Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.4. Характеристические функции и характеристический функционалВо многих случаях вместо плотностей вероятности (3.9) удобно рассматривать их преобразования Фурье
Такие преобразования Фурье называются характеристическими функциями соответствующих распределений вероятности; в силу (3.12} их, очевидно, можно также представить в виде
Ясно, что характеристическаи функция однозначно определяет отвечающее ей распределение вероятности: в самом деле,
в силу известной формулы обращения интегралов Фурье. Таким образом, задание характеристической функции равносильно заданию соответствующей плотности вероятности. В силу самого своего определения характеристические функции являются комплексными непрерывными функциями от аргументов
и
(где звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины) при любом целом Нетрудно видеть, что условие симметрии (3.10) и условие согласованности (3.11) в применении к характеристическим функциям переходят в условия
Таким образом, случайное поле любой гидродинамической величины можно также задать семейством характеристических функций (3.14), удовлетворяющих (3.18) и (3.19). Из (3.19) видно, что характеристическая функция распределения вероятности значений поля в заданной системе характеризующие поле, при помощи одной-единственной величины — «характеристической функции распределения вероятности для значений поля во всех возможных точках». Оказывается, что такое задание случайного поля при помощи одной величины — «характеристического функционала» — действительно возможно (и в этом состоит одно из важных преимуществ подхода, исходящего из характеристических функций, а не из плотностей вероятности). Впервые возможность подобного задании случайных функций была отмечена Колмогоровым (1935); в последующие годы ей был посвящен ряд как чисто математических работ, так и работ прикладного характера (среди которых особо следует отметить важную работу Хопфа (1952), о которой мы еще будем подробнее говорить во второй частя книги). Здесь мы коротко изложим лишь самую суть дела, не останавливаясь на математических тонкостях. Для простоты сначала рассмотрим вместо случайного поля, зависящего от четырех переменных, случайную функцию
существует для почти всех реализаций функции и
Величина Покажем, что, зиая для некоторой случайной функции
где
Следовательно, характеристический функционал в этом случае обращается в характеристическую функцию многомерного распределения вероятности для величин Характеристический функционал
при любых функциях которым мы здесь пользуемся (см. Гельфанд и Виленкин (1961), Прохоров (1961)). Совершенно аналогично обстоит дело и тогда, когда вместо случайной функции
в качестве аргумента она содержит функцию в При рассмотрении нескольких статистически связанных между собой случайных функций или случайных полей приходится рассматривать характеристический функционал, зависящий от нескольких функциональных аргументов. Так, например, поле скорости турбулентного потока о
зависящим от трех функций от четырех переменных. В общем случае
Функционал
зависящим от тройки функций случае несжимаемой жидкости должен однозначно определяться своим начальным значением
|
1 |
Оглавление
|