5.9. Свободная турбулентность

До сих пор в настоящем параграфе мы рассматривали турбулентные течения в каналах, трубах и пограничных слоях, т. е. течения около твердых стенок, трение о которые приводит к непрерывному порождению завихренности и оказывает непосредственное влияние на весь поток. Но в природе и в технике часто встречаются также турбулентные течения совершенно другого рода, в которых непосредственное влияние каких-либо твердых стенок отсутствует, и которые называются поэтому свободной турбулентностью. Важнейшими видами свободных турбулентных течений являются турбулентные следы за обтекаемыми жидкостью (или движущимися сквозь жидкость) твердыми телами, турбулентные струи и зоны турбулентного перемешивания, возникающие на границе между потоками разной скорости, не разделенными какими-либо твердыми стенками.

Свободные турбулентные течения играют большую роль во многих явлениях природы и в ряде технических устройств. Поэтому неудивительно, что их изучению было посвящено очень большое число теоретических и экспериментальных исследований. Эти исследования привела к ряду результатов, полезных для практических расчетов, но они пока еще мало что внесли в наше понимание физической природы турбулентности. Поэтому здесь мы ограничимся лишь кратким рассмотрением некоторых общих выводов, касающихся перечисленных, выше основных видов свободных турбулентных течений.

Существующие методы описания свободной турбулентности основаны, во-первых, на некоторых гипотезах об автомодельности соответствующих течений и, во-вторых, на использовании полуэмпирических теорлй турбулентности типа тех, которые были кратко изложены в предыдущем пункте. Гипотезы об автомодельности опираются на некоторые общие свойства течений жидкости и могут быть обоснованы также с помощью методов подобия и размерности; их рассмотрение представляет определенный физический интерес. Полуэмпирические же теории свободной турбулентности используют кроме общих законов физики еще некоторые дополнительные гипотезы более специального характера; получаемые при этом выводы важны в первую очередь для приложений В дальнейшем в настоящем пункте мы ограничимся почти исключительно анализом гипотез об автомодельности свободных турбулентных течений.

Начнем с того, что постараемся разъяснить общую идею об автомодельности свободной турбулентности на частном, примере трехмерной турбулентной струи, бьющей по направлению оси из конца тонкой трубки диаметра (но произвольного сечения) в неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью. Будем сравнивать друг с другом гидродинамические поля в различных сечениях Данные наблюдений показывают, что турбулентная струя обычно оказывается относительно узкой, так что продольная компонента средней скорости в струе значительно превосходит поперечную компоненту, а продольные изменения статистических характеристик гидродинамических полей оказываются много меньшими, чем их поперечные изменения. Исходя отсюда естественно ожидать, что свойства гидродинамических полей в данном сечении струи будут в какой-то мере повторять соответствующие свойства в сечениях вверх по потоку. Иначе говоря, следует ожидать, что статистические характеристики гидродинамических полей струи в различных ее сечениях (т. е. при различных значениях будут подобны между собой. Это означает, что в каждом сечении можно ввести такие характерные масштабы длины

и скорости что безразмерные статистические характеристики, получаемые при использовании этих масштабов, будут уже одинаковыми во всех сечениях. Разумеется, такое подобие не может иметь места начиная сразу же от отверстия, из которого бьет струя; оно представляется правдоподобным лишь на достаточно больших (по сравнению с диаметром расстояниях от этого отверстия, на которых размер и форма перестают уже сказываться на течении в трубе. Кроме того, для подобия нужно также, чтобы числа Рейнольдса в рассматриваемых сечениях струи были достаточно большими и обеспечивали бы наличие полностью развитой турбулентности (и тем самым независимость от вязкости статистического режима крупномасштабных компонент турбулентности, создающих взаимодействие между гидродинамическими полями в близких сечениях струи, которое и является физической основой подобия этих полей).

Высказанное здесь предположение о подобии является еще одним применением общего принципа подобия по числу Рейнольдса, о котором мы говорили на стр. 252; оно может быть также обосновано с помощью простых рассуждений, родственных тем, которые использовались в при выводе логарифмической формулы для профиля средней скорости вблизи стенки (но за пределами вязкого подслоя). В самом деле, в рассматриваемом здесь случае трехмерной затопленной струи течение зависит от диаметра выходного отверстия исходной скорости истечения струи и параметров жидкости Поэтому статистические характеристики течения, например средняя скорость или напряжение Рейнольдса, — (где — радиальная компонента пульсационной скорости в цилиндрической системе координат с осью в силу соображений размерности должны задаваться формулами вида

что на достаточно большом расстоянии от отверстия трубки зависимость этих характеристик от практически перестает сказываться, означает, что при достаточно большом мы можем положить в (5.103) (т. е. является следствием предположения, что правые части в (5.103) стремятся к пределу при Но тогда естественно считать, что «началь-. условия» при столь большом уже вообще будут сказываться лишь через значение «начального импульса» струи,

определяющего медленно изменяющиеся с ростом х интегральные характеристики течения в сечении (типа скорости на оси струи и полуширины струи равной тому значению при котором и весь же статистический режим течения в окрестности плоскости будет как-то приспосабливаться к значениям масштабов Отсюда вытекает, что при больших значениях струю уже можно считать осесимметрической (так как зависимость от может определяться лишь формой выходного отверстия), и формулы (5.103) здесь будут представимы в виде

где

Наконец, при достаточно большом мы можем положить в формулах (5.104), так как при развитом турбулентном режиме турбулентная вязкость всегда намного превосходит молекулярную и параметр здесь уже не должен играть роли (в этом и состоит принцип подобия по числу Рейнольдса). Следовательно, при достаточно больших значениях

где некоторые универсальные функции. Эти соотношения и выражают гипотезу об автомодельности течения в струе. Заметим еще, что в отличие от случая турбулентных течений при наличии твердых: стенок автомодельность здесь имеет место уже для всей области турбулентного течения (но, как и для течений в трубах, каналах и пограничном слое, она касается только статистических характеристик крупномасштабных компонент движения, не связанных с диссипацией энергии под действием вязкости).

Важные связи между функциями можно получить, подставив формулы (5.105) в уравнения Рейнольдса. В случае стационарного осесимметричного движения в пренебрежении слагаемыми, содержащими вязкость, уравнения Рейнольдса, как нетрудно показать, могут быть сведены к одному уравнению

(см., например, Таунсенд (1956)). Член здесь описывает нормальное турбулентное напряжение и действие

продольного градиента давления; обычно он оказывается много меньше других членов (во всяком случае, в центральной части течения), и чаще всего им просто пренебрегают. В результате получается уравнение

являющееся основой почти всех теоретических исследований, касающихся турбулентных струй. С помощью уравнения неразрывности для осредненного движения

из уравнения (5.106) можно исключить поперечную скорость Прежде всего заметим, однако, что, умножая уравнение (5.106) на и интегрируя по от 0 до мы в силу (5.107) получим

(это равенство выражает закон сохранения импульса, равенство потоков импульса, протекающих через любую достаточно большую сферу с центром вблизи отверстия, из которого бьет струя). Если теперь мы подставим сюда первую из формул (5.105), то найдем, Отсюда вытекает, что (а следовательно, и число Рейнольдса не может зависеть от х. Таким образом, Учитывая этот результат и подставляя формулы (5.105) в уравнения (5.106) и (5.107), легко найдем, что уравнения эти могут быть удовлетворены, лишь если — (тот же вывод, разумеется, следует и из более общего уравнения (5.106)).

Итак, мы убедились, что автомодельность возможна лишь при

где постоянная интегрирования. Точка при этом играет роль условного «начала струи». Поскольку нас интересуют лишь асимптотические закономерности при очень больших значениях х, то мы можем всюду в. дальнейшем просто считать, что Согласно (5.109), на достаточно большом расстоянии от выходного отверстия трубки ширина струи растет пропорционально расстоянию (т. е. струя имеет форму прямого круглого

конуса), а средняя скорость течения в струе убывает обратно пропорционально расстоянию. Отметим еще, что количество жидкости, протекающей через поперечное сечение струи, равно возрастает пропорционально х. Это показывает, что в струю все время втягивается жидкость из окружающей ее неподвижной среды.

При условиях (5.109) система уравнений (5.106) — (5.107) имеет бесконечное число решений вида (5.105). Фактически эта система позволяет получить Лишь одно соотношение, связывающее две неизвестные функции которое оказывается имеющим вид

(см., например, Сквайр (1948)). Еще хуже будет обстоять дело, если принять более общее уравнение (5.106) — здесь мы уже получаем лишь одно соотношение, содержащее четыре неизвестных функции (см. Таунсенд (1956)). Полное определение всех неизвестных функций требует привлечения еще каких-либо дополнительных гипотез. Во многих работах с этой целью использовались полуэмпирические теории турбулентности; так, например, Толмин (1926) (по-видимому, впервые получивший формулы вида (5.105)) использовал теорию переноса импульса Л. Прандтля и предположение, что а Гертлер (1942), следуя Прандтлю (1942), вместо этого принял, что и т. д. (подробнее об этом см., например, книги Бай Шии (1954), Хинце (1959) и Абрамовича (1960)).

Разумеется, из уравнений Рейнольдса следует лишь, что если только автомодельность (5.105) имеет место, то масштабы должны удовлетворять соотношениям (5.109), но никак не вытекает, что должна иметь место автомодельность. Наличие такой автомодельности кажется правдоподобным в силу приведенных выше общих соображений (которым, как мы покажем чуть ниже, можно придать также стандартную форму соображений размерности); однако окончательно оно может быть установлено лишь на основе анализа эмпирических данных. В случае струи, вытекающей в пространство, заполненное неподвижной жидкостью, формулы (5.105) и (5.109) проверялись в экспериментах большого числа авторов (см., например, Рейхардт (1942), Корсин (1943), Хинце и Ван дер Хегге Цийнен (1949), Корсин и Уберои (1950), Корсин и Кистлер (1954), Форстолл и Гейлорд (1955)). При этом было установлено, что уже на небольших

расстояниях от отверстия, из которого вытекает струя профиль средней продольной скорости хорошо описывается формулами (5.105), (5.109). Полная же автомодельность течения, проявляющаяся и в профилях осредненной скорости, и во вторых моментах пульсаций скорости, окончательно устанавливается лишь в более далеких от отверстия сечениях струи Наблюдается также некоторая зависимость профилей от числа Рейнольдса которая ослабевает с ростом и при уже перестает быть заметной.

Рис. 44. Зависимость нормированной средней скорости от в трех разных сечениях осесимметричной струн по данным Рейхардта (1942).

В качестве примера на рис. 44 приведены (по данным Рейхардта) профили скорости в трех сечениях струи, нормированные делением на и отнесенные к расстояниям измеренным масштабом таким, что и Мы видим, что подобие профилей выполняется вполне удовлетворительно.

Аналогичные гипотезы об автомодельности могут быть сформулированы и для других конкретных типов свободных турбулентных течений. Из них мы рассмотрим здесь плоскую турбулентную струю, бьющую в заполненное той же жидкостью

пространство по направлению оси из бесконечно длинной щели, расположенной в плоскости вдоль оси трехмерный турбулентный след за расположенным вблизи начала координат телом конечных размеров, обтекаемым жидкостью по направлению оси плоский турбулентный след за бесконечно длинным цилиндром с осью вдоль оси обтекаемым жидкостью по направлению оси наконец, зону перемешивания между двумя плоскопараллельными течениями в направлении в полупространствах имеющими в начальном сечении постоянные, но различные скорости (скажем, при при При этом в случае следов за обтекаемыми телами естественно перейти к подвижной инерционной системе координат, перемещающейся вместе с невозмущенным обтекающим потоком (т. е. рассматривать лишь отклонения скорости течения в следе от невозмущенной скорости, затухающие на большом расстоянии от тела); в случае же зоны смешения систему координат надо выбрать так, чтобы выполнялось равенство В таком случае для всех перечисленных течений следует ожидать, что при достаточно большом числе Рейнольдса профили средней скорости и напряжения трения на достаточно большом расстоянии х будут представимы в виде (5.105), где поперечная координата (расстояние от оси О для трехмерных течений и от плоскости для плоских течений), поперечная скорость. При этом масштабы длины и скорости всегда оказываются пропорциональными некоторой степени продольного расстояния от условного начала отсчета

(так что число Рейнольдса пропорционально Показатели тип могут быть определены, как и выше, из требования, чтобы функции (5.105) могли являться точными решениями соответствующих уравнений Рейнольдса (в пренебрежении молекулярной вязкостью). В случае следов за обтекаемым телом соответствующие уравнения Рейнольдса целесообразно предварительно упростить, воспользовавшись тем, что на большом расстоянии от тела средняя продольная скорость в пределах следа будет лишь на немного меньше постоянной скорости обтекающего потока (равной невозмущенной скорости течения за пределами следа), так что где а средняя поперечная скорость будет по порядку величины не больше, чем Поэтому, например, в случае трехмерного следа уравнение Рейнольдса на большом

расстоянии х может быть приближенно записано в виде

и, следовательно, здесь

Дальнейшие рассуждения для всех рассматриваемых типов свободных турбулентных течений совершенно аналогичны тем, которые выше использовались в применении к случаю трехмерной струи. Получаемые при этом результаты сведены в нижеследующую таблицу:

(см. также Сквайр (1948), Шлихтинг (1951), Шубауэр и Чен (1959)). Наиболее существенное различие между указанными здесь типами свободной турбулентности, которое можно усмотреть из таблицы, заключается в различной зависимости от расстояния х числа Рейнольдса В плоском следе, как и в трехмерной струе, не меняется с расстоянием, тем не менее, течение в плоском следе оказывается в некотором смысле более неустойчивым, чем в трехмерной струе; так, согласно Таунсенду (1956), полная автомодельность в плоском следе устанавливается лишь на расстояниях где диаметр обтекаемого цилиндра. В плоской струе и в зоне перемешивания растет с увеличением х. Наконец, в трехмерном следе убывает с расстоянием, так что при достаточно больших х турбулентность должна вырождаться (на таких расстояниях предположения об автомодельности, конечно, перестают быть применимыми). Дальнейшие сведения об этих течениях см., например, в книгах Бай Ши-и (1954), Таунсенда (1956), Биркхофа и Царантонелло (1957), Хинце (1959) и Абрамовича (1960).

Упомянем еще одну разновидность свободной турбулентности — вертикальные турбулентные струи термического

происхождения, возникающие благодаря действию архимедовых сил над нагретыми телами. Предположения об автомодельности таких струй впервые были рассмотрены Зельдовичем (1937). Если, как и выше, принять направление течения в струе (т. е. вертикальное направление) за ось то эти предположения заключаются в том, что в каждом сечении струи можно ввести такие масштабы длины скорости и температуры что безразмерные осредненные характеристики гидродинамических полей, получаемые при использовании этих масштабов, будут одинаковыми во всех сечениях. В частности, будут иметь место формулы (5.105) и аналогичные формулы для распределения в струе средней температуры и радиального турбулентного потока тепла

(где — радиальная компонента пульсационной скорости в цилиндрической системе координат с осью Подставляя формулы (5.105) и (5.113) в. уравнения Рейнольдса, получаемые при помощи осреднения системы уравнений свободной конвекции (приведенной в и пренебрегая в этих уравнениях членами, содержащими молекулярную вязкость и молекулярную температуропроводность (но не членом, описывающим архимедову получим, аналогично выводу (5.109), что

Подобное же рассуждение может быть применено и к двумерной конвективной струе, возникающей над нагретым цилиндром, расположенным в горизонтальной плоскости вдоль оси Здесь мы получим

(эти формулы также были получены Зельдовичем).

Заметим еще, что большая часть результатов, собранных в таблицу на стр. 312, так же как и формулы (5.114) и (5.115), легко могут быть получены и из одних только соображений раз мерности. В самом деле, в случае, например, трехмерной струч все осредненные характеристики на большом расстоянии х от точки истечения струи, очевидно, могут зависеть, кроме расстояния еще только от плотности и от суммарного им» пульса массы жидкости, вытекающей из отверстия за единицу времени. Отсюда следует, что

(в полном соответствии с формулами (5.109)). В случае плоской струи, вместо величины надо лишь рассмотреть импульс массы жидкости, вытекающей за единицу времени через единицу длины щели и Следовательно, здесь

(в соответствии со вторым столбцом нашей таблицы). Еще проще применяются соображения размерности к случаю плоской зоны смешения: здесь условия в сечении могут зависеть только от х и от фиксированной разности скоростей так что, например,

В случае свободных конвективных струй все осредненные характеристики могут зависеть от полного потока тепла вдоль струи (или потока тепла на единицу длины нагретого цилиндра и параметра плавучести (в случае идеального газа равного При этом величины естественно, могут входить только в комбинациях и Отсюда вытекает, что

для трехмерной конвективной струи и

для плоской конвективной струи. Эти результаты, очевидно, соответствуют формулам (5.114) и (5.115).

Только в случае следов за обтекаемыми телами дело обстоит немного сложнее, так как здесь, кроме действующей на тело суммарной силы сопротивления (или приходящейся на единицу длины обтекаемого цилиндра

силы сопротивления определяющей «дефект импульса в следе», в условия задачи входит еще одна размерная величина, а именно — невозмущенная скорость Поэтому здесь формулы типа (5.116) — (5.118) не могут быть уже выведены на основе одних только соображений размерности. Однако с помощью немного более специальных рассуждений и их можно получить, не привлекая точных уравнений гидромеханики. В самом деле, воспользуемся тем, что тангенс угла наклона линии тока осредненного течения в следе к оси равен Отсюда можно заключить, что если и — это характерная ширина следа, — характерное значение скоростей то

Но из постоянства величины в случае трехмерного следа и величины — в случае плоского следа вытекает, что в первом случае и во втором. Эти результаты вместе с соотношением (5.121) показывают, что т. е.

в случае трехмернсго следа и т. е.

в случае плоского следа.

Разумеется, результаты, относящиеся к свободным конвективным струям, не надо путать с аналогичными результатами, относящимися к вынужденной конвекции — переносу пассивной примеси О (которой может быть также и теплота) свободными турбулентными потоками динамического происхождения. В этом случае исходная система уравнений будет состоять из обычных уравнений гидромеханики (без члена, описывающего архимедову

силу) и уравнения диффузии (или теплопроводности) (1.72). Масштабы длины и скорости здесь, естественно, будут теми же, что и для соответствующей чисто динамической задачи (т. е. будут даваться формулами (5.110) со значениями показателей, указанными в таблице), но, кроме того, появится еще масштаб концентрации (температуры) . Этот новый масштаб можно определить с помощью дополнительного уравнения Рейнольдса, получаемого при осреднении уравнения (1.72) с Проще, однако, исходить из постоянства массы примеси, переносимой через любое сечение сразу показывающего, что в случае трехмерных течений и в случае плоских течений. Подробнее о переносе примесей свободными турбулентными течениями мы еще будем говорить в гл. 5 в связи с изучением турбулентной диффузии. Здесь же мы только отметим, что, зная для свободных турбулентных течений распределения средней скорости и средней температуры О и значения моментов можно определить также значения соответствующих коэффициентов турбулентного обмена и найти их отношение Измерения, позволяющие осуществить это, много раз проделывались разными авторами в течениях разного типа (см., в частности, работы, указанные на стр. 312); обзор полученных при этом результатов можно найти, например, в книгах Хинце (1959) и Абрамовича (1960). В целом все относящиеся сюда результаты сравнительно неплохо согласуются друг с другом и показывают, что в первом приближении коэффициенты обмена допустимо считать принимающими постоянные значения в каждом поперечном сечении струи или следа, и что отношение для свободной турбулентности больше единицы (и именно, для следа за цилиндром и для плоской струи и для осесимметричной струи).

Подчеркнем в заключение, что все свободные турбулентные течения имеют общую очень важную особенность — область пространства, занятая завихренным турбулентным течением, здесь в каждый момент времени имеет четкую, но очень неправильную по форме границу (строго говоря, представляющую собой не поверхность, а очень тонкую зону), вне которой движение является потенциальным. Как уже объяснялось в жидкость может втекать извне в область завихренного движения, но не может вытекать из него наружу. Проникать же в область потенциального движения могут только крупномасштабные турбулентные пульсации скорости, затухающие на расстояниях порядка поперечных масштабов области

завихренного движения. Эти пульсации и создают нерегулярные искривления границы.

В качестве иллюстрации к сказанному мы приводим на рис. 45 великолепную теневую фотографию турбулентного следа за пролетевшей в воздухе пулей, заимствованную из статьи Корсина и Кистлёра (1954).

Таким образом, всякое свободное турбулентное течение имеет, по выражению Таунсенда (1956), «двойную структуру»: оно состоит из интенсивной мелкомасштабной турбулентности и сравнительно мало интенсивных крупномасштабных вихрей, создающих нерегулярные искривления и движения границы турбулентной области.

Рис. 45. Теневая фотография турбулентного следа за пролетевшей пулей.

Благодаря этим движениям границы в любой точке свободного турбулентного течения, не слишком далекой от его оси (или, в случае двумерных течений, от плоскости симметрии), мелкомасштабная турбулентность будет временами присутствовать, а временами отсутствовать, т. е. турбулентность будет перемежающейся. На стр. 268, 269 мы уже указывали на перемежаемость турбулентности во внешних частях турбулентного пограничного слоя. В свободных турбулентных течениях зона перемежающейся турбулентности оказывается, однако, значительно более широкой, чем в пограничных слоях: если в пограничных слоях перемежаемость практически наблюдается в пределах расстояний от стенки от 0,46 до 1,26, то, например, в плоском турбулентном следе, согласно Корсину и Кистлеру (1954), она имеет место в зоне от поперечная координата) по меньшей мере до Кроме

свободной турбулентности и внешней части турбулентного пограничного слоя (во многом схожей со свободными турбулентными течениями) перемежаемость турбулентности и четкие подвижные границы между турбулентной и нетурбулентной частями потока наблюдаются, как мы знаем, и в случае течений в трубах и пограничных слоях при не слишком малых, но и не слишком больших числах Рейнольдса, способствующих возникновению турбулентных «пробок» и «пятен» (см. выше. п. 2.1), а также и в некоторых других случаях (см., например, обзор Коулса (1962)). Можно думать, что подобные явления вообще счень характерны для широкого круга турбулентных движений и играют большую роль в возникновении и развитии турбулентности. Однако теоретическое их объяснение пока с наталкивается на значительные трудности (ср. Коулс (1962), Липманн (1962)).