2.7. Устойчивость слоя жидкости, подогреваемой снизу

При наличии в жидкости вертикального градиента температуры, направленного сверху вниз, архимедовы силы, очевидно, действуют на поток дестабилизирующим образом, аналогичным действию сил инерции при криволинейном движении жидкости, при котором скорость вращения жидкости убывает при удалении от центра кривизны. Наоборот, градиент температуры, направленный снизу вверх, действует на течение стабилизирующим образом, т. е. так же, как действует при криволинейном движении возрастание скорости при удалении от центра кривизны. Поэтому неудивительно, что задача об устойчивости тонкого слоя жидкости между двумя бесконечными плоскостями, имеющими разные температуры, оказывается математически весьма близкой к задаче об устойчивости течения несжимаемой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами. При решении указанной задачи, очевидно, надо исходить из системы

уравнений свободной конвекции, рассмотренной в конце п. 1.5. Если принять, что жидкость ограничена плоскостями поддерживаемыми при постоянных температурах то к этим уравнениям надо еще добавить граничные условия при при в случае же свободной поверхности жидкости постоянной температуры граничное условие для поля скорости изменяется так, чтобы оно обеспечивало постоянство давления на этой поверхности. Стационарным состоянием, устойчивость которого нас интересует, здесь будет состояние покоя, при котором

Полагая и линеаризуя уравнения свободной конвекции относительно возмущений мы придем к системе пяти уравнений с пятью неизвестными, из которой нетрудно исключить все переменные, кроме Т. Если теперь перейти к безразмерным переменным и затем, следуя (2.8) и (2.9), искать в виде произведения

то можно прийти к следующей задаче на собственные значения:

с граничными условиями на твердых поверхностях фиксированной температуры

и на свободных поверхностях фиксированной температуры.

(см., например, Чандрасекар (1961), Дж. Стюарт (1963), Линь (1955)). Близкие граничные условия получаются также для случаев, когда на поверхностях фиксируется не температура, а поток тепла или связь между потоком тепла и. температурой (ср., например, Спэрроу, Голдстайн и Джонсон (1964)). Во всех случаях мы приходим к задаче, которая при фиксированном числе Прандтля содержит всего два параметра: волновое число и число Рэлея Следовательно, любым заданным значениям здесь будет отвечать свой набор собственных чисел Оказывается, что при отрицательных или малых положительных значениях (т. е. в случае, когда нижняя плоскость имеет более низкую температуру, или же когда нижняя плоскость подогрета относительно верхней, но не слишком сильно) все числа при всех значениях будут иметь отрицательную мнимую часть; начиная же с некоторого «критического значения» (т. е. с некоторой критической разности температур зависящей также и от расстояния Н между плоскостями) появляется значение при котором одно из собственных значений имеет нулевую мнимую часть. При этом, так же как и в задаче об устойчивости, движения жидкости между вращающимися цилиндрами, здесь выполняется принцип смены устойчивости, т. е. первое собственное значение оказывается нулевым (строго математически этот факт был доказан Пэлью и Саусвеллом Поэтому потеря устойчивости состояния покоя при достижении критической разности температур приводит к возникновению, стационарного конвективного движения, периодического по

Качественно все основные черты процесса потери устойчивости в подогреваемой снизу жидкости были выяснены еще Рэлеем (19166), разобравшим математически заметно более простую (но нереальную физически) задачу о конвекции в слое жидкости между двумя свободными поверхностями фиксированной температуры. Математически эта задача сводится к исследованию дифференциального уравнения (2.20) при краевых. условиях при Для определения значений (Каст и достаточно рассмотреть уравнение (2.20) с , т. е. уравнение

Решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям все имеют вид Поэтому при достаточно больших значениях мы будем иметь ряд различных нейтральных возмущений волновые

числа которых будут удовлетворять соотношению

где целое число. Минимальное число Рэлея при каждом заданном будет отвечать возмущению ; следовательно, здесь определяются из условия Отсюда получаем:

Для реального случая конвекции в слое между твердыми поверхностями фиксированной температуры аналогичный расчет в связи с большей сложностью граничных условий требует уже применения численных методов. Такой расчет был выполнен Джефрисом (1926) и Пэлью и Саусвеллом (1940) (см. также Линь (1955) и Чандрасекар он показал, что в этом случае Заметим еще, что значение определяет лишь периодичность возникающего течения в плоскости но не его форму; в самом деле, нетрудно видеть, что функцию в формуле (2.19) можно без изменения всех последующих выводов заменить произвольной функцией удовлетворяющей уравнению

Явный вид функции определяет форму ячеек, на которые распадается конвективное движение, но он не может быть однозначно определен исходя из линейной теории возмущений. Однако данные многочисленных экспериментов (описанных, например, в книге Чандрасекара (1961); см. также Дж. Стюарт (1963) и цитированную там литературу) определенно показывают, что возникающее течение обычно распадается на совокупность ячеек (так называемые ячейки Бенара) в виде шестигранных призм, в середине которых жидкость движется вверх, а по краям вниз или наоборот. Таким ячейкам соответствует вполне определенная форма функции которая была указана Кристоферсоном (1940). Сопоставление отвечающих этой функции значений скорости с данными наблюдений ячеек Бенара можно найти в книге Чандрасекара (1961) и в статье Дж. Стюарта (1964) (использовавшего также результаты нелинейной теории конвекции, о которой будет речь в ; оно приводит к хорошему согласию теории и эксперимента.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда верхняя поверхность жидкости является свободной поверхностью фиксированной температуры; в этом случае только граничное условие (2.20) при Должно быть заменено на В результате

мы приходим к новой задаче на собственные значения, для которой численный расчет показывает, что здесь потеря устойчивости происходит при (Пэлью и Саусвелл (1940), Чандрасекар (1961)). Это значение так же как и значение для конвекции между твердыми поверхностями, прекрасно подтверждается на опыте (см., например, Чандрасекар (1961), Саттон (1950)). Значения отвечающие некоторым другим граничным условиям для температуры, можно найти в статье Спэрроу, Голдстайна и Джонсона (1964).

При дальнейшем повышении (т. е. при увеличении после достижения значения стационарная «ячеистая» конвекция сперва сохраняет свой характер, а затем и она становится неустойчивой и при возникает неупорядоченное турбулентное движение. Любопытно, что переход к турбулентному режиму здесь, по-видимому, происходит постепенно — в виде ряда дискретных «скачков», в результате каждого из которых устанавливается новый режим конвекции, менее упорядоченный, чем предыдущий (см. Малкус (1954а)).