривать их преобразования Фурье

Такие преобразования Фурье называются характеристическими функциями соответствующих распределений вероятности; в силу (3.12} их, очевидно,

можно также представить в виде

Ясно, что характеристическаи функция однозначно определяет отвечающее ей распределение вероятности: в самом деле,

в силу известной формулы обращения интегралов Фурье. Таким образом, задание характеристической функции равносильно заданию соответствующей плотности вероятности.

В силу самого своего определения характеристические функции являются комплексными непрерывными функциями от аргументов обладающими следующими свойствами:

и

(где звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины) при любом целом любых вещественных и любых комплексных В самом деле, левая часть (3.17), очевидно, равна среднему значению неотрицательной величины откуда и вытекает написанное неравенство. Можно также показать, что любая непрерывная функция от переменных, обладающая свойствами (3.16) и (3.17), является характеристической функцией некоторого -мерного распределения вероятности (которое, правда, может и не иметь плотности вероятности, а, например, относится к дискретному типу; см. Бохиер (1933)). Это обстоятельство нам еще понадобится во второй части книги.

Нетрудно видеть, что условие симметрии (3.10) и условие согласованности (3.11) в применении к характеристическим функциям переходят в условия

Таким образом, случайное поле любой гидродинамической величины можно также задать семейством характеристических функций (3.14), удовлетворяющих (3.18) и (3.19).

Из (3.19) видно, что характеристическая функция распределения вероятности значений поля в заданной системе точек крайне просто определяет характеристические функции значений поля в любой подсистеме этой системы, Поэтому естественно попытаться сразу задать все распределения вероятности,

характеризующие поле, при помощи одной-единственной величины — «характеристической функции распределения вероятности для значений поля во всех возможных точках». Оказывается, что такое задание случайного поля при помощи одной величины — «характеристического функционала» — действительно возможно (и в этом состоит одно из важных преимуществ подхода, исходящего из характеристических функций, а не из плотностей вероятности). Впервые возможность подобного задании случайных функций была отмечена Колмогоровым (1935); в последующие годы ей был посвящен ряд как чисто математических работ, так и работ прикладного характера (среди которых особо следует отметить важную работу Хопфа (1952), о которой мы еще будем подробнее говорить во второй частя книги). Здесь мы коротко изложим лишь самую суть дела, не останавливаясь на математических тонкостях.

Для простоты сначала рассмотрим вместо случайного поля, зависящего от четырех переменных, случайную функцию от одного переменного, заданную на конечном отрезке а оси х. Функция задается всевозможными распределениями вероятности для знавеиий этой функции на произвольной системе точек таких, что Будем теперь безгранично увеличивать число выбирая точки так, чтобы все расстояния между двумя соседними из них стремились к нулю, а в качестве значений параметра выберем умноженные на значения в точках некоторой функции на Если функция такова, что интеграл

существует для почти всех реализаций функции и то при будет стремиться к интегралу (3.20). Переходя к пределу в формуле (3.14), мы придем к величине

Величина очевидно, является значением характеристической функции случайной величины при аргументе этой функции, равном единице. Следовательно, при заданной функции это есть некоторое комплексное число. Таким образом, формула (3.21) сопоставляет каждой функции некоторое комплексное число, т. е. является функцией от функции или, как обычно говорят в таких случаях, является функционалом. Мы будем называть этот функционал характеристическим функционалом случайной функции

Покажем, что, зиая для некоторой случайной функции ее характеристический функционал, можно определить все конечномерные плотности вероятности Для этого достаточно подставить в качестве функционального аргумента функционала специальную функцию

где произвольные числа, а функция Дирака, так что функция (3.22) равна нулю всюду, кроме точек Подставив равенство (3.22) в (3.21), получим

Следовательно, характеристический функционал в этом случае обращается в характеристическую функцию многомерного распределения вероятности для величин так что соответствующая плотность распределения может быть найдена с помощью формулы обращения интегралов Фурье.

Характеристический функционал очевидно, обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам (3.16) и (3.17) характеристических функций:

при любых функциях и комплексных числах (последнее свойство называется свойством положительной определенности функционала Однако обратное утверждение о том, что непрерывный (в определенном смысле) положительно определенный функционал обладающий свойствами (3.24) и (3.25), всегда является характеристическим функционалом некоторой случайной функции, будет справедливым, лишь если принять значительно более общее определение случайной функции, чем то,

которым мы здесь пользуемся (см. Гельфанд и Виленкин (1961), Прохоров (1961)).

Совершенно аналогично обстоит дело и тогда, когда вместо случайной функции от одного переменного приходится рассматривать случайное поле зависящее от четырех переменных. Здесь характеристическим функционалом называется величина

в качестве аргумента она содержит функцию в от четырех переменных. Ясно, что и в этом случае характеристический функционал будет однозначно определять все распределения вероятности для поля (и будет обладать свойствами, аналогичными (3.24) и

При рассмотрении нескольких статистически связанных между собой случайных функций или случайных полей приходится рассматривать характеристический функционал, зависящий от нескольких функциональных аргументов. Так, например, поле скорости турбулентного потока о однозначно определяется характеристическим функционалом

зависящим от трех функций от четырех переменных. В общем случае -мерного случайного поля в пространстве точек X мы будем иметь

Функционал очевидно, также будет обладать свойствами (3.24) и (3.25) (с заменой лишь скалярного аргумента векторным аргументом Распределение вероятности для поля скорости в фиксированный момент времени определяется функционалом

зависящим от тройки функций от трех переменных и от одного скалярного параметра Согласно сказанному на стр. 174—175 об однозначной зависимости распределений вероятности для поля скорости несжимаемой жидкости во все моменты времени от распределения вероятности в начальный момент характеристический функционал в

случае несжимаемой жидкости должен однозначно определяться своим начальным значением даже более того — функционал равенства (3.27) также должен однозначно определяться по Более сложно обстоит дело для течений сжимаемой жидкости: здесь мы. должны рассматривать функционал типа

поле плотности, поле температуры), зависящий от пяти функций от трех переменных и одного скалярного аргумента. Только для этого функционала должна иметь место в случае сжимаемой жидкости однозначная зависимость значении в любой момент от соответствующего начального значения