ГЛАВА III. УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА И ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

§ 5. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ И В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

5.1. Уравнения Рейнольдса

Изучение турбулентных потоков жидкости естественно начать со случая течений в круглых трубах и в пограничном слое на плоской пластинке, легче всего осуществимых в лаборатории и имеющих большое значение для многих технических задач. Богатый экспериментальный материал, накопленный при изучении таких течений, позволяет рассматривать их как эталоны для проверки различных теорий и гипотез о природе турбулентности. Изложение основных сведений о важнейших интегральных характеристиках течений в трубах и в пограничном слое — профиле продольной скорости, расходе жидкости и законе сопротивления — и займет центральное место в настоящем параграфе. Далее мы рассмотрим также некоторые гипотезы о турбулентных течениях, широко используемые при практических расчетах, и в заключение совсем коротко остановимся на так называемой свободной турбулентности, на которую не влияют существенно никакие твердые стенки. Прежде всего, однако, необходимо привести общие соображения Рейнольдса (1894), относящиеся к произвольным турбулентным течениям и лежащие в основе всей теории турбулентности.

Мы уже. говорили о том, что гидродинамические поля скорости, давления, температуры и т. д. в случае турбулентного течения имеют Столь сложную структуру, что их индивидуальное описание оказывается практически невозможным. Поэтому здесь приходится рассматривать сразу целую совокупность аналогичных течений и изучать лишь осредненные статистические характеристики этой совокупности, предполагая, что все

рассматриваемые гидродинамические поля являются случайными полями (в смысле, объясненном в п. 3.2). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что такой подход является возможным, т. е. турбулентными мы будем называть лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений, характеризуемый определенными распределениями вероятности (с непрерывными плотностями) для значений всевозможных гидродинамических полей. Отметим в этой связи, что обычное определение турбулентных течений просто как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, еще недостаточно для возможности построения математической теории турбулентности. Если же соответствующий статистический ансамбль существует, то отвечающее ему статистическое описание гидродинамических полей турбулентности и с чисто практической точки зрения не будет «неполным», так как знание всех деталей очень запутанного индивидуального поля для практики никогда не нужно, а интерес всегда представляют лишь средние характеристики. Правда, на практике обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние; поэтому с практической точки зрения следует требовать еще, чтобы случайные поля гидродинамических величин удовлетворяли какой-то форме эргодической теоремы. Последнее условие в дальнейшем мы также всегда будем предполагать выполняющимся, не оговаривая этого.

Важнейшими и одновременно простейшими статистическими характеристиками случайных гидродинамических полей являются их средние значения. Разности между индивидуальными значениями поля и и его средним значением естественно назвать пульсациями поля и. Разложение гидродинамических полей на их средние значения и пульсации и играло основную роль в рассуждениях Рейнольдса (а также и почти во всех последующих исследованиях турбулентности).

Средние значения гидродинамических полей обычно оказываются весьма гладкими и медленно меняющимися; пульсации же, наоборот, характеризуются большой изменчивостью во времени и в пространстве. Вообще говоря, допустимо даже предполагать, что турбулентные неоднородности могут иметь сколь угодно малые масштабы (вплоть до масштабов, сравнимых со средней длиной свободного пробега молекул) и сколь угодно малые периоды (вплоть до периодов, сравнимых со средним временем между последовательными столкновениями молекул). Если бы это было так, то использование при Описании турбулентности обычных понятий и методов механики сплошных сред (и, в частности, дифференциальных уравнений гидродинамики),

разумеется, было бы незаконным. Однако опыт показывает, что на самом деле турбулентные неоднородности никогда не имеют столь малых пространственно-временных размеров. Это объясняется тем, что неоднородностям очень малых размеров должны были бы отвечать очень большие градиенты скорости; поэтому для движений очень малых масштабов затраты энергии на преодоление сил вязкого трения становятся столь большими, что делают существование таких движений практически невозможным. В результате минимальные масштабы и периоды турбулентных неоднородностей оказываются во всех случаях на несколько порядков превосходящими масштабы и периоды молекулярных движений. А именно, размеры наименьших неоднородностей, наблюдающихся и в воздушных, и в водных турбулентных потоках, имеют порядок нескольких миллиметров или, в крайнем случае, десятых долей миллиметра (ср., например, ч. 2 настоящей книги, гл. 8), в то время как в нормальных условиях длина свободного пробега молекул воздуха имеет порядок см, а молекул воды — еще много меньший порядок. Так как к тому же скорости гидродинамических потоков по порядку величины не превосходят средней скорости теплового движения молекул (близкой к см/сек), то характерные периоды турбулентных пульсаций также всегда на несколько порядков превосходят среднее время между двумя молекулярными столкновениями. На расстояниях, сравнимых с размерами минимальных неоднородностей, и в течение промежутков времени, Сравнимых с минимальными периодами пульсаций, все гидродинамические поля изменяются плавно и могут быть описаны дифференцируемыми функциями. Отсюда вытекает, что описание турбулентных течений с помощью обычных дифференциальных уравнений гидромеханики является вполне оправданным.

Однако непосредственное использование этих уравнений не возможно хотя бы потому, что гидродийамические поля в турбулентном потоке всегда нестационарны и очень сильно зависят от мельчайших деталей начальных условий, а эти детали никогда не бывают известны с достаточной полнотой. Кроме того, если бы даже начальные значения и были известны точно, то все равно решение соответствующей задачи с начальными условиями из-за ее неустойчивости относительно малых возмущений начальных данных было бы крайне громоздким и практически бесполезным. Но отсюда еще не следует, что уравнения гидромеханики вообще не могут быть применены при изучении турбулентности. Благодаря тому, что индивидуальные реализации гидродинамических полей турбулентного потока удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, статистические характеристики этих полей оказываются связанными целым

рядом важных соотношений, имеющих для теории турбулентности самое первостепенное значение.

Простейшие связи такого рода и были установлены Рейнольдсом с помощью непосредственного осреднения уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости. Будем исходить из уравнений баланса импульса, умноженных на уравнений Навье — Стокса (1.6), в которых нам теперь будет удобно слагаемые преобразовать с помощью уравнения неразрывности к виду Применим ко всем членам этих уравнений операцию осреднения и используем перестановочность этой операции с дифференцированием по координатам и по времени (свойство (3.6) на стр. 164), а также равенство

непосредственно вытекающее из (3.3) и (3.7). В таком случае мы получим уравнения

обычно называемые уравнениями Рейнольдса. Эти уравнения содержат уже только плавно меняющиеся осредненные величины; поэтому при их использовании не возникает трудностей, связанных со сложностью и нерегулярностью гидродинамических полей турбулентных потоков. Зато при этом возникает другая трудность, связанная с наличием в уравнениях Рейнольдса новых неизвестных величин (знак минус здесь поставлен по причине, которая выяснится чуть ниже), характеризующих пульсационную компоненту поля скорости. Появление этих новых неизвестных, очевидно, является непосредственным следствием нелинейности уравнений гидродинамики. При осреднении же линейных уравнений никаких новых членов, разумеется, не возникает, так что, например, осредненное уравнение неразрывности будет иметь простой вид

Для выяснения физического смысла дополнительных слагаемых в уравнениях (5.1) рассмотрим среднее значение плотности потока импульса

где вязкий тензор напряжений в

несжимаемой жидкости. Это выражение показывает, что по отношению к осредненному движению роль вязкого тензора напряжений играет тензор того чтобы здесь получить сумму, и был добавлен знак минус в выражении для Таким образом, в турбулентном течении, кроме обмена импульсом между жидкими частицами благодаря силам молекулярной вязкости (описываемого тензором вязких напряжений), имеет место также и передача импульса от одних объемов жидкости к другим, вызываемая перемешиванием, создаваемым пульсациями скорости. Иначе говоря, влияние турбулентного перемешивания на осредненное движение оказывается родственным влиянию вязкости; чтобы подчеркнуть это, уравнения Рейнольдса иногда записываются также в виде

Мы видим, что величины — в уравнениях (5.1) для осредненного движения имеют смысл компонент тензора дополнительных напряжений, возникающих из-за наличия турбулентных пульсаций подобно тому, как в обычной гидродинамике микроскопические молекулярные движения приводят к появлению вязких напряжений. Эти дополнительные напряжения называются в теории турбулентности напряжениями Рейнольдса.

При рассмотрении тензора напряжений Рейнольдса особый интерес представляет компонента этого тензора, описывающая передачу импульса жидкости обтекаемому телу. Пусть — небольшая площадка на поверхности обтекаемого тела, которую приближенно можно считать плоской и совпадающей с частью плоскости Предположим, далее, что направление осредненного течения в окрестности этой площадки параллельно оси . В таком случае сила трения, приложенная к площадке , также будет направлена вдоль оси Ясно, что величина силы трения, приходящейся на единицу площади поверхности тела, будет равна плотности потока -компоненты импульса по направлению взятой в точке этой поверхности, т. е. будет определяться формулой

Величина называется напряжением трения на стенке. Так как на поверхности обтекаемого тела величины и их производные по очевидно, равняются нулю, а

то величину то можно представить и в более простой форме:

Если, однако, мы выделим площадку, параллельную 2, над поверхностью обтекаемого тела, то для нее напряжение трения будет уже определяться формулой

в важном частном случае, когда осредненная скорость всюду направлена вдоль оси мы будем иметь

В этом случае, следуя идеям Буссинеска (1897), часто формально полагают

где К — новая величина размерности называемая коэффициентом турбулентной вязкости, сумму можно назвать суммарным (или эффективным) коэффициентом вязкости турбулентного потока. В отличие от обычного коэффициента (молекулярной) вязкости коэффициент турбулентной вязкости К, очевидно, характеризует не физические свойства жидкости, а статистические свойства пульсационного движения. Поэтому он уже не обязан являться постоянной величиной, а может меняться в пространстве и во времени и даже принимать отрицательные значения (см. ниже п. 6.3). Существенно подчеркнуть сразу же, что коэффициент турбулентной вязкости К обычно значительно превосходит коэффициент молекулярной вязкости поэтому вдали от твердых границ напряжение трения (определяемое потоком х-компоненты импульса в направо лении оси вполне можно подсчитывать по формуле

Уравнения Рейнольдса (5.3) представляют собой уравнения баланса импульса осредненного движения; входящие в них напряжения Рейнольдса описывают турбулентный перенос этого

импульса. Аналогичные уравнения баланса могут быть получены и для произвольной скалярной консервативной субстанции, переносимой жидкостью (например, для тепла или пассивной материальной примеси типа водяного пара, дыма или пыли в атмосфере). Применяя операцию осреднения к уравнению (1.72), описывающему перенос субстанции О в несжимаемой жидкости, получим

или, иначе,

(ср. (5.1) и (5.1)). Если — это температура, то вектор описывает адвективный перенос тепла осредненным движением, где перенос тепла за счет молекулярной теплопроводности, а величина

будет плотностью турбулентного потока тепла по направлению отрицательной оси Мы видим, что турбулентные пульсации приводят к появлению дополнительного потока тепла, в ряде отношений родственного потоку тепла, создаваемому молекулярной теплопроводностью. Аналогично (5.5) мы можем формально положить

где величина играет роль нового коэффициента температуропроводности, называемого коэффициентом турбулентной температуропроводности (вообще говоря, этот коэффициент может быть различным для разных координатных осей). Если же в уравнениях (5.7) и (5,7) представляет собой концентрацию пассивной материальной примеси, то величина

будет иметь смысл плотности турбулентного потока примеси по направлению отрицательной оси в таком случае коэффициент в равенстве

называется коэффициентом турбулентной диффузии (этот коэффициент был введен Шмидтом (1917, 1925)).

Все сказанное выше по поводу коэффициента турбулентной вязкости можно, разумеется, повторить и по поводу коэффициентов турбулентной температуропроводности и диффузии; дальнейшие сведения о всех этих коэффициентах турбулентного переноса см. ниже в п. 6.3.