6.7. Распределение взвешенных частиц в турбулентном потоке

Рассмотрим теперь задачу о движении взвешенных частиц в турбулентном потоке несжимаемой жидкости. Теория этого явления была развита в работах Баренблатта (1953, 1955) (см. также Колмогоров (1954)). Основным предположением указанной теории является допущение о малости размеров взвешенных частиц (по сравнению с характерным масштабом турбулентности), позволяющее считать, что они образуют как бы непрерывно распределенную в Основной жидкости примесь. Полную плотность смеси можно записать в виде

где плотности среды (т. е. жидкости) и частиц, относительный объем частиц (в работах по теории движения наносов величину называют «мутностью»). При этом являются постоянными, а «мутность» в результате турбулентного перемешивания флюктуирует, так что

Скорость движения смеси в данной точке (т. е. скорость движения центра тяжести бесконечно малого объема смеси, окружающего данную точку) будет определяться как среднее взвешенное по массе из скорости движения основной жидкости и скорости движения примеси

Уравнения движения для смеси можно записать в виде

где полное гидродинамическое давление в данной точке смеси, — сумма вязкого тензора напряжений в основной жидкости (в присутствии примеси) и тензора напряжений, возникающих от взаимодействий взвешенных частиц. Из массовых сил мы учитываем лишь силу тяжести, направленную по направлению оси в сторону убывания координаты

Уравнения сохранения массы для основной жидкости и для примеси имеют вид

Складывая эти уравнения, получаем уравнение сохранения массы для смеси

С другой стороны, поделив указанные уравнения соответственно на и затем складывая, получим уравнение неразрывности для смеси

Учитывая малость частиц и приняв дополнительное предположение о малости индивидуальных ускорений в турбулентном потоке по сравнению с ускорением силы тяжести можно считать, что горизонтальные компоненты скорости основной жидкости и примеси совпадают, а вертикальные

отличаются на некоторую величину а — скорость гравитационного оседания частиц. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая малой «мутности», т. е. будем считать, что При этом величину а можно считать не зависящей от т. е. постоянной (равной скорости гравитационного оседания одиночной частицы в неограниченной жидкости). Таким образом, имеем

Уравнения движения (6.75) принимают вид

а уравнение неразрывности (6.77) запишется в виде

В дальнейшем нам понадобятся лишь уравнения (6.73), (6.76), (6.79) и (6.80). Рассмотрим с их помощью задачу о распределении взвешенных частиц в стационарном потоке жидкости, занимающем полупространство, ограниченное снизу плоскостью и однородном в среднем вдоль осей При этом можно считать, что все осредненные характеристики зависят лишь от координаты и что

Обозначая и осредняя уравнение неразрывности (6.76), получим или Поскольку при стационарном режиме вертикальный перенос массы в среднем отсутствует, мы должны положить Вспоминая формулу (6.73), мы можем переписать последнее соотношение в виде

где Из самого существования стационарного распределения взвешенных частиц следует, что корреляция между должна быть положительной, так как при стационарном режиме регулярное гравитационное оседание частиц должно быть сбалансировано их турбулентным переносом вверх, а турбулентный поток массы равен Следовательно, т. е. осреднеиное движение смеси имеет компоненту, направленную вниз (напомним, что скорость движения смеси определялась как среднее взвешенное из скоростей основной жидкости и частиц по массе, а не по объему).

Осредняя уравнение (6.80), получим

откуда после интегрирования по z найдем

Постоянное слагаемое в этой формуле можно считать равным нулю, так как при больших z величины и, следовательно, стремятся к нулю.

Поэтому, сравнивая последнюю формулу с (6.81), имеем

Если воспользоваться полуэмпирической формулой типа (6.25)

то последнее соотношение примет вид

В качестве осредненного уравнения движения смеси используем уравнение Рейнольдса в проекции на ось которое для не слишком больших z можно принять имеющим вид

Исключая из (6.84) — (6.85) величину К, получим

где - безразмерный параметр. Интегрируя последнее уравнение, найдем

где значение на некоторой условной «высоте шероховатости» на которой и обращается в нуль.

Приняв для правой части уравнения движения (6.79) приближенное значение — мы убеждаемся, что это, уравнение вместе с уравнением баланса массы (6.76) совпадает с соответствующими уравнениями для сжимаемой жидкости. Поэтому уравнение баланса турбулентной энергии имеет такой же вид, как в сжимаемой жидкости. Пренебрегая эффектом диффузии энергии турбулентных пульсаций и другими малыми слагаемыми, запишем указанное уравнение в виде

причем а величина имеет смысл работы взвешивания частиц турбулентным потоком в едиинце объема смеси. Для этой величины с помощью формул (6.73) и (6.82) получаем

Последнее выражение впервые было получено Великановым (1946). Выражая с помощью формулы (6.83), получим

С помощью этой формулы уравнение (6.87) может быть приведено к виду

где

— безразмерное число, аналогичное числу Ричардсона. Исключая из (6.89) градиент скорости с помощью уравнения (6.85) и соотношения получим

При отсутствии взвешенных частиц Формула (6.90) показывает, что наличие в потоке взвешенных частиц приводит к уменьшению пульсационной энергии, т. е. влияет на динамику потока. Этот результат подтверждается прямыми экспериментами. Таким образом, расчет движения наносов в предположении, что взвешенные частицы не оказывают влияния на динамику потока (так называемая диффузионная теория), возможен лишь при достаточно малых

Распределение скорости в потоке, несущем взвешенные частицы, может быть найдено с помощью уравнений (6.84), (6.85) и (6.90). Имеиио, если ввести безразмерные величины, полагая

где дуг то указанные уравнения примут вид

Основной интерес представляет функция описывающая вертикальное распределение взвешенных частиц. Исключая из (6.92) функции для величины получим уравнение

Баренблатт исследовал решение этого уравнения в общем виде, не задаваясь конкретной формой функции Т, а лишь допуская, что она удовлетворяет очевидному условию и является невозрастающей функцией от числа Ричардсона (поскольку масштаб турбулентности I вследствие наличия взвеси должен уменьшаться). Результаты анализа показывают, что при характер решения оказывается существенно различным. При (малая скорость потока или крупные частицы) перенос частиц происходит в основном вблизи дна потока, причем в придонной области изложенная теория (основанная на допущении малости неприменима и должна быть заменена более точной теорией. придонной области так что распределение взвешенных частиц асимптотически приближается к распределению, получающемуся согласно диффузионной теории. При (большая скорость потока или же мелкие частицы) перенос частиц происходит в основной массе потока. Распределение частнц на больших высотах асимптотически приближается к некоторому предельному автомодельному распределению при котором обратно пропорционально а При этом существует некоторое предельное насыщение потока частицами, такое, что при еще большем насыщении изложенная теория становится неприменимой в придонной области.