5.3. Течение около гладкой стенки; вязкий подслой и логарифмический пограничный слой

Будем пока предполагать, что стенка является динамически гладкой, так что имеет место формула (5.13). Тогда вид входящей в эту формулу функции может быть явно определен для двух предельных случаев — для больших и для малых значений аргумента

Непосредственно около стенки основную роль играет то обстоятельство, что на самой стенке (см. формулу Поэтому при достаточно малых значениях z вязкое напряжение трения будет значительно превосходить по величине напряжение Рейнольдса — Слой жидкости, в котором называется обычно вязким подслоем. В пределах этого подслоя, очевидно, можно считать, что

следовательно, здесь

Строго говоря, формула (5.20) представляет собой лишь первый член разложения функции в ряд Тэйлора по степеням в окрестности точки Следующие члены этого разложения можно получить с помощью дифференцирования по z уравнения (5.11) в точке При этом существенно, что при следовательно, при равны нулю и все производные пульсаций скорости по х и у и, кроме того, силу уравнения неразрывности).

Таким образом,

Отсюда вытекает, что разложение Тэйлора профиля средней скорости по степеням z имеет вид

Здесь минус поставлен в связи с интуитивным представлением о том, что около стенки и поэтому Разложение (5.20) было указано (по-видимому, впервые) в несколько другой форме Мерфри (1932) (см. также Таунсенд (1956)). Впоследствии некоторыми авторами (в частности, Дейслером (1955), Элродом (1957), Левичем (1959) и ниже стр. 238) приводились соображения в пользу того, что но они все не являются строгими. Имеющиеся экспериментальные данные также не позволяют надежно оценить коэффициент и, следовательно, не дают достаточных оснований определенно утверждать, что Тем не менее, равенство нулю второй и третьей производных при уже достаточно для того, чтобы изменение скорости в значительной области было весьма близко к линейному,т. е. чтобы понятие о вязком подслое было практически оправданным.

Верхняя граница вязкого подслоя может быть условно определена, например, как значение при котором можно использовать также и некоторые другие определения, родственные этому. В любом случае толщина вязкого подслоя может зависеть только от параметров и поэтому она должна задаваться формулой где

универсальная постоянная порядка единицы, точное значение которой, разумеется, будет зависеть от принятого определения и которую следует находить по данным экспериментов. То обстоятельство, что эта постоянная зависит от выбора определения, т. е. не задается вполне однозначно, является совершенно естественным, так как вязкий подслой не имеет резкой верхней границы, а плавно переходит в следующую область течения, в которой вязкое напряжение трения и напряжение Рейнольдса имеют одинаковый порядок величины. Тем не менее, так же как и в случае числового множителя, определяющего толщину пограничного слоя интервал допустимых значений здесь оказывается не очень широким; чаще всего в качестве а» выбирается число 5, т. е. считается, что (основой для такого выбора являются экспериментальные данные, приведенные ниже на рис. 25).

Перейдем теперь ко второму предельному случаю — к значениям значительно превосходящим — Поскольку в развитом турбулентном потоке вдали от твердых стенок турбулентные напряжения во много раз превосходят по величине вязкие напряжения, то при достаточно большом (скажем, при можно в уравнении (5.11) пренебречь членом и считать, что Поэтому закон изменения средней скорости при также не должен зависеть от вязкости а должен как-то определяться лишь значениями плотности и потока импульса проходящего сквозь жидкость (и равного суммарной силе взаимодействия жидкости со стенкой, приходящейся на единицу площади стенки). Существенно подчеркнуть, что мы неслучайно говорим здесь не о самой скорости, а именно озаконе изменения средней скорости. Дело в том, рассматривая лишь движение жидкости внутри слоя, в котором можно пренебречь вязкими напряжениями, мы ничего не можем сказать об абсолютных значениях скорости а можем изучать лишь разности значений скорости на двух высотах и в пределах этого слоя (и, в частности, прироста ско рости в слое где Это вытекает из галилеевой инвариантности уравнений механики, согласно которой добавление ко всем скоростям при постоянного слагаемого не может изменить передаваемого Через Жидкость потока импульса . Следователько, абсолютные значения скорости при не определяются лишь величинами то а существенна зависят от значения т. е. от закона изменения скорости в слое на который уже влияет и вязкость Однако

значение градиента средней скорости на высоте z при не должно зависеть от должно быть функцией только параметров то, Из этих параметров, как легко видеть, можно составить единственную комбинацию размерности градиента скорости; следовательно, при должно выполняться соотношение

где А — универсальная безразмерная постоянная. Отсюда для профиля скорости при получается логарифмическая формула

где новая постоянная, которая в силу сказанного выше может уже зависеть и от коэффициента вязкости Слой жидкости, в котором выполняется соотношение (5.22), называется логарифмическим пограничным слоем; наличие этого слоя оказывается весьма существенным для многих задач, в которых встречаются турбулентные потоки, обтекающие твердые стенки. Универсальная формула (5.22) впервые была выведена Карманом (1930) и Прандтлем (19326) с помощью совсем других (и притом различных) соображений. Впоследствии для нее был найден еще целый ряд других доказательств; некоторые из них представляют значительный интерес и будут воспроизведены ниже. Простой вывод этой формулы из соображений размерности, приведенный выше, был опубликован в 1944 г. в первом издании книги Ландау и Лифшица (1953); см. также Сквайр (1948).

Вместо соображений размерности при выводе формулы (5.22) можно воспользоваться инвариантностью уравнений гидродинамики идеальной жидкости (описывающих рассматриваемое движение при относительно преобразований подобия Поскольку эти преобразования переводят полупространство в себя, естественно допустить, что относительно них будут инвариантны и все статистические характеристики турбулентности в этом полупространстве (в той степени, в которой они не зависят от вязкости). Но, как мы уже видели, пренебрегая вязкостью (т. е. отвлекаясь от граничного условия при мы можем рассматривать лишь относительные скорости Поскольку динамическая

скорость при преобразованиях подобия, очевидно, не изменяется, то согласно принятому Допущению об инвариантности безразмерное отношение при не слишком малых может зависеть лишь от отношения

Из определения (5.23) функции вытекает, что последнее соотношение в силу равенства можно записать также в виде

Нетрудно показать, что единственным непрерывным решением функционального уравнения (5.24) является логарифмическая функция таким образом, мы приходим к соотношению

эквивалентному (5.22).

Из соображений размерности ясно, что высота нижней границы логарифмического пограничного слоя должна определяться формулой где еще одна универсальная безразмерная постоянная (определяемая примерно с той же степенью точности, что и постоянная Эмпирические данные рис. 25 показывают, что допустимо считать Из сравнения формул (5.22) и (5.13) вытекает, что постоянная должна быть представима в виде где В — безразмерная универсальная постоянная; при этом (5.22) можно переписать в виде

Отсюда видно, что

Заметим еще, что традиционно вместо коэффициента А чаще используется величина

называемая обычно постоянной Кармана. Заменяя на и обозначая через формулу (5.25) можно также переписать в виде

Численные значения постоянных А или В (или входящих в формулы могут быть определены по данным экспериментов. Согласно сказанному в соответствующие измерения могут! производиться и в гладких трубах, и в прямоугольных каналах с гладкими стенками, и в пограничном слое на гладких пластинках. Первые пригодные для этой цели тщательные измерения распределения средней скорости и напряжения трения были произведены Никурадзе (1932) в потоках воды в прямых гладких трубах различных радиусов при меняющемся в пределах от до . Полученные им данные показывают, что действительно для значительной части течения, начинающейся на расстоянии порядка 30 от стенки и продолжающейся почти до центра трубы, распределение средней скорости может быть с очень большой степенью точности описано формулой вида (5.25). Для коэффициентов в этой формуле Никурадзе дал даже два набора значений: при значениях т. е. достигалось наилучшее совпадение формулы (5.25) с опытными данными, относящимися к области значительно не доходящей до центра трубы, а и значения т. е. оказались наилучшими при применении формулы (5 25) ко всей области от и до центра трубы. В дальнейшем подобные же измерения много раз выполнялись и для течений в трубах, и для течений в плоских каналах, и для пограничных слоев на пластинках; при этом формула (5.25) во всех случаях подтверждалась достаточно надежно, хотя в получаемых значениях коэффициентов А и особенно В и имеется небольшой разброс (см., например, обзорную статью Хинце (1962), содержащую сводку

большого числа данных о величинах . Значительное число данных, относящихся ко всем трем перечисленным типам течений, собрано на сводном рис. 25 (заимствованном из обзора Кестина и Ричардсона (1963)).

Рис. 25. (см. скан) Универсальный безразмерный профиль средней скорости турбулентного течения около гладкой стенки по данным измерений в трубах, каналах и пограничном слое (по Кестину и Ричардсону (1933)). Разными значками на рисунке отмечены данные разных экспериментаторов.

Мы видим, что при все

наблюденные значения неплохо укладываются на кривую формулы (5.20), а при кривую соответствующую формуле (5.25) с коэффициентами рекомендованными Коулсом (1955) и являющимися средними среди значений этих коэффициентов, получавшихся у различных исследователей.

В промежуточной области экспериментальные значения отношения приведенные на рис. 25, явно уклоняются и от значений, даваемых формулой (5.20), и. от тех, которые должны получаться по формуле (5.25). Согласно экспериментальным данным, значения функции в этой области можно изобразить в виде гладкой кривой, плавно переходящей в кривую (5.20) в точке и в кривую (5.250 с А = 2 в точке (пунктирная кривая на рис. 25). Заметим, впрочем, что отклонение пунктирной кривой от ломаной, изображенной на рис. 25 сплошной линией, не очень велико, так что в тех случаях, когда не требуется большая точность, допустимо даже считать, что вплоть до значения (равного абсциссе точки пересечения кривых. профиль средней скорости задается формулой (5.20), а при формулой (5.25). Это предположение, очевидно, означает, что мы пренебрегаем промежуточной зоной, в которой величины имеют одинаковый порядок величины, и считаем, что вслед за вязким подслоем (который теперь уже целесообразно считать имеющим толщину непосредственно следует логарифмический пограничный слой, в котором вязкие напряжения пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями Рейнольдса.

Заметим еще, что с точки зрения представлений о турбулентной вязкости К (см. формулу (5.5)) вязкий подслой, очевидно,

можно определить как подслой, в котором допустимо считать, что (т. е. что эффективная вязкость равна Точно так же логарифмический слой можно определить как слой, в котором молекулярная вязкость пренебрежимо мала по сравнению с турбулентной вязкостью, задаваемой формулой

В таком случае пунктирной кривой на рис. 25, очевидно, будет отвечать слой, в котором эффективная вязкость как-то плавно изменяется от значения, близкого при и до значения при

До сих пор мы говорили только о профиле средней скорости турбулентного потока; однако физические соображения, приведшие нас к универсальному закону турбулентности вблизи стенки и к понятию логарифмического пограничного слоя, могут быть с тем же правом применены и к исследованию любых других одноточечных моментов поля скорости вблизи плоской стенки. Все эти моменты в пределах слоя постоянного напряжения трения, очевидно, могут зависеть лишь от параметров т. е. должны представляться в виде произведения некоторой степени дииамической скорости на универсальную функцию (свою для каждого момента) от безразмерного расстояния При достаточно больших значениях статистический режим турбулентных пульсаций не должен уже зависеть и от коэффициента вязкости поэтому в случае центральных моментов (не зависящих от средней скорости и) соответствующие универсальные функции должны стремиться к постоянным значениям при Рассмотрим в качестве примера одноточечные вторые моменты пульсаций Таких моментов всего имеется шесть, но два из них (а именно тождественно обращаются в нуль вследствие симметрии нашей турбулентности относительно плоскости так что остается лишь четыре ненулевых момента: Отсюда ясно, что наряду с формулой (5.13) мы будем иметь также четыре формулы вида

содержащие четыре новых универсальных функции. Вместо функции можно использовать функцию описывающую изменение с высотой коэффициента корреляции.

между

В пределах логарифмического пограничного слоя функцию очевидно, можно считать тождественно равной единице, а функции принимающими постоянные значения При приближении к стенке функции стремятся к нулю, причем их разложения в ряд Тэйлора в точке имеют вид

(так как Коэффициенты здесь просто связаны с коэффициентами равенства (5.20), так как вблизи стенки (в силу уравнения Точный вид функций не может быть установлен теоретически, но приближенно его можно найти, исходя из данных измерений Лауфера (1954) и Клебанова (1955) (см. рис. 26 и 27). Мы видим, что данные измерений в трубе и в пограничном слое на пластинке в целом неплохо согласуются друг с другом; в частности, для постоянных в обоих случаях получаются примерно одинаковые значения

(близкие значения постоянных и были получены также Гурвичем (1960) и Зубковским (1962) при измерениях в атмосфере; ниже и, в частности, рис. 76). Обработав имеющиеся данные измерений пульсаций скорости в непосредственной близости от стенки, можно также приближенно оценить (пока еще лишь с очень невысокой степенью точности) значения

Рис. 26. Универсальные безразмерные профили интенсивности флюктуаций трех компонент скорости в течении около гладкой стенки по данным Клебанова (X) и Лауфера

коэффициентов при этом оказывается, что

(см. Лауфер (1954), Клебанов (1955), Таунсенд (1956)).

Что же касается моментов пульсаций скорости выше второго порядка, то о них пока имеется еще заметно меньше данных, чем о величинах (5.27).

Рис. 27. Универсальные функции данным измерений Лауфера.

Укажем, однако, что в работе Конт-Белло (1963) можно найти тем не менее предварительные эмпирические графики универсальных функций определяющих асимметрию и эксцесс компоненты и.

В некоторых задачах (в первую очередь при расчете турбулентной теплопередачи через жидкость; см. ииже сплошная линия рис. 25 оказывается явно недостаточно точной, а гладкая пунктирная линия — очень неудобной. В этих задачах желательно иметь аналитическую формулу, описывающую поведение профиля средней скорости в промежуточной области и гладко переходящую в предельные выражения (5.20) и (5.25) при и соответственно при Целый ряд формул такого рода для функций различной степени сложности и был предложен в разное время разными авторами. Одной из первых среди них является формула Кармана (1934, 1939), предположившего, что при а и причем коэффициенты отличающиеся от таковы, что значение суммы при и при оказывается совпадающим со значениями при таком функции (5.20) и соответственно (5.25) (т. е., иначе говоря, предложившего соединить прямой линией точки на рис. 25). В дальнейшем Гофман (1940), Рейхардт (1940) и Левич (1959), § 4, предложили также ииые интерполяционные формулы для значений при несколько лучше соответствующие данным измерений. Другая идея использовалась в работах Сквайра (1948), Лойцянского (1958) и в очень близких друг к другу работах Ротта (1950), Худимото (1941, 1951) и Майлса (1957): здесь область течения делилась уже лишь на два слоя причем в первой из них принималась обычная формула (5.20), но зато во второй функции задавалась

более сложным, чем (5.25), аналитическим выражением, асимтотически переходившим в (5.25) при и гладко соединяющимся с выражением (5.20) в точке В противоположность этому Хама (1963), Дейслер (1955, 1959), Рэнни. (1956), Левич Ко-ен (1961) и Тьен и Васаи (1963) разбивали поток на слои и использовали во втором из них обычиую формулу (5.25), а в первом — более сложное, чем (5.20), выражение для В работах Лйня, Маултоиа и Патиема (1953), Лойцянского (1960, 1962а) и Карра (1962) рассматривалась снова трехслойная модель (т. е. предполагалось, что функция задается разными формулами при при и при но в отличие от работы Кармана в первом из этих интервалов для принималась более сложная, чем (5.20), формула (разная у разных авторов). Помимо того Лойцянский (1960, 1962а) предложил также и некоторое единое (но весьма сложное) выражение для функции годное при всех значениях Более простые аппроксимационные формулы, описывающие поведение функции во всей области постоянства напряжения трения и неплохо. согласующиеся со всей совокупностью эмпирических данных, представленных на рис. 25, были указаны Рейхардтом Дристом (1956) и Сполдингом (1961). Обзор работ этого направления содержится в книге Хиице (1959), § 7.4, и в статьях Лойцянского (1962а), Ротта (1962б) и Кестииа и Ричардсона (1963).

Широкую дискуссию вызвал вопрос о детальном поведении функции при . В некоторых из перечисленных работ, как уже говорилось выше, принималось, что при т. е. считалось, что все производные функции выше первого порядка обращаются в нуль в точке это предположение в дальнейшем рядом авторов было подвергнуто обоснованной критике. Согласно формулу, предложенной Рэнни, при где этот результат, очевидно, противоречит точной формуле (5.20). В то же время формулы Рейхардта, Линя, Маултона и Патнема, Карра и Тьеиа и Васана приводят к разложению , а согласно Хама, Дейслеру, Левичу, Лойцянскому и Коену в этом разложении наконец, Сполдинг приводит сразу два разных выражения для Большое внимание к вопросу о поведении при объясняется тем, что при достаточно большом числе Праидтля это поведение существенно влияет на турбулентный теплообмен; об этом еще будет подробнее сказано в

Заметим еще, что в большинстве перечисленных работ за основу бралась не сама функция а зависимость от эффективного коэффициента турбулентной вязкости Предлагаемый вид этой зависимости иногда просто подбирался на основе эмпирических данных, но чаще обосновывался теоретически с помощью рассуждений, близких по духу к так называемым полуэмпирическим теориям турбулентности (см. ниже п. 5.8) и использующих те или иные специальные гипотезы, представляющиеся интуитивно довольно правдоподобными. Надо, однако, иметь в виду, что Ни одна из использовавшихся здесь гипотез не была строго доказана; в то же время разброс кривых предложенных различными авторами, имеет тот же порядок величины и тот же характер, что и разброс экспериментальных точек на рис. 25. Поэтому в настоящее время нет оснований для выбора какой-то одной «наилучшей» формулы для и при выборе между различными вариантами таких формул приходится руководствоваться лишь степенью их удобства для решения той или иной конкретной задачи.

Еще менее удовлетворительно обстоит в настоящее время дело с формулами для функций и др., описывающих статистический режим пульсации скорости вблизи стенки. Здесь фактически можно указать лишь на

работы Эйнштейна и Ли (1956) и Стернберга (1962), предложивших две различные физические модели процесса возникновения пульсаций скорости в пределах вязкого подслоя и использовавших эти модели для некоторых сугубо предварительных расчетов статистических характеристик пульсаций. Любопытно отметить, однако, что, несмотря на совсем разный характер предложенных моделей, результаты расчета в обоих случаях оказались во многом совпадающими с имеющимися эмпирическими данными о пульсациях скорости (ср. Кистлер (1962)).