6.6. Турбулентность в планетарном пограничном слое атмосферы

В этом и следующем пунктах мы приведем два примера использования полуэмпирического уравнения баланса турбулентной энергии в конкретных задачах, иллюстрирующие подход к изучению турбулентных течений, типичный для полуэмпирических теорий турбулентности.

В качестве первого примера рассмотрим задачу о пограничном слое, образующемся в атмосфере около Земли вследствие того, что при движении воздуха относительно подстилающей поверхности возникают силы трения. Слой, в котором непосредственно проявляются эти силы, называется Планетарным пограничным слоем или, иначе, слоем трения. Будем рассматривать

лишь пограничный слой над плоской однородной подстилающей поверхностью (которую мы примем за плоскость при стационарных внешних условиях и предположении, что термическую стратификацию можно считать безразличной. Кроме того, воспользуемся тем, что в пределах планетарного пограничного слоя допустимо полагать поэтому сжимаемость воздуха для данной задачи оказывается несущественной. Так как все статистические характеристики турбулентности в планетарном пограничном слое зависят только от то здесь можно использовать форму (6.42) уравнения баланса турбулентной энергии. В этом уравнении в рассматриваемом случае можно пренебречь слагаемым слева (в силу стационарности) и слагаемым в правой части (так как стратификацию мы считаем безразличной); кроме того, мы, как обычно, пренебрежем и членом описывающим малосущественный эффект переноса турбулентной энергии под действием сил давления. В результате получается уравнение

которое после использования полуэмпирических гипотез (6.22), (6.26) и и деления всех членов на принимает вид

Это уравнение следует рассматривать совместно с уравнениями Рейнольдса (6.5), которые в данном случае можно записать в виде

(при этом мы пренебрегли вертикальным потоком импульса, связанным с действием молекулярной Визкости, по сравнению с турбулентным потоком импульса Внешние силы X,, действующие в пограничном слое атмосферы, это, во-первых, направленная вертикально вниз сила тяжести и, во-вторых, перпендикулярная вектору скорости и (т. е. не производящая работы) сила Кориолиса где вектор угловой скорости вращения Земли. Выберем теперь оси так, чтобы ось была параллельна приземному ветру. В таком случае величины будут равны соответствующим компонентам ускорения Кориолиса, т. е. где — вертикальная компонента вектора Воспользовавшись для вычисления величины полуэмпирической формулой (6.22) и поделив уравнения Рейнольдса на мы сможем записать первые два этих уравнений (которые нам только и будут нужны) в виде

Горизонтальный градиент давления в рассматриваемой задаче является заданной величиной, которую мы будем считать не зависящей от

координат (независимость градиента давления от является обычным допущением теории пограничного слоя). Все слои трения первыми слагаемыми в уравнениях (6.59) (которые описывают силу трения) можно пренебречь, и движение будет определятьси так называемыми формулами геострофического ветра:

где скорость геострофического ветра, угол между вектором с компонентами и приземным ветром (угол полного поворота ветра в слое трения), подлежащий определению.

Уравнения (6.57) и (6.59) позволяют определить распределение ветра и коэффициента турбулентной вязкости в планетарном пограничном слое атмосферы, если задать каким-либо образом функцию т. е. указать зависимость масштаба турбулентности от высоты. Такая задача рассматривалась Моннным (1950а) и Блэкедаром (1962). Начнем с того, что оценим изменение с высотой в приземном слое атмосферы х-компоненты турбулентного напряжения трения Интегрируя по высоте первое уравнение (6.59), получим

Здесь мы воспользовались тем, что отбрасывание члена приводит к усилению неравенства, так как сила Кориолиса частично компенсирует действие градиента давления. Выберем На так, чтобы относительное изменение и в слое толщины Но не превосходило допуска а, т. е. чтобы выпонялось неравенство Для этого, очевидно, достаточно потребовать, чтобы выполнялось следующее неравенство:

Согласно опытным данным, имеет величину порядка 0,05. Кроме того, в умеренных широтах так что при получается При допуске получаем оценку толщины приземного слоя . В пределах этого слоя можно пренебрегать действием силы Кориолиса (а значит, и обусловленным этой силой вращением ветра с высотой) и считать и, постоянным, т. е. здесь можно пользоваться обычной теорией логарифмического пограничного слоя. Следовательно, в этом слое где постоянный коэффициент, который можно оценить, например, по данным рис. 26, и, наконец, в

силу уравнения (6.57)

Вернемся теперь к уравнениям (6.59). Продифференцировав эти уравнения по можно записать полученный результат в виде одного равенства

где — комплексная величина, характеризующая обе компоненты напряжения трения (поделенного на плотность В приземном слое очевидно, принимает значение Далее, с помощью величины уравнение баланса турбулентной энергии (6.57) можно представить в виде

Кроме параметра и, определяющего режим движейня в приземном слое, уравнения (6.63) — (6.64) содержат еще параметр Кориолнса Из этих двух параметров уже можно составить масштаб длины, в качестве которого мы примем

(постоянная Кармана и здесь добавлена для удобства).

Пользуясь соображениями размерности, теперь можно положить

причем безразмерные функции подлежащие дальнейшему определению, при должны все равняться единице. Для определения вается, так что При этом допущения уравнения (6.63) — (6.64) так что, вообще говоря, необходимо задать еще одно дополнительное уравнение, определяющее зависимость от высоты масштаба турбулентности В связи с отсутствием надежных данных об этой зависимости в работе Монина (1950а) для простоты допускалось, что наличие продольного градиента давления и силы Корнолиса на масштабе турбулентности вообще не сказывается, так что При этом допущении уравнения после подстановки в них формул (6.66) принимают вид

где число порядка единицы. Входящие в эти уравнения функции по своему физическому смыслу должны стремиться к нулю при

Можно показать, что затухающие решения системы (6.67) таковы, что функция затухает экспоненциально, а функция -степенным образом, а именно — как Следовательно, коэффициент турбулентной вязкости здесь асимптдтическн пропорционален При

коэффициент турбулентности неограниченно возрастает с высотой, а при достигает на некоторой высоте максимума, после чего стремится к нулю. Таким образом, учет правой части второго уравнения (6.67) (т. е. учет вертикального переноса турбулентной энергии, создаваемого «турбулентной вязкостью») оказывается в рассматриваемой теории существенным для определения поведения коэффициента турбулентной вязкости на больших высотах.

При уравнения (6.67) не имеют решений, затухающих при однако имеется решение, стремящееся к нулю (по степенному закону) при приближающемся к некоторому конечному значению. Другими словами, турбулентный пограничный слой имеет в этом случае конечную толщину. Уравнения (6.67) были проинтегрированы Мониным численно при значениях В случае толщина турбулентного слоя оказалась близкой к т. е. практически весьма большой. Максимум в этом случае достигается на высоте При функции для и для оказались весьма близкими друг к другу.

Когда функция уже определена, вектор скорости ветра на различных высотах может быть найден уравнений (6.59), которые удобно записать для этой цели в виде

При этом параметры и а заранее неизвестны (напомним, что и» входнт также в формулу для масштаба Н). Для их определения воспользуемся тем, что скорость ветра обращается в нуль на некоторой высоте («высота шероховатости»), которую можно считать заданной. Приравнивая выражение (6.68) при нулю, получим соотношение

где известная величина. Функцию можно считать известной, так как функция уже определена. Следовательно,

Кроме того, поскольку то где функция, обратная к функции Последнее соотношение можно переписать в внде

чем и завершается определейне неизвестных параметров.

Заметим еще, что при аппроксимации распределения ветра во всем слое трения с помощью формулы (6.68) для «шероховатости» следует принимать существенно большие Значения, чем при аппроксимации профиля ветра в приземном слое воздуха. Это естественно, так как при увеличении вертикальных масштабов рассматриваемого явления необходимо увеличивать и горизонтальные масштабы и, следовательно, вводить «шероховатость», характерную для подстилающей поверхности на больших площадях.

Приведем еще один вывод из рассмотренной теории, полученный в более поздней работе Казанского и Монина (1961)) и касающийся определения

зависимости отношения от «внешнего параметра» Знание зависимости позволяет по измеренной скорости и известной шероховатости подстилающей поверхности определить также и турбулентное напряжение трения у поверхности Земли, которое является одной из важнейших характеристик турбулентности в приземном слое воздуха. Как было указано выше, зависимость можно определить из соотношения (6.69); при этом можно воспользоваться малостью аргумента так что достаточно определить вид функции при очень малых Но при малых коэффициент турбулентной вязкости К приблизительно равен так что в первом уравнении (6.67) можно заменить множитель Ф единицей. Тогда решение этого уравнения, удовлетворяющее очевидному краевому условию при малых будет иметь вид где а — постоянная интегрирования. Отсюда получаем

где высота, на которой еще можно полагать При этом соотношение вытекающее из (6.69), можно переписать в виде

где комплексная постоянная. Полагая от сюда получаем

Постоянная находится при решении полных уравнений (6.67) во всем пограничном слое. При для нее получается значение при получается Сравнение расчетов по формуле (6.72) с экспериментальными данными Леттау (1959) показало, что вычисленные при значения оказываются явно завышенными, но при они уже оказываются в качественном согласии с экспериментом (см. рис. 46), причем можно ожидать, что при некотором увеличении значения 6 это согласие еще улучшится.

Близкие результаты были получены также Блэкедаром (1962), рассмотревшим ту же задачу, но пренебрегшим вертикальной диффузией турбулентной энергии (т. е. предположившим, что Зато в отличие от Монина, этот автор в соответствии с довольно грубыми эмпирическими данными Леттау (1950) принял, что масштаб I возрастает линейно с высотой лишь в самом нижнем слое атмосферы, а затем скорость его возрастания убывает, и асимптотически при он стремится к некоторому постоянному значению Исходя отсюда, функция была выбрана в виде

Что же касается величины к, имеющей размерность длины, то Блэкедар предположил, что но одновременно указал, что с тем же

основанием можно было бы положить считать, что (предположение очевидно приводит к значительно более сложному виду функции Числовой параметр был подобран так, чтобы получаемое значение угла поворота ветра совпало с данными наблюдений, проводившихся в Брукхевене (недалеко от Нью-Йорка). Оказалось, что этому условию удовлетворяет значение

Рис. 46. Зависимость от по эмпирическим данным и по теориям Казанского и Монина (1961) и Блэкедара (1962).

Как мы уже видели, задание закона изменения с высотой позволяет получить из уравнений Рейнольдса (6.59) и уравнения баланса турбулентной энергии (6.57) замкнутую систему трех уравнений относительно трех неизвестных функций (то, что две из этих функций были объединены выше в одну комплексную функцию разумеется, не играет никакой роли). Соответствующие уравнения были записаны в работе Блэкедара в несколько другой безразмерной форме, чем в работе Монина, и решались числеиио. Полученные результаты также оказались неплохо соответствующими эмпирическим данным о зависимости ветра от высоты и о связи отношения параметром (см. рис. 46).