10.2. Взаимодействие между молекулярной и турбулентной диффузией

Распространение примесей в турбулентной среде в результате их переноса движущимися жидкими частицами (т. е. турбулентная диффузия) обычно происходит много быстрее, чем

их распространение, создаваемое молекулярным движением (т. е. молекулярная диффузия). Так, например, в приземном слое атмосферы условный «коэффициент турбулентной диффузии» для пассивных примесей (т. е. отношение турбулентного потока примеси к градиенту концентрации) обычно имеет значения порядка Иначе говоря, он оказывается в раз больше коэффициента молекулярной диффузии X, который для большинства газов имеет порядок В результате турбулентной диффузии дым от папиросы в концентрациях, достаточных для воздействия на человеческое обоняние, распространяется по комнате за несколько секунд, в то время как действие одной лишь молекулярной диффузии привело бы к такому результату лишь через несколько суток. Однако означает ли все это, что при описании турбулентной диффузии можно полностью пренебречь молекулярной диффузией?

Перенос примеси движущимися жидкими частицами, очевидно, приводит к тому, что объем, первоначально занятый примесью, по каким-то направлениям растягивается, а по другим сжимается, искривляясь при этом самым запутанным образом (подробнее об этом процессе мы будем говорить в гл. книги). Однако суммарный объем примеси при такой деформации, разумеется, не меняется. В результате в каждой реализации турбулентного течения, удельная концентрация в каждой точке в любой момент времени будет равной либо удельному весу примеси ролибо 0, в зависимости от того, содержала ли соответствующая «жидкая частица» в начальный момент примесь или не содержала (ср. схематический рис. 80, заимствованный из обзорной статьи Корсина (1959а)). Таким образом, турбулентная диффузия приводит к образованию в жидкости очень искривленных и запутанных слоев с резко различающимися значениями концентрации примеси. Выравнивание концентрации в соседних слоях, сопровождающееся возрастанием объема, занятого примесью, и сглаживанием поля концентрации, в результате которого значения функции уже, как правило, оказываются промежуточными между и 0, происходит только вследствие молекулярной диффузии и тем медленнее, чем меньше коэффициент Отсюда ясно, что при описании мелкомасштабной статистической структуры поля пренебречь молекулярной диффузией невозможно — иначе при большом мы получим совершенно противоестественное распределение концентрации типа, изображенного в правой части рис. 80. Однако вопрос о том, нельзя ли пренебречь молекулярной диффузией по сравнению с турбулентной при нахождении средней концентрации как

это было сделано в предыдущем пункте при выводе формулы (10.5), более сложен. Этим вопросом мы теперь и займемся.

При выяснении относительной роли молекулярной и турбулентной диффузии в формировании поля осредненной концентрации мы ограничимся для простоты рассмотрением задачи о диффузии примеси от мгновенного точечного источника единичной производительности в поле однородной турбулентности с нулевой средней скоростью. Будем считать, что этот источник помещен в момент в точку

Рис. 80. а) Изменение формы объема, занятого примесью, в результате турбулентной диффузии, б) Схематический вид распределения концентрации примеси вдоль прямой, пересекающей этот объем.

Иначе говоря, мы будем рассматривать поле концентрации соответствующее решению уравнения (10.1) при начальном условии Исследуем диффузию примеси по какому-то одному фиксированному направлению, скажем, по направлению оси В качестве характеристики роли молекулярной диффузии мы используем относительный вклад этой диффузии в дисперсию распределения средней концентрации При этом существенно различать, во-первых, дисперсию распределения средней концентрации относительно местоположения источника

и, во-вторых, дисперсию (также относительно местоположения источника ) центра тяжести

распределения концентрации величину

Помимо того интерес представляет и дисперсия распределения концентрации относительно своего центра тяжести

Однако, воспользовавшись условием нормировки , выражающим закон сохранения количества примеси как говорят, ее консервативность), нетрудно проверить, что

так что нам достаточно подсчитать только две величины

Далее нам будет удобно перейти от неподвижной системы координат X к подвижной неинерциальной системе координат ( начало отсчета которой в каждый момент времени совпадает с точкой, в которой в этот момент находится жидкая частица, находившаяся в момент в точке Для поля концентрации в этой новой системе отсчета мы примем обозначение

В таком случае ясно, что С другой стороны,

где - лагранжева скорость «жидкой частицы», находившейся в момент в точке Следовательно, уравнение (10.1) в рассматриваемой подвижной системе координат принимает вид

где оператор Лапласа по переменным а скорость начала отсчета этой подвижной системы относительно исходной неподвижной системы координат. Поле также удовлетворяет условию нормировки

которым мы будем пользоваться, не оговаривая этого. Далее, равенства (10.19) и (10.20) после перехода к новой системе координат принимают вид

и соответственно

Мы ограничимся вычислением величин лишь при малых значениях Будем считать, что все моменты

(где — неотрицательные целые числа) могут быть представлены в виде рядов по целым степеням В таком случае и дисперсии будут представимы в виде рядов по степеням причем для вычисления первых нескольких членов этих рядов надо знать лйшь несколько первых членов рядов для моментов входящих в формулы (10.26) и (10.27).

Для вычисления моментов (10.28) воспользуемся уравнением (10.25). При этом для нас будет существенно, что и следовательно, разность скоростей, стоящая в фигурных скобках в левой части (10.25), может быть представлена в виде

где все производные от берутся в точке т. е. являются функциями только от Подставим теперь разложение (10.29) в уравнение (10.25), а затем умножим все его члены на и проинтегрируем по всем значениям Учитывая, что мы после интегрирования по частям членов, содержащих пространственные производные от придем

к соотношению

где моменты, содержащие отрицательные степени считаются тождественно равными нулю.

Из видно, что момент нулевого порядка тождественно равен единице; поскольку все остальные моменты стремятся к нулю при Но в таком случае первый порядок малости по будут иметь только те моменты, для которых правая часть (10.30) содержит момент нулевого порядка. Нетрудно видеть, что этим свойством будут обладать лишь моменты причем их главные члены имеют вид

Однако, для того чтобы определить также и последующие члены этого разложения для момента которые нам понадобятся ниже, требуется выписать также и все моменты, имеющие при порядок

Ясно, что этим свойством будут обладать те моменты ненулевого порядка, отличные от для которых среди слагаемых в правой части формулы (10.30) встречаются моменты Нетрудно проверить, что таковыми являются лишь моменты при причем их главные члены имеют вид

где все производные от берутся в точке в момент

Поставим задачей вычислить величины с точностью до слагаемых порядка включительно. Поскольку

для этого надо знать момент с точностью до слагаемых порядка а момент с точностью до слагаемых порядка Таким образом, равенство (10.32) для достаточно для нашей цели, но разложение (10.31) для должно быть уточнено. Чтобы определить недостающие слагаемые, выпишем отдельно формулу (10.30) при

Учитывая в правой части этой формулы лишь слагаемые порядка малости не выше с помощью (10.32) получаем

Так как следовательно,

где все производные берутся в точке Далее нам понадобится только среднее значение момента Вспомним теперь, что мы условились считать турбулентность однородной, так что средние значения всех величин, зависящих лишь от одной пространственной точки сами от X

не зависят. В частности,

Таким образом, в случае однородной турбулентности

Выражение в фигурных скобках легко может быть преобразовано к виду

и мы окончательно получаем

Отметим еще, что согласно (10.22), (10.26), (10.27) и (10.32) величина с точностью до слагаемых порядка совпадает с поэтому и

В неподвижной жидкости молекулярная диффузия приводит к тому, что сосредоточенная в точке единичная масса примеси за время расплывается в облако, описываемое сферически симметричным распределением концентрации с дисперсией Из равенства (10.36) видно, что при настолько малом, что вторым членом в правой части этого равенства можно пренебречь по сравнению с первым, среднюю дисперсию распределения примеси относительно ее центра тяжести также можно принять равной Иначе говоря, можно считать (во всяком случае, в той мере, в какой это касается дисперсий), что на первом этапе турбулентной диффузии от точечного источника расплывание примеси под действием молекулярной диффузии накладывается на ее перенос соответствующей «жидкой частицей», но не взаимодействует с этим переносом. Однако при немного больших значениях положение изменяется, поскольку начинает сказываться и второе слагаемое в правой части В результате дисперсия начинает возрастать бцстрее, чем при молекулярной диффузии в неподвижной жидкости, причем добавочный

член здесь уже зависит и от коэффициента молекулярной диффузии жидкости и от среднего квадрата градиента скорости в турбулентном движении. Таким образом, возникает взаимодействие молекулярной диффузии с турбулентной, приводящее к «ускорению молекулярной диффузии», т. е. к более быстрому расширению объема, занятого примесью, и соответственно этому к более быстрому убыванию максимальной концентрации. Истинной причиной этого явления, очевидно, являются резкие деформации занятого примесью объема турбулентном потоке (типа изображенных на рис. 80), существенно увеличивающие роль Молекулярной диффузии. Поэтому неудивительно, что «ускорение молекулярной диффузии» начинает сказываться не сразу, а лишь через некоторое время — после того как обычная молекулярная диффузия превратит точечную массу примеси в облако, объем которого достаточен для того, чтобы деформироваться под влиянием неоднородностей поля мгновенной скорости

Эффект «ускорения молекулярной диффузии под действием турбулентности» был впервые отмечен Таунсендом (1951). В этой работе были даны предварительные оценки указанного эффекта и приведены результаты специальных экспериментов (по измерению постепенного падения максимальной температуры «тепловых пятен», создаваемых импульсным разрядом тока в турбулентном потоке), подтвердивших его существование (и даже показавших, что формулы типа (10.36) неплохо соблюдаются Для значительно больших значений чем можно было бы заранее предполагать). Дальнейшие более полные формулы для диффузии от мгновенного линейного источника (содержащие, впрочем, некоторые ошибки в значениях числовых коэффициентов; см. Сафмен (1960)) были получены Таунсендом (1954) и Бэтчелором и Таунсендом (1956). Заметим, наконец, что второе слагаемое в правой части формулы (10.35) очень напоминает формулу (9.58) для дисперсии продольной координаты «жидкой частицы» в однородном турбулентном потоке с постоянным градиентом средней скорости. Это сходство случайно: при малых вся примесь находится в малой окрестности источника, в которой поле скорости допустимо считать линейно зависящим от координат X (ограничившись первыми членами соответствующего ряда Тэйлора), и именно такому представлению поля скорости и соответствует формула (10.35).

До сих пор мы рассматривали только формулу для дисперсии распределения относительно своего центра тяжести. Если же мы перейдем к результатам, касающимся

дисперсии облака примеси относительно положения источника (совпадающего со средним центром тяжести и дисперсии самого центра тяжести, то найдем, что здесь взаимодействие молекулярной и турбулентной диффузии приводит к противоположному эффекту «замедления диффузии».

В самом деле, для подсчета величин согласно (10.26) и (10.27), надо лишь определить среднее значение . Пользуясь формулами (10.33) и (10.32) для и получаем

или, поскольку в однородной турбулентности —

Отсюда и из (10.26), (10.27), (10.35) и (10.32) следует, что

Эти формулы впервые были получены Сафменом (1960). Вторая из них показывает, что дисперсия центра тяжести распределения примеси при малых оказывается меньше дисперсии координаты жидкой частицы (определяемой при малых почти исключительно разбросом начальной скорости «жидкой частицы», т. е. близкой к Образно говоря, частица примеси вследствие молекулярной диффузии в среднем «отстает» от «жидкой частицы», с которой она вначале совпадала, т. е. «молекулярная диффузия замедляет турбулентную диффузию». Легко понять, о чем состоит механизм этого «замедления»: величина определяется дисперсией «средней скорости переноса жидкой частицы» а молекулярная диффузия приводит к тому, что при полем скорости переносится уже не точечная «жидкая частица», а целое облако примеси; поэтому скоростью переноса здесь является скорость осредненная по некоторому объему, которая, как правило, меньше мгновенной скорости в точке . В результате

того, что оказывается меньше, чем полная дисперсия оказывается все же меньше, чем сумма вкладов от турбулентной и от молекулярной диффузии по отдельности (без учета их взаимодействия).

«Замедление турбулентной диффузии под действием молекулярной диффузии» можно описать также с помощью введенной Сафменом (1962а) «корреляционной функции для примеси» определяемой как средний коэффициент корреляции между значениями скорости жидкости в точках, занятых примесью в моменты

где угловые скобки, как и выше, являются символом осреднения по значениям с весовой функцией Сафмен показал, что дисперсия может быть выражена через с помощью формулы

Которая аналогична формуле Тэйлора (9.31), имеющей вид

Кроме того, подобно тому как можно представить в виде

где решение «уравнения переноса» - при начальном условии так и очевидно, можно записать в виде

где решение уравнения диффузии при том же начальном условии Эффект «замедления турбулентной диффузии» в применении к функции выражается в том, что если предполагать неотрицательным при всех то следует ожидать, что

при всех Образно говоря, можно сказать, что вследствие молекулярной диффузии частица примеси скорее «забывает» свою начальную скорость, чем «жидкай частица» (причиной этого, разумеется, является дополнительное осреднение по У в Исходя отсюда, Хинце (1959) предложил чисто качественно считать, что где монотонно убывающая функция (зависящая от параметра такая, что Следуя предложению Бюргерса, он специально рассмотрел модель, в которой с — безразмерная постоянная, характерный масштаб турбулентности). Это предложение, однако, не имеет каких-либо теоретических оснований (кроме, может быть, частного случая турбулентности при очень малом числе Пекле ; ср. Сафмен (1962а)). При очень малых при которых решение уравнения диффузии можно искать в виде ряда по степеням 1 и ограничиться лишь слагаемыми порядка не выше ходя из (10.44), можно показать, что функция представима в виде

откуда сразу вытекает и равенство (10.38). Естественно ожидать, что с возрастанием (т. е. с возрастанием объема, занятого примесью) эффект «замедления турбулентной диффузии» усиливается, т. е. что отношение растет с ростом Предположив, что при это отношение приближается к некоторой постоянной А, Сафмен (1960, 1962а) получил асимптотическую формулу

верную при больших Сафмен приводит также некоторые соображения, согласно которым где число Рейнольдса турбулентности, составленное, например, из средней квадратичной пульсации скорости и так называемого тэйлоровского микромасштаба турбулентности Это предсказание оказалось в качественном согласии с данными экспериментов Майкельсена (1959), Измерившего распределение средней концентрации гелия и углекислого газа за точечным источником в турбулентном потоке за решеткой в аэродинамической трубе. Однако ни аккуратного

количественного подтверждения гипотетической асимптотической формулы Сафмена (10.45), ни хотя бы качественного подтверждения формулы (10.38), относящейся к малым значениям до сих пор получено не было.

Чтобы понять причину этого последнего обстоятельства, следует приближенно оценить относительную роль молекулярной и турбулентной диффузии и взаимодействия между ними в формировании поля осредненной концентрации Для этого надо сравнить порядок величины трех членов в правых частях формул (10.38) и (10.45). При очень малых следует пользоваться формулой (10.38), и в ее правой части наибольшим слагаемым является второе (порядка наименьшим — третье (порядка Однако с ростом вклад турбулентной диффузии растет быстрее, чем вклад молекулярной диффузии, и при значениях превышающих некоторое значение вклад турбулентной диффузии уже превосходит величину Считая, что мало по сравнению с лагранжевым масштабом времени определяющим характерное время изменения скорости «жидкой частицы», можно при оценке воспользоваться формулой в таком случае получаем, что . В большинстве реальных турбулентных потоков это значение ничтожно мало; например, в приземном слое воздуха так что при . При больших значениях когда величину можно оценивать с помощью асимптотической формулы (9.35), отношение вклада молекулярной диффузии к вкладу турбулентной диффузии имеет порядок Иначе это отношение еще можно оценить как имеющее порядок (так как можно показать, что обычно обе эти оценки показывают, что в реальных условиях рассматриваемое отношение всегда чрезвычайно мало.

Далее, при достаточно малых при которых вклад в дисперсию слагаемого, связанного с взаимодействием молекулярной и турбулентной диффузии, еще можно считать пропорциональным этот вклад будет много меньше вклада молекулярной диффузии, если Но в случае стационарной однородной турбулентности лагранжев микромасштаб времени. Таким образом, при

отношение вклада в дисперсию, вызываемого взаимодействием молекулярных и турбулентных движений, к вкладу молекулярной диффузии является малой величиной (порядка ). Наоборот, при с помощью асимптотической формулы (10.45) можно установить, что указанное отношение имеет порядок может и не быть малым. При этом, однако, отношение вклада, вносимого взаимодействием, к вкладу «чистой турбулентной диффузии» имеет порядок оно при больших очень мало.

Подводя итоги, можно сказать, что молекулярная диффузия вносит некоторые изменения в зависимость среднего диаметра облака диффундирующей примеси от времени (и поэтому еще более затрудняет использование функций для определения лагранжевой корреляционной функции скорости с помощью формул типа Однако относительное изменение самой величины вызываемое этой диффузией, при не слишком малом и достаточно большом числе Рейнольдса обычно пренебрежимо мало. Поэтому можно думать, что в реальных условиях при вычислении средней концентрации допустимо вовсе не принимать во внимание молекулярную диффузию. Так мы и будем поступать в последующих пунктах настоящего параграфа.