ВВЕДЕНИЕ

Настоящая книга посвящена теории турбулентных течений жидкостей и газов. Она начинается с напоминания основных уравнений, описывающих движения жидкой и газообразной среды, и от читателя, вообще говоря, не требуется, чтобы он заранее знал, что такое турбулентность. Поэтому нам кажется, что в начале введения небесполезно хотя бы вкратце объяснить, о чем же, собственно, будет идти речь в этой книге.

Известно, что все течения жидкостей и газов делятся на два резко различные типа: спокойные и плавные течения, называемые ламинарными, и их противоположность — так называемые турбулентные течения, при которых скорость, давление, температура и другие гидродинамические величины беспорядочно пульсируют, крайне нерегулярно изменяясь в пространстве и во времени. В качестве типичного прймера мы приводим на рис. 1 запись колебаний во времени скорости ветра, вертикальной компоненты скорости и температуры в атмосфере вблизи земли, полученную при измерении скорости и температуры с помощью специальных малоинерционных приборов. Сложный характер этих кривых сразу показывает, что соответствующее движение воздуха было турбулентным. Множество пульсаций различных периодов и амплитуд, наблюдающееся на представленных на рис. 1 записях, иллюстрирует сложную внутреннюю структуру, турбулентных течений, резко отличающихся в этом отношении от ламинарных течений. Эта сложная структура сказывается на многих свойствах течения, оказывающихся весьма различными в ламинарном и турбулентном случаях. Так, турбулентные течения обладают гораздо большей способностью к передаче количества движения (образно говоря, турбулентная среда имеет огромную эффективную вязкость) и потому во многих случаях оказывают гораздо большее силовое воздействие на обтекаемые жидкостью или газом твердые тела. Аналогичным образом турбулентные потоки обладают повышенной способностью к передаче тепла и пассивных примесей, к распространению химических реакций (в частности, горения), к переносу взвешенных

частиц. Благодаря наличию внутренних неоднородностей турбулентные течения способны рассеивать проходящие сквозь жидкость или газ звуковые и электромагнитные волны и вызывать флюктуации их амплитуд и фаз и т. п.

Ясно, что перечисленные свойства турбулентных течений могут быть весьма существенными для многих задач естествознания и техники. Поэтому вопрос о том, часто ли встречаются турбулентные течения, представляет несомненный интерес.

Рис. 1. Типичный пример записи пульсаций температуры, скорости ветра и вертикальной компоненты скорости ветра.

Оказывается, что подавляющее большинство реально встречаю щихся в природе и технике течений является именно турбулентным; ламинарные же течения, подробно изучающиеся в гидромеханике, представляют собой лишь довольно редкое исключение.

Турбулентными, в частности, являются разнообразные движения воздуха в земной атмосфере, начиная от слабого ветра вблизи поверхности земли (к которому относятся измерения, воспроизведенные на рис. 1) и кончая движениями общей циркуляции, имеющими масштабы планеты в целом. Атмосферная турбулентность играет основную роль в процессах переноса тепла и влаги воздушными массами, в испарении влаги с поверхности земли и водоемов и в тепловом и динамическом взаимодействии между атмосферой и подстилающей поверхностью, существенно влияющем на изменения погоды; она определяет распространение примесей в воздушной среде, зарождение

вегровых волн на поверхности моря и образование ветровых течений в океане, болтанку самолетов и других летательных аппаратов и вибрации многих наземных сооружений; наконец, турбулентные флюктуации показателя преломления обусловливают многие важные особенности распространения света и радиоволн от наземных и космических источников. Турбулентными оказываются и течения воды в реках, морях и океанах, а также колоссальные по сравнению с масштабами земли движения газов в межзвездных газовых туманностях. Наконец, турбулентными являются практически все имеющие прикладное значение течения в трубах — в водопроводах, газопроводах, нефтепроводах, соплах реактивных двигателей и т. д.; движения в пограничных слоях, образующихся около поверхности движущихся летательных аппаратов; в струях жидкости или газа, вырывающихся с большой скоростью из сопла; в следах за быстро перемещающимися твердыми телами — лопастями пропеллера, лопатками турбины, пулями, снарядами, ракетами. Таким образом, турбулентность буквально окружает нас и в природе и в технических устройствах, связанных с течениями жидкостей и газов; поэтому ее изучение безусловно является очень важной практической задачей.

Большой интерес представляют турбулентные течения и с чисто теоретической точки зрения как примеры нелинейных механических систем с очень большим числом степеней свободы. В самом деле, движения любой непрерывной среды, строго говоря, описываются бесконечным числом обобщенных координат (в качестве которых можно принять, например, коэффициенты разложения поля скорости по какой-либо полной системе функций от пространственных координат). Однако в случае ламинарных движений эти координаты обычно можно выбрать таким образом, что лишь небольшое число отвечающих им степеней свободы будет возбуждено, т. е. будет реально участвовать в движении. В случае же турбулентного движения возбужденным всегда оказывается огромное число степеней свободы, в результате чего изменение во времени любой физической величины здесь описывается функциями, содержащими громадное число компонент Фурье, т. е. имеющими очень сложный характер (см. опять рис. 1). По этой причине здесь уже практически безнадежно пытаться описать индивидуальные изменения во времени всех обобщенных координат, соответствующих возбужденным степеням свободы (т. е. математически выразить зависимость от времени полей скорости, давления и т. д. одного отдельного течения). Единственно возможным в теории турбулентности представляется статистическое описание, опирающееся на изучение специфических статистических закономерностей

присущих большим совокупностям однотипных объектов. Таким образом, теорией турбулентности может быть лишь статистическая гидромеханика, изучающая статистические свойства ансамблей течений жидкостей или газов, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях.

Теория турбулентности по самому своему существу не может не быть статистической — индивидуальное описание полей скорости, давления, температуры и других характеристик турбулентного течения принципиально невозможно и было бы даже бесполезным, так как крайне запуганный и нерегулярный характер этих полей исключает возможность использования точных данных о них в каких бы то ни было практических задачах. Поэтому не имеет смысла иногда встречающееся в литературе противопоставление так называемой полуэмпирической и статистической теорий турбулентности. Полуэмпирическая теория, разумеется, также является статистической и выделяется из других теорий турбулентности вовсе не отказом от использования статистических характеристик, а лишь приемами, используемыми для их определения.

Говоря о статистическом характере теории турбулентности ее часто сравнивают с кинетической теорией газов, изучающей системы из очень большого числа взаимодействующих между собой молекул. Это сравнение оправдано в том смысле, что в обеих указанных теориях точное описание эволюции исследуемой механической системы теоретически безнадежно, а практически было бы бесплодным. Однако надо иметь в виду, что между статистической механикой молекулярных ансамблей, изучавшейся Гиббсом, Больцманом и другими исследователями, и статистической гидромеханикой вязкой жидкости существует и большое принципиальное различие. Оно связано, в первую очередь, с тем, что суммарная кинетическая энергия совокупности движущихся молекул не меняется во времени (во всяком случае при простейших предположениях о молекулярных взаимодействиях, обычно принимаемых в кинетической теории тазов), тогда как при движениях реальной жидкости ее кинетическая энергия всегда диссипируется в теплоту под действием вязкости. Менее существенным, но также не безразличным оказывается то, что молекулярные ансамбли дискретны по своей природе и их временная эволюция описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как в гидромеханике речь идет о движениях непрерывной среды, описываемых уравнениями в частных производных. В результате всего этого аналогия с кинетической теорией газов сравнительно мало помогает построению теории турбулентности, облегчая лишь

самое первоначальное понимание идеи о статистическом подходе к физической теории.

Может быть, даже более плодотворной окажется аналогия между теорией турбулентности и квантовой теорией поля, связанная с тем, что система взаимодействующих между собой полей — это также нелинейная система с теоретически бесконечным числом степеней свободы. Отсюда проистекает близость математического аппарата, используемого в обеих теориях, позволяющая надеяться, что существенные сдвиги в одной из них могут оказать решающее влияние и на развитие второй. В настоящее время, однако, квантовая теория поля сталкивается с большими затруднениями принципиального характера, а в теории турбулентности также имеются лишь частные успехи; поэтому глубокое Воздействие одной из этих теорий на другую пока еще остается делом будущего.

Несмотря на то, что течения жидкостей и газов, встречающиеся в природе и технических устройствах, как правило, являются турбулентными, во всех существующих общих курсах гидромеханики теории турбулентности посвящены в лучшем случае лишь небольшие разделы, содержащие кое-какие отрывочные сведения о методах статистического описания неупорядоченных течений жидкости и газа и о некоторых статистических характеристиках таких течений. Монографическая литература, псевященная турбулентности, также очень бедна и насчитывает всего несколько названий (почти все они могут быть найдены в списке литературы, приложенном к настоящей книге); при этом большая часть из них относится к книгам сравнительно узкого содержания. Нетрудно понять, почему сложилось такое положение. Турбулентные течения являются значительно более сложным объектом, чем ламинарные, и требуют для своего изучения существенно новых методов, отличных от классических методов математической физики, в течение почти двух столетий считавшихся единственно годными для количественного изучения законов природы. Математический аппарат, нужный для логически аккуратного построения статистической механики непрерывных сред — теория случайных полей, — был создан лишь за последние 25—30 лет и до сих пор еще мало известен за пределами узкого круга специалистов по теории вероятностей. В эти же годы сформировалась и современная теория турбулентности, которая до сих пор еще далека от завершения. Нам кажется, однако, что уже имеющиеся в этой области достижения безусловно заслуживают того, чтобы занять заметное место в обязательном объеме знаний каждого образованного гидромеханика и физика-теоретика, и если этого еще не произошло, то лишь ввиду относительной молодости теории турбулентности. Можно

выразить уверенность, что в дальнейшем удельный вес этой теории в учебных руководствах и программах по гидромеханике для высших учебных заведений, в обязательном объеме знаний специалистов по гидромеханике и по теоретической физике и в планах научно-исследовательских работ будет быстро возрастать. Мы будем рады, если наша книга будет в какой-то мере способствовать этому процессу.

Перейдем теперь к краткому историческому очерку развития науки о турбулентности. При этом мы перечислим те подходы и результаты, развернутое изложение которых составит основное содержание книги, и постараемся объяснить, почему нам кажется, что такую книгу целесообразно написать именно сейчас — на современном этапе развития статистической гидромеханики.

Существование двух резко различающихся типов течений, называемых в настоящее время ламинарными и турбулентными, было замечено еще в первой половине XIX в., но теория турбулентности появилась только вместе с замечательными работами Осборна Рейнольдса (1883, 1895). В этих работах Рейнольдс уделил основное внимание условиям, при которых ламинарное течение жидкости в трубах превращается в турбулентное течение, и установил общий критерий динамического подобия течений вязкой несжимаемой жидкости. В отсутствие внешних сил таким критерием является, кроме геометрического подобия, совпадение значений так называемого числа Рейнольдса где характерные масштабы скорости и длины в рассматриваемом течении, кинематический коэффициент вязкости, жидкости. С динамической точки зрения число может быть интерпретировано как отношение типичных значений сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости. Силы инерции, вызывающие перемешивание различных объемов жидкости движущихся по инерции с разными скоростями, осуществляют передачу энергии от крупномасштабных компонент движения к мелкомасштабным и, тем самым способствуют образованию в потоке резких мелкомасштабных неоднородностей, характерных для турбулентного течения. Силы вязкости, наоборот, приводят к сглаживанию мелкомасштабных неоднородностей. Поэтому следует ожидать, что течения с достаточно малыми значениями будут ламинарными, а с достаточно большими турбулентными. Этот основной результат и был четко сформулирован Рейнольдсом.

Рейнольдс сделал еще один очень важный для теории турбулентности шаг. Он предложил представлять значения всех

гидродинамических величин в турбулентном течении в виде суммы осредненных (регулярных) и пульсационных (нерегулярных) составляющих и изучать лишь осредненные величины, сравнительно плавно меняющиеся в пространстве и во времени, отказавшись от практически безнадежных попыток описания всех деталей индивидуальных реализаций гидродинамических полей. Для определения средних значений Рейнольдс предложил применять обычное осреднение по некоторому интервалу времени или некоторой пространственной области, но фактически он пользовался лишь определенными алгебраическими свойствами вводимой операции осреднения, позволяющими существенно упростить ее применение к уравнениям гидромеханики. Поэтому в настоящее время, когда при исследовании турбулентности принято понимать осреднение иначе, чем во времена Рейнольдса, все его выводы тем не менее полностью сохраняют силу, поскольку, как оказывается, использованные им свойства осреднения оказываются совсем очевидными именно при современном понимании этой операции.

Для дальнейшего нам будет удобно сразу же указать, как теперь понимается осреднение в теории турбулентности. В современной статистической гидромеханике всегда подразумевается, что гидродинамические поля турбулентного течения представляют собой случайные поля в смысле, принятом в теории вероятностей. Иначе говоря, каждая конкретная реализация такого поля рассматривается как некий «представитель», извлеченный из «статистического ансамбля всевозможных полей», характеризуемого определенной вероятностной мерой на множестве функций от пространственных координат и времени, удовлетворяющих необходимым кинематическим и динамическим условиям (вытекающим из законов гидромеханики). При этом осреднение любых гидродинамических величин можно понимать как теоретико-вероятностное осреднение по соответствующему статистическому ансамблю, и все свойства операции осреднения, наличия которых требовал Рейнольдс, оказываются вытекающими из обычных свойств вероятностного среднего значения (математического ожидания), излагаемых в учебниках по теории вероятностей. Тем самым сразу устраняются многие трудности, неизбежные при применении временного или пространственного осреднения (но, правда, реальная интерпретация результатов формальной теории оказывается требующей использования некоторых предположений об эргодичности, обычных, впрочем, для статистической физики).

В предыдущем абзаце мы отступили от хронологического принципа изложения основных этапов формирования теории турбулентности. Однако, прежде чем вернуться к историческому.

обзору, мы еще несколько разовьем допущенное отступление и дадим современную формулировку общей проблемы статистического описания турбулентных течений (или, коротко, проблемы турбулентности). Ограничимся при этом для простоты случаем несжимаемой жидкости, в котором течение полностью определяется соленоидальным (т. е. бездивергентным) полем скорости где - компоненты скорости, х - точка пространства, время (поле давления с помощью уравнений гидродинамики может быть выражено через поле скорости в тот же момент времени). В этом случае проблема турбулентности сводится к нахождению распределения вероятностей на фазовом пространстве турбулентного потока точками со которого являются всевозможные соленоидальные векторные поля удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и надлежащим краевым условиям на границах потока. Во многих случаях полезной оказывается также более узкая (т. е. менее полная) формулировка проблемы турбулентности, при которой рассматриваются лишь синхронные (отвечающие одному и тому же моменту времени) значения гидродинамических величин. При таком подходе проблема турбулентности заключается в нахождении однопараметрического семейства распределений вероятностей на фазовых пространствах точками со которых являются всевозможные соленоидальные векторные поля удовлетворяющие соответствующим граничным условиям (могущим, вообще говоря, зависеть от времени — именно поэтому мы ввели индекс в обозначение фазового пространства). Зависимость распределений от времени отражает эволюцию поля скорости в соответствии с уравнениями гидродинамики. В самом деле, если записать решение этих уравнений символически в виде где соответствующий нелинейный оператор, то, очевидно, для любого измеримого множества А пространства будет иметь место равенство где принадлежащее множество всех тех начальных полей скорости которые под действием оператора переходят в поля принадлежащие к множеству Л. Отсюда видно, что семейство распределений вероятностей в принципе однозначно определяется заданным начальным распределением так что в излагаемой формулировке проблема турбулентности — это задача с начальными условиями об эволюции вероятностной меры в функциональном пространстве.

Полное определение распределений вероятностей или хотя бы является задачей исключительной трудности, в настоящее время еще далекой от решения. Однако для многих

задач практики вовсе не требуется, чтобы проблема турбулентности была решена полностью. В большинстве практических задач достаточно определить лишь некоторые простейшие характеристики распределений вероятностей для значений гидродинамических полей турбулентного потока — такие, как средние значения скорости и давления в различных точках пространства или времени, вторые моменты пульсаций гидродинамических полей в заданной точке (например, дисперсии пульсаций скорости, характеризующие интенсивность турбулентности, или смешанные вторые моменты пульсаций скорости и температуры, через которые выражаются компоненты турбулентных потоков импульса и тепла) и коэффициенты корреляции между пульсациями гидродинамических полей в двух точках пространства — времени (характеризующие пространственно-временную статистическую связанность или структуру гидродинамических полей турбулентного потока). Поэтому естественно, что большинство исследований по теории турбулентности посвящалось не проблеме турбулентности в целом, а попыткам определения (хотя бы приближенного) некоторых простейших характеристик распределений вероятностей для значений гидродинамических полей турбулентных течений. Такие исследования позволили получить ряд ценных сведений о физической природе и свойствах турбулентности и удовлетворительно ответить на ряд важных практических вопросов.

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве или т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера

для всевозможных моментов дает аналитическую формулировку проблемы турбулентности. Но эта система уравнений оказывается весьма сложной: любая конечная подсистема этой системы уравнений всегда незамкнута, т. е. содержит больше неизвестных, чем имеется уравнений в данной подсистеме (невозможность получить замкнутую систему уравнений для конечного числа моментов является прямым следствием нелинейности уравнений гидродинамики). Таким образом, при использовании метода Фридмана — Келлера в применении к конечному числу моментов возникает проблема замыкания уравнений для моментов, во многом аналогичная проблеме замыкания цепочки уравнений для многочастичных функций распределения в кинетической теории газов.

Можно сказать, что большинство теоретических работ по динамике турбулентных течений посвящалось (и посвящается) способам преодоления трудностей, связанных с проблемой замыкания. Полностью преодолеть эти трудности до сих пор еще не удалось. Тем не менее, в теории турбулентности получено много важных и практически ценных результатов на двух обходных направлениях, одно из которых посвящено описанию крупномасштабных компонент турбулентности (масштабы которых сравнимы с масштабами течения в целом), а другое — описанию мелкомасштабных компонент. Основное различие в поведении этих двух типов компонент заключается в том, что крупномасштабные характеристики турбулентности существенно зависят от геометрии границ потока и характера внешних воздействий и поэтому оказываются весьма различными для разных типов течений, тогда как мелкомасштабные характеристики оказываются имеющими в значительной мере универсальный характер.

Крупномасштабные компоненты вносят основной вклад в передачу через турбулентную среду импульса и тепла, и вследствие этого их описание необходимо для таких важнейших проблем техники, как расчеты сопротивления и теплообмена при обтекании твердых тел жидкостью или газом. Поэтому естественно, что при развитии теории турбулентности разработке методов описания крупномасштабных компонент было уделено самое первоочередное внимание. Неотложные нужды практики потребовали проведения большого числа экспериментальных исследований свойств крупномасштабных компонент турбулентности при течениях в трубах, каналах, пограничных слоях и в свободных турбулентных течениях (струи, следы за обтекаемыми жидкостью телами и т. п.). На базе этих исследований и были построены так называемые полуэмпиричёские теории турбулентности, позволяющие систематизировать получаемые

экспериментальные данные и использовать их для предсказания результатов последующих аналогичных экспериментов.

Создание полуэмпирических теорий турбулентности явилось важным этапом в развитии статистической гидродинамики. Этот этап начался еще в середине 10-х годов текущего столетия, но расцвет его приходится на последующие два десятилетия (20-е и 30-е годы); впрочем, возможности полуэмпирического метода до сих пор еще отнюдь не исчерпаны, и содержательные работы такого направления продолжают появляться и в наши дни. Решающие шаги в развитии полуэмпирического подхода к теории турбулентности были сделаны Джеффри Тэйлором (1915, 1932), Людвигом Прандтлем (1925) и Теодором фон Карманом (1930).

Полуэмпирические теории турбулентности строятся на основе аналогии между турбулентностью и молекулярным хаосом. В них основную роль играют такие понятия, как путь перемешивания (аналог средней длины свободного пробега молекул), интенсивность турбулентности (аналог средней скорости движения молекул), коэффициенты турбулентной вязкости, теплопроводности и диффузии. На основе той же аналогии делается предположение о существовании линейной зависимости между тензором турбулентных напряжений и тензором средних скоростей деформации, а также турбулентным потоком тепла (или пассивной примеси) и средним градиентом температуры (или концентрации примеси). Эти предполагаемые зависимости дополняются затем еще некоторыми гипотетическими закономерностями, общий вид которых устанавливается с помощью качественных физических рассуждений или же просто подбирается «наудачу» из соображений простоты. Далее принятые предположения (или какие-либо простые следствия из них) проверяются на эмпирическом материале, и при этом попутно находятся значения неопределенных постоянных, входящих в используемые полуэмпирические соотношения. Если результаты проверки оказываются удовлетворительными, то полученные выводы распространяются на целый класс турбулентных течений, родственный тем, к которым относились выбранные для проверки теории эмпирические данные.

Полуэмпирические теории 20-х и 30-х годов обычно рассматривали только простейшие статистические характеристики турбулентных течений. Как правило, принимаемые в этих теориях гипотезы позволяют замкнуть уже самые первые уравнения системы Фридмана — Келлера, содержащие только одноточечные первые и вторые моменты гидродинамических полей — так называемые уравнения Рейнольдса турбулентного движения. Заметную роль в полуэмпирических теориях играет также использование свойств симметрии турбулентности в потоках того или

иного вида и некоторых простейших гипотез подобия (являющихся, в частности, обязательной частью всех полуэмпирических теорий турбулентных струй и следов за обтекаемыми телами). Однако гипотезы подобия, опирающиеся на конкретные физические представления о механизме турбулентности, не были единственной основой этих теорий и всегда дополнялись (иногда даже и без настоящей надобности) предположениями более специального характера. Так, например, одним из важнейших выводов полуэмпирических теорий явилось установление универсального (т. е. справедливого при всех не слишком малых числах Рейнольдса) логарифмического закона для профиля осредненной скорости в трубах, каналах и пограничных слоях на плоской пластинке. В настоящее время известно, что этот закон можно вывести из одной только естественной гипотезы подобия, касающейся распределений вероятностей гидродинамических полей турбулентности в полупространстве, или из соображений размерности, опирающихся на простейшие предпо ложения о физических величинах, определяющих в этом случае турбулентный режим. Тем не менее, в полуэмпирических теориях и этот результат всегда обосновывался с помощью некоторых специальных гипотез, причем, к сожалению» подобные его вы воды до сих пор остаются господствующими в учебной литературе по гидромеханике.

Полуэмпирические теории турбулентности оказались очень ценным оружием для решения ряда важных практических задач; однако принимаемые в этих теориях гипотезы часто не имеют надежного физического обоснования и мало что дают для понимания физического механизма турбулентности. Совсем иной характер имеет теория универсального стационарного статистического режима мелкомасштабных компонент турбулентности при очень больших числах Рейнольдса. Эта теория непосредственно вытекает из новых гипотез подобия для мелкомасштабных компонент, предложенных А. Н. Колмогоровым (1941а, б) (к тем же выводам пришел и А. М. Обухов (1941), рассмотревший специальную модель физических процессов, обусловливающих эволюцию этих компонент). Ее создание явилось новым большим этапом в развитии статистической гидромеханики.

Прежде чем приступить к описанию вклада в теорию турбулентности, внесенного Колмогоровым и Обуховым, нам кажется необходимым, однако, соблюдая исторический принцип изложения, назвать двух их предшественников. Одним из них явился английский ученый Льюис Ричардсон (1922, 1926), а вторым — уже дважды упоминавшийся выше Дж. Тэйлор (1935а). Ричардсон в книге, опубликованной в 1922 г., высказал

глубокие соображения (мало замеченные в то время) о физическом механизме турбулентного перемешивания при большом числе Рейнольдса. Согласно его представлениям, развитая турбулентность представляет собой иерархию «вихрей» (т. е. возмущений или неоднородностей) разных порядков, в которой «вихри» данного порядка возникают за счет потери устойчивости более крупных «вихрей» предыдущего порядка, заимствуют у них энергию и, в свою очередь, теряя устойчивость, порождают более мелкие «вихри» следующего порядка, которым они передают свою энергию. Таким образом возникает своеобразный «каскадный процесс», при котором энергия осредненного течения последовательно передается движениям все более и более мелких масштабов, вплоть до движений минимального масштаба, оказывающихся уже устойчивыми. Для того чтобы быть устойчивыми, эти наиболее мелкомасштабные движения должны характеризоваться достаточно малым числом Рейнольдса; отсюда вытекает, что в них вязкость уже играет существенную роль и; следовательно, происходит заметная диссипация кинетической энергии, переходящей непосредственно в теплоту. Соответствующая физическая картина развитой турбулентности хорошо передается английскими рифмованными строчками, по-видимому, также принадлежащими Ричардсону:

Big whorls have little whorls,

Which feed on their velocity;

Little whorls have smaller whorls,

And so on unto viscosity.

Ричардсон высказал эти общие соображения лишь в качественной форме и не сделал из них никаких выводов, формулируемых на точном языке математики. Но сила его интуиции была столь велика, что в работе 1926 г. он сумел тем не менее чисто эмпирическим путем установить один из общих количественных законов мелкомасштабных турбулентных движений, вытекающих из математической теории, основанной на представлениях о каскадном процессе передачи энергии по совокупности турбулентных движений разных масштабов. Этот закон заключается в том, что эффективный коэффициент диффузии облака примеси в среде с развитой турбулентностью пропорционален размеру облака в степени четыре трети. В 1941 г., когда Колмогоров и Обухов сформулировали основные положения количественной теории мелкомасштабных компонент турбулентности.

«закон четырех третей» Ричардсона был фактически единственным эмпирическим результатом, указывавшим на существование каких-то простых общих закономерностей, управляющих мелкомасштабной структурой турбулентности.

Большую роль в создании современной теории мелкомасштабных турбулентных движений сыграла также работа Тэйлора (1935а), в которой было введено понятие об однородной и изотропной турбулентности. Такая турбулентность определяется тем условием, что для нее все конечномерные распределения вероятностей значений гидродинамических полей в конечном числе точек пространства — времени инвариантны относительно любых ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат. Однородная и изотропная турбулентность является тем частным случаем турбулентных течений, для которого структура статистических моментов гидродинамических полей и вид соответствующих уравнений Фридмана — Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае все принципиальные трудности, связанные с проблемой замыкания уравнений Фридмана — Келлера, остаются в силе. Однако соответствующие уравнения оказались все же гораздо более доступными для математического анализа, чем общие уравнения, отвечающие произвольной турбулентности, и с их помощью удалось получить целый ряд результатов, разъясняющих отдельные закономерности турбулентных течений.

Сама по себе модель однородной и изотропной турбулентности непригодна для описания каких-либо реальных турбулентных течений, поскольку для таких течений предположения об однородности и изотропности никогда не выполняются (хотя бы потому, что пространственная однородность предполагает, в частности, отсутствие у потока каких-либо границ и строгое постоянство его средней скорости). Но математический аппарат теории однородной и изотропной турбулентности после некоторого его обобщения оказался весьма ценным для описания свойств мелкомасштабных компонент реальных турбулентных течений, так как статистический режим этих компонент, как мы, следуя Колмогорову, поясним чуть ниже, уже естественно предполагать однородным и изотропным. Иначе говоря, любую развитую турбулентность с достаточно большим числом Рейнольдса можно считать локально однородной и локально изотропной, что сразу резко упрощает ее математическое исследование.

Остановимся теперь на основных идеях принадлежащей Колмогорову теории локально изотропной турбулентности (или теории локального строения турбулентности при больших числах Рейнольдса) — ниже нам будет удобно использовать это

сравнительно короткое название вместо того, которое употреблялось на стр. 20. Прежде всего Колмогоров существенно дополнил представление о каскадном процессе передачи энергии от крупномасштабных компонент (получающих энергию непосредственно от осредненного течения) ко все более и более мелкомасштабным компонентам, заметив, что вследствие хаотичности такой передачи энергии ориентирующее влияние среднего течения должно ослабляться при каждом переходе к более мелким возмущениям. Поэтому на свойствах компонент турбулентности с достаточно малым масштабом (т. е. достаточно большим порядковым «номером») вовсе не должно сказываться это ориентирующее влияние. Другими словами, несмотря на то, что среднее течение и наиболее крупномасштабные неоднородности любого реального турбулентного движения, вообще говоря, неоднородны и анизотропны, статистический режим достаточно мелкомасштабных пульсаций в любой турбулентности с очень большим числом Рейнольдса можно считать однородным и изотропным. Кроме того, естественно ожидать, что характерные периоды пульсаций разных порядков будут тем меньше, чем больше их порядок, и в случае пульсаций достаточно высокого порядка (т. е. достаточно малых пространственных масштабов) будут много меньше времени заметного изменения среднего течения. Следовательно, режим таких пульсаций будет квазистационарным — практически стационарным в течение промежутков времени, содержащих много характерных периодов.

Итак, мы видим, что в области возмущений достаточно малых масштабов, по-видимому, должен господствовать однородный, изотропный и практически стационарный статистический режим, характеризуемый наличием определенного среднего притока энергии к наиболее крупным из рассматриваемых возмущений и равной ему диссипацией энергии в теплоту под действием вязкости, сосредоточенной в основном в области возмущений минимального масштаба. Исходя отсюда, Колмогоров сформулировал гипотезу о том, что статистический режим достаточно мелкомасштабных компонент, любой турбулентности с большим числом Рейнольдса является универсальным и определяется лишь двумя размерными параметрами — средней скоростью диссипации энергии (на единицу массы жидкости) и коэффициентом вязкости Отсюда уже с помощью простых соображений размерности можно вывести, что масштаб наибольших пульсаций, на которые вязкость еще оказывает существенное влияние, должен иметь порядок Следовательно, естественно предположить, что в случае, когда область масштабов возмущений, подчиняющихся указанному

универсальному статистическому режиму, простирается вплоть до масштабов, много больших должен существовать так называемый инерционный интервал масштабов (много меньших типичного масштаба течения в целом но много больших в котором вязкость уже не будет играть роли, т. е. статистический режим будет определяться единственным параметром Это предположение представляет собой вторую основную гипотезу Колмогорова.

Изложенные гипотезы Колмогорова позволяют сформулировать ряд конкретных выводов о статистических характеристиках мелкомасштабных компонент турбулентности. Наиболее важным из них является выведенный Колмогоровым «закон двух третей», согласно которому средний квадрат разности скоростей турбулентного течения в двух точках на расстоянии друг от друга при принадлежащем инерционному интервалу масштабов, равен где С — универсальная числовая постоянная. Другой формой этого утверждения (впервые указанной Обуховым (1941)) является так называемый «закон пяти третей», согласно которому плотность распределения кинетической энергии по спектру волновых чисел турбулентных неоднородностей в инерционном интервале имеет вид где новая числовая постоянная (просто связанная с С). Имеется также много других следствий из рассматриваемых гипотез, на которых мы здесь уже не будем задерживаться.

Работы Колмогорова послужили основой всего последующего развития теории локальной структуры турбулентности и ее приложений в 40-х и 50-х годах текущего столетия. За этот период была изучена локальная структура не только поля скорости, но и полей концентрации пассивных примесей и температуры (включая случай температурно-стратифицированной тяжелой жидкости, в котором, благодаря появлению архимедовых сил, температуру уже нельзя считать «пассивной примесью»), давления и турбулентного ускорения. Полученные сведения о статистических свойствах мелкомасштабных компонент турбулентности нашли приложение к задачам об относительном рассеянии частиц и дроблении капель в турбулентной среде, об образовании ветровых волн на поверхности моря, генерации магнитного поля в турбулентном потоке проводящей ток жидкости и распределении неоднородностей электронной плотности в ионосфере, о пульсациях коэффициента преломления в атмосфере и создаваемых ими рассеянии и флюктуациях параметров распространяющихся электромагнитных волн и к ряду других интересных задач.

Следствия теории Колмогорова, в первую очередь сформулированные выше «закон двух третей» и «закон пяти третей», в 40-х и 50-х годах неоднократно проверялись на материалах измерений статистических характеристик конкретных турбулентных течений. При этом, однако, в конце концов выяснилось, что в лабораторных экспериментах (производившихся обычно в аэродинамических трубах) числа Рейнольдса недостаточно велики для существования заметного инерционного интервала в спектре турбулентности и, следовательно, результаты таких измерений в аэродинамических трубах, собранные за 20 лет, не годятся для проверки указанных законов. Измерения же в природе, где числа Рейнольдса, как правило, имеют гораздо большие значения, чем в лабораторных течениях, до последнего времени давали результаты со значительным статистическим разбросом; поэтому, хотя общая совокупность экспериментальных данных несомненно свидетельствовала в пользу теории, ее подтверждение все же оказывалось не совсем непосредственным и не позволяло надежно оценить входящие в теорию числовые параметры. Лишь в самые последние несколько лет положение в этом отношении кардинально изменилось — за этот период несколькими экспериментаторами были проведены очень точные измерения характеристик турбулентности в различных природных и искусственных турбулентных течениях с очень большим числом Рейнольдса, результаты которых прекрасно совпали друг с другом, окончательно подтвердили справедливость теории и позволили, наконец, с достаточной точностью определить постоянные .

В настоящее время есть веские основания считать, что теоретическая разработка и экспериментальная проверка идей об универсальном статистическом режиме мелкомасштабных компонент турбулентности в основном уже завершены, и для дальнейшего развития теории турбулентности требуются какие-то существенно новые идеи, о поисках которых мы скажем немного ниже. Поэтому нам кажется, что именно сейчас уместно подвести итоги всего того значительного периода развития теории турбулентности, который был связан с разработкой указанной идеи. Попытка в какой-то мере выполнить эту задачу и является одной из целей настоящей книги.

Назовем теперь несколько работ, посвященных поискам новых путей в развитии статистической гидродинамики. В работах А. Н. Колмогорова (1962) и А. М. Обухова (1962), доложенных на двух примыкающих друг к другу международных конференциях по теории турбулентности, состоявшихся в Марселе в начале осени 1961 года, предложен путь дальнейшего уточнения основных представлений о локальной структуре

турбулентности при больших числах Рейнольдса. А именно, в изложенной выше теории статистические характеристики мелкомасштабной турбулентности, как мы видели, предполагаются зависящими лишь от среднего значения скорости диссипации энергии. Но на самом деле поле диссипации энергии также беспорядочно пульсирует, причем есть основания (и теоретические и чисто эмпирические) думать, что его изменчивость должна быть весьма велика. Статистические характеристики этого поля, очевидно, могут зависеть от особенностей крупномасштабного течения; в частности, следует ожидать, что дисперсия поля будет расти с ростом Поэтому статистические характеристики мелкомасштабных турбулентных движений, определенные по одному только значению следует интерпретировать лишь как условные средние значения, получаемые при условии, что значение строго фиксировано (и равное). Безусловные же средние значения, получаемые с помощью осреднения результатов расчета при фиксированном по флюктуирующим значениям этого параметра, будут, вообще говоря, отличаться от условных средних значений (и могут оказаться уже не универсальными, т. е. различными для разных типов крупномасштабных течений и, в частности, зависящими от Методам оценки влияния этого обстоятельства и были посвящены работы Колмогорова и Обухова. Получение на этом пути конкретных количественных результатов требует в первую очередь выяснения статистических свойств поля диссипации энергии т. е., иначе говоря, более детального изучения механизма диссипации энергии в турбулентном потоке. Предварительные оценки показывают, что поправки к законам «двух третей» и «пяти третей», получаемые при учете изменчивости диссипации энергии, по-видимому, имеют порядок, близкий к степени точности лучших из имеющихся в настоящее время экспериментальных данных.

Упомянем также своеобразный вариант теории возмущений для уравнений гидродинамики, развитый Р. Крейчнаном (1959, 1962б) и основанный на предположении, что прямые динамические взаимодействия между тройками пространственных компонент Фурье поля скорости играют значительно большую роль, чем их непрямые взаимодействия (через все остальные компоненты Фурье). Укажем еще метод описания крупномасштабных компонент турбулентности, предложенный У. Малкусом (1954б) (см. также Таунсенд (1962б) и Спигел (1962)) и опирающийся на использование гипотетического вариационного принципа максимума диссипации и представление гидродинамических полей в виде суперпозиций конечного

числа соответствующих собственных функций (где минимальный масштаб учитываемых компонент турбулентности соответствует пределу гидродинамической устойчивости осредненного поля). Оба эти подхода вызывают в последнее время много споров — они приводят к некоторым интересным и правдоподобным результатам, но опираются на непроверенные гипотезы и встречаются с рядом трудностей. Так, например, первое приближение теории возмущений Крейчнана приводит к формулам для спектра турбулентности в области малых масштабов, не согласующимся с прекрасно оправдавшимися предсказаниями теории Колмогорова и указывающим на необъяснимую зависимость статистических характеристик мелкомасштабных компонент от режима крупномасштабных компонент. Теория Малкуса в случае свободной конвекции приводит к результатам, не согласующимся с выводами из простейших предположений о подобии характеристик турбулентности в стратифицированной среде (и указывающим на существенную зависимость крупномасштабных компонент конвективного течения от молекулярной теплопроводности жидкости). Та же теория, примененная к течению между параллельными стенками, приводит к очень спорному выводу о зависимости крупномасштабных характеристик от молекулярной вязкости при сколь угодно больших числах Рейнольдса и к расхождению с общепринятым (и хорошо подтверждающимся на опыте) универсальным логарифмическим законом для профиля средней скорости. Поэтому в настоящее время еще невозможно сказать, окажутся ли эти подходы (или какие-либо простые их модификации) плодотворными для развития теории турбулентности или нет,

Укажем, наконец, на перспективы решения общей проблемы турбулентности, связанные с использованием аппарата характеристических функционалов гидродинамических полей. Эти характеристические функционалы однозначно определяют распределения вероятностей или на фазовом пространстве турбулентного потока, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. Таким образом, хотя Динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов, оказывается линейной задачей. Отметим также, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемым уравнениям Швингера

квантовой теории поля — уравнениям вариационных произвольных для функции Грина взаимодействующих квантованных полей (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше).

Решение уравнения Хопфа встречается со значительными трудностями как из-за того, что пока еще не ясно, какие именно конкретные задачи для этого уравнения должны быть рассмотрены в первую очередь, так и по причине отсутствия до сих пор каких-либо общих методов решения уравнений в вариационных производных (и даже общих результатов о существовании и единственности таких решений). В самые последние годы большое внимание в этой связи привлекает новый математический аппарат континуальных интегралов — интегралов от функционалов, распространенных по некоторому функциональному пространству. Уже сегодня формально удается записать решение уравнения Хопфа в виде континуального интеграла по некоторой «обобщенной мере» в функциональном пространстве (не обладающей некоторыми обычными свойствами мер, используемых в математическом анализе, и тем, напоминающей пресловутую «меру Фейнмана», возникающую в квантовой механике и квантовой теории поля). Однако пока такая запись решения все еще остается лишь чисто формальным приемом, мало облегчающим эффективное построение и изучение искомых решений.

Заканчивая введение, мы хотели бы сказать несколько слов о содержании настоящей книги. Разумеется, совершенно невозможно в одном или двух томах исчерпать весь круг вопросов, связанных с проблемой турбулентности. Мы и не пытались это сделать, а отобрали лишь тот материал, который, как нам кажется, может помочь выяснению физической природы турбулентности. Поэтому мы Почти не останавливались на конкретных приложениях инженерного характера и на математических тонкостях, связанных с расчетом статистических характеристик. С этим связано и то, что мы всюду ограничивались рассмотрением лишь простейших течений и простейших задач. Так, например, в книге говорится только о течении в прямых круглых трубах; пограничный слой рассматривается только на плоской пластинке и при отсутствии градиента давления в обтекающем потоке; диффундирующие

частицы предполагаются практически точечными и имеющими тот же удельный вес, что и окружающая среда, и т. д. Далее, мы ничего не говорим о турбулентных течениях проводящей жидкости в магнитном поле, а учету сжимаемости уделяем лишь совсем немного места в главе об изотропной турбулентности для того, чтобы иметь возможность объяснить связанные с этим новые физические эффекты. Однако мы включили в книгу главу, посвященную турбулентности в среде, вертикально стратифицированной по плотности (для простейшего случая плоскопараллельного течения в полупространстве так как влияние стратификации на турбулентность имеет отчетливый физический характер и может исследоваться с помощью простых общих методов, широко использовавшихся в других частях книги.

Стремление сделать книгу как можно более «физической» диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому задачи теории турбулентности обычно не могут быть непосредственно сведены к нахождению единственного решения некоторого дифференциального уравнения (или уравнений), определяемого известными начальными и граничными значениями. В этих условиях неизбежно приходится привлекать помимо уравнений движения какие-то дополнительные соображения. Нам представляется, что среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариантность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места; особенно кратко здесь изложены «классические» применения полуэмпирических теорий к течениям в трубах, каналах и пограничных слоях, подробно изложенные в известных монографиях С. Гольдштейна (1938), Л. Г. Лойцянского (1941) и Г. Шлихтинга (1951) (вместе с полуэмпирическими теориями «свободной турбулентности», вовсе опущенными в нашей книге). Однако мы включили все же некоторые сравнительно новые и медее известные применения полуэмпирических теорий и рассмотрели ряд применений полуэмпирической теории турбулентной

диффузии (которой чаще всего вообще только и ограничиваются при обсуждении проблемы распространения примесей в турбулентном потоке). Кроме того, мы детально проанализировали также различные гипотезы о переносе энергии по спектру изотропной турбулентности, близкие по характеру к полуэмпирическим гипотезам, но проливающие некоторый свет на физический механизм турбулентного перемешивания и ранее не излагавшиеся во всей полноте.

Большое внимание, уделенное в книге методам подобия и размерностей, обусловило также то, что изложению принадлежащей А. Н. Колмогорову теории локально-изотропной турбулентности (целиком построенной на применении этих методов) здесь отведено много места. Мы уже отмечали, что стремление подвести определенные итоги развитию идеи об универсальном локальном строении любого турбулентного течения с очень большим числом Рейнольдса было одним из основных стимулов к написанию этой книги. Мы рассмотрели также. предложенные в 1961 г. А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым уточнения этой Идеи вместе с дополнительными данными по этому вопросу, полученными в более позднее время. Но вызывающие много разногласий теории Р. Крейчнана и У. Малкуса, приводящие к результатам, противоречащим выводам из соображений размерности, мы почти не упоминаем после исторического очерка, помещенного в настоящем введении.

Желая систематически изложить теоретические основы статистической гидромеханики, мы в то же время отнюдь не хотели придать нашей книге формально-математический характер, а стремились все время подкреплять теоретические выводы анализом эмпирических данных. Сочетание теоретического и экспериментального подходов, крайне плодотворное во всех естественно-научных исследованиях, особенно необходимо в статистической гидромеханике, в которой, теория часто еще имеет лишь предварительный характер и почти всегда базируется на ряде гипотез, нуждающихся в экспериментальной проверке. Однако мы избегали привлекать данные экспериментальных исследований турбулентности, не имеющие теоретического объяснения и не служащие базой для определенных теоретических выводов, даже если эти данные сами по себе казались весьма интересными или практически важными. В качестве источника экспериментальных данных о турбулентности особенно часто в этой книге используется атмосферная турбулентность. В какой-то мере это связано с тем, что оба автора в течение многих лет работают в Институте физики атмосферы и значительно лучше знакомы с атмосферной турбулентностью, чем с другими турбулентными течениями, Но и помимо этого

имеются веские причины, оправдывающие специальное внимание авторов к такой турбулентности. Дело в том, что атмосфера, которую еще Карман (1935) назвал гигантской природной лабораторией для изучения турбулентности, обладает очень ценными свойствами, делающими ее особенно подходящей для проверки выводов современной статистической теории. Мы уже отмечали, что атмосферные движения обычно характеризуются гораздо большими числами Рейнольдса, чем течения, осуществляемые в лаборатории, и, следовательно, гораздо более удобны для исследования специфических закономерностей, относящихся к случаю очень больших Кроме того, и геометрические условия атмосферной турбулентности (а именно, отвечающие ветру в приземном слое условия плоскопараллельного течения в полупространстве, ограниченном твердой стенкой, которую в ряде случаев можно считать к тому же плоской и однородной, или хорошо описывающие движения воздуха в свободной атмосфере условия течения в безграничном пространстве) оказываются более простыми, чем в большинстве лабораторных экспериментов. Единственным дополнительным осложнением, возникающим при переходе из лаборатории в атмосферу, является необходимость учета влияния термической стратификации, но, как мы уже отмечали, это осложнение приводит к дополнительным интересным теоретическим рассмотрениям и расширяет число наблюдаемых на опыте закономерностей, допускающих физически обоснованное объяснение.

Широкая распространенность турбулентных течений, их большое значение для множества разнообразных практических задач и интерес к ним теоретиков привели к тому, что литература, касающаяся турбулентности, колоссальна — она насчитывает много десятков тысяч статей, разбросанных по громадному числу физических, механических, математических, химических, метеорологических и технических журналов. К сожалению, однако, теория турбулентности оказалась крайне трудной и до сих пор она продвинута (не очень далеко; поэтому многие относящиеся сюда работы являются чисто эмпирическими, содержат лишь самые начатки теории или даже являются ошибочными. Эти обстоятельства, разумеется, очень осложняют обзор литературы по статистической гидромеханике. В нашей книге мы первоначально предполагали ограничиться лишь минимальным количеством необходимых ссылок; но, потратив очень много времени на изучение литературы (а без этого нельзя было выяснить, что же является необходимым), мы решили, что более целесообразно не скупиться на ссылки, особенно относящиеся к работам последних лет. Мы сделали это, рассчитывая дать читателю достаточно полное представление

о современном состоянии исследований в теории турбулентности, облегчить ему нахождение необходимых справок и как-то помочь ориентироваться в безграничном море книг и статей. В ряде мест книги мы включили даже небольшие обзоры литературы (чаще всего напечатанные мелким шрифтом), в которых старались по возможности кратко изложить содержание значительного числа типичных работ, относящихся к соответствующему разделу теории. Мы, разумеется, понимаем, что большое количество библиографических ссылок несколько загромождает текст книги, а также (в силу полной невозможности охватить хотя бы большую часть имеющихся работ) значительно увеличивает число авторов, могущих почувствовать себя несправедливо обойденными в столь обширном списке литературы. Мы заранее просим извинения у всех этих авторов и спешим предупредить читателя, что вовсе не считаем включенные в наш список работы самыми лучшими или наиболее важными, никак не претендуем на его полноту и сознаем, что в вопросе об авторском приоритете (которым мы специально не занимались) у нас вполне может встретиться ряд неточностей.

Разумеется, на отбор материала для книги оказали известное влияние и наши личные научные вкусы. В частности", в, книгу включен ряд результатов наших собственных работ. Большая часть этих результатов изложена здесь в переработанном и дополненном виде, представляющемся нам сегодня наилучшим; также и результаты других авторов часто излагаются нами по-новому, с учетом более поздних данных, а также общего подхода к проблеме, терминологии и обозначений, принятых в настоящей книге. Естественно поэтому, что приведенные ссылки во многих случаях содержат лишь какой-то эквивалент вывода или формулы, в связи с которыми они указаны.

Отступление от изложения, принятого в оригинальной работе, часто бывает также обусловлено нашим стремлением во всех случаях как можно более четко указывать все предположения, используемые в ходе того или иного вывода. В частности, мы старались всегда отмечать, какие результаты непосредственно вытекают из основных уравнений движения (т. е. из общих законов физики), какие следуют из соображений размерностиу (т. е. из определенных представлений о том, какие физические величины являются существенными, а какие несущественными для данного явления), какие требуют привлечения специальных полуэмпирических гипотез (и каких именно), а какие являются просто эмпирическими фактами.

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно

облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее, мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея в виду таких читателей, мы включили в первые две главы основные необходимые сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное Внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциалаых уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем не легко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математическйх вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей); этим объясняется то, что целых две главы книги оказались посвящены математической теории случайных полей.

По техническим причинам книгу оказалось удобным издать в виде двух частей. В первую из них включены вопросы, изложе-, ние которых не требует использования никаких спектральных представлений (вероятно, многих наших коллег удивит, что таких вопросов набралось на толстую книгу). Здесь излагаются общие сведения об уравнениях гидромеханики и их простейших следствиях (кончающихся несколько более специальной теорией малых колебаний сжимаемого газа); рассматривается вопрос о возникновении турбулентности и гидродинамической неустойчивости (включая элементы нелинейной теории неустойчивости); приводятся элементарные сведения из теории вероятностей и теории случайных полей (в том числе некоторые сведения об условиях эргодичности); подробно разбирается применение соображений размерности и подобия к турбулентным течениям в трубах, каналах, пограничных слоях и к свободным турбулентным течениям (струям, следам за обтекаемыми телами и т. д.) и кратко перечисляются основные идеи и результаты полуэмпирических теорий турбулентности (с конкретными примерами); детально исследуется теория подобия для турбулентности в вертикально стратифицированной по плотности среде, и полученные при этом результаты сопоставляются с обширным эмпирическим материалом наблюдений над ветром и температурой в приземном слое воздуха; изучаются лагранжевы характеристики турбу лентности и теория турбулентной диффузии.

Вторая часть начинается с математической главы, посвященной спектральной теории случайных полей (в том числе и полей, являющихся не однородными, а только локально однородными); далее подробно излагается теория изотропной турбулентности (основное внимание здесь уделено различным методам замыкания уравнений для моментов гидродинамических полей изотроп-, ной турбулентности в несжимаемой жидкости, но приводятся также и некоторые выводы, относящиеся к сжимаемому случаю); рассматриваются общие представления об универсальном локальном строении турбулентности при больших числах Рейнольдса и их следствия (включая и вопрос об относительной диффузии, т. е. увеличении размера облака примеси, переносимого турбулентным потоком) и исследуются спектральные характеристики турбулентности в расслоенной жидкости; приводятся основные сведения о распространении электромагнитных и звуковых волн в турбулентной среде и, наконец, рассматривается общая формулировка проблемы турбулентности, опирающаяся на изучение характеристических функционалов гидродинамических полей.