§ 6. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ТУРБУЛЕНТНОЙ ЭНЕРГИИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ

6.1. Уравнение для тензора напряжений Рейнольдса

Выше уже отмечалось, что из-за появления в уравнениях Рейнольдса для среднего движения дополнительных членов, содержащих напряжения Рейнольдса система этих уравнений оказывается незамкнутой. Естественно попытаться замкнуть ее, дополнив уравнения Рейнольдса новыми уравнениями, описывающими изменение во времени самих напряжений Эти уравнения для величин и будут выведены в настоящем пункте; мы увидим, что и они, в свою очередь, также содержат ряд дополнительных неизвестных и поэтому снова не образуют замкнутой системы. Тем не менее, сами уравнения для величин налагающие на статистические характеристики турбулентности новые динамические связи, представляют определенный интерес, так как позволяют сделать ряд качественных выводов о свойствах турбулентных течений. Особенно полезным оказывается уравнение баланса турбулентной энергии, описывающее изменение во времени плотности кинетической энергии пульсационного движения (или, короче, просто турбулентной энергии) подробному рассмотрению этого уравнения, все члены которого имеют ясный физический смысл, будет посвящен ряд последующих пунктов настоящего параграфа.

Для вывода уравнений, описывающих изменение во времени напряжений Рейнольдса, можно воспользоваться общим методом составления уравнений для моментов, предложенным

Келлером и Фридманом (1924) (см. также Келлер (1925)). А именно, пусть какие-то различных или совпадающих друг с другом гидродинамических полей турбулентного потока сжимаемой жидкости, а какие-то различных или совпадающих точек в области пространства, заполненной жидкостью. В таком случае производная по времени от момента порядка

в силу возможности перемены порядка операций осреднения и дифференцирования может быть представлена в виде

Теперь достаточно исключить все производные по времени в правой части последнего равенства с помощью соответствующих гидродинамических уравнений, и мы получим уравнение баланса для момента выражающее в виде комбинации моментов самих гидродинамических полей и их пространственных производных.

Указанный прием, разумеется, может быть применен и к неосредненным величинам; Так, например, подставляя уравнения Навье — Стокса (1.6) в равенство получим

где - тензор вязких напряжении в несжимаемой жидкости. Отсюда, в частности, для плотности кинетической энергии получается уравнение

где имеет смысл удельной (на единицу времени и единицу объема жидкости) диссипации кинетической энергии. Выражение в скобках в левой части последнего уравнения представляет собой плотность потока энергии, обусловленного как непосредственным переносом энергии при перемещении частиц жидкости, так и работой сил давления и молекулярных сил внутреннего трения. Правая же часть уравнения (6.4) показывает, что суммарная кинетическая энергия произвольного объема жидкости изменяется не только вследствие механического втекания или вытекания энергии через его границу и работы приложенных к границе сил давления и молекулярного трения, но также и вследствие работы объемных сил и вследствие диссипации, приводящей к переходу части кинетической энергии в теплоту.

Используя теперь вместо уравнений Навье — Стокса уравнения Рейнольдса (5.1)

и учитывая, что аналогично получим следующее уравнение для тензора

В частности, для плотности кинетической энергии осредненного движения получается уравнение

где имеет смысл удельной диссипации энергии осредненного движения под действием

молекулярной вязкости. Физический смысл всех слагаемых этого уравнения (за исключением последнего слагаемого, которое мы подробно рассмотрим ниже) аналогичен смыслу соответствующих слагаемых уравнения (6.4). Заметим лишь, что плотность потока энергии осредненного движения наряду со слагаемым описывающим перенос энергии силами молекулярной вязкости, содержит слагаемое рийрир, описывающее родственный процесс переноса энергии благодаря действию «турбулентной вязкости».

Осредняя уравнение (6.3) и затем вычитая из него почленно уравнение (6.6), получим искомое уравнение для тензора напряжений Рейнольдса:

Это же уравнение можно получить, составив сначала динамическое уравнение для пульсации скорости (равное разности уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса)

а затем применив формулу (6.2) к центральному моменту Отметим сразу же, что уравнение (6.8), кроме средней скорости и напряжений Рейнольдса содержит ряд новых неизвестных. Этими новыми неизвестными являются, во-первых, третьи центральные моменты во-вторых, умноженные на вторые моменты пульсаций скорости и ее пространственных производных, входящие в выражения и и непосредственно не выражающиеся через напряжения Рейнольдса; в-третьих, взаимные вторые моменты полей давления и скорости вида (которые с помощью равенства (1.9) можно представить в виде интегралов от двухточечных моментов третьего порядка типа

Таким образом, уравнения Рейнольдса (6.5) и уравнения для напряжений Рейнольдса (6.8) снова не образуют замкнутой системы. Если Теперь мы постараемся дополнить эту систему уравнениями для новых неизвестных, входящих в (6.8), и начнем с уравнений для третьих моментов то в эти уравнения в свою очередь войдут многие другие дополнительные неизвестные (например, четвертые моменты и третьи моменты типа или типа . Чжоу Пэйюань (1945а) ), и разность между числом неизвестных и числом уравнений станет только еще больше. Таким образом, составление уравнений для высших моментов ни на каком этапе не позволяет получить замкнутой системы уравнений, описывающей турбулентное движение.

Разумеется, систему уравнений (6.5) и (6.8) можно попытаться замкнуть, привлекая для этой цели те или иные дополнительные гипотезы, позволяющие выразить перечисленные выше «новые неизвестные» в уравнениях (6.8) через первые и вторые моменты Такие попытки представляют собой фактически новые варианты «полуэмпирической теории турбулентности», отличающиеся от теорий, рассмотренных в п. 5.8, лишь тем, что гипотетические связи здесь имеют несколько более сложную структуру, Подобные усложненные полуэмпирические теории в разное время выдвигались многими авторами; мы здесь кратко остановимся лишь на некоторых из них. Одной из первых работ, посвященных попытке замкнуть систему уравнений (6.5] и (6.8), была работа Загустина (1938); вслед за ней появилась небольшая заметка Колмогорова (1942), в которой турбулентность характеризовалась двумя основными параметрами — интенсивностью и масштабом, через которые выражались затем все члены уравнения баланса турбулентной энергии, вытекающего из (6.8) (близкая идея немного позже была выдвинута также Прандтлем К работе Колмогорова (1942) примыкает целая серия работ Невзглядова (1945а, б и др.), предложившего в развитие идеи Колмогорова несколько различных гипотез для замыкания системы уравнений (6.5) и Аналогичные исследования проводились также в 40-х годах Чжоу Пэйюанем (1945а, б, 1947). Им, в частности, была впервые предпринята попытка использовать наряду с уравнениями (6.5) и (6.8) также и уравнения для третьих моментов появляющиеся при этом четвертые моменты исключались с помощью гипотезы о равенстве нулю семиинвариантов поля скорости четвертого порядка или с помощью некоторой родственной гипотезы. Наконец, уже в 50-х и 60-х годах поивились работы Ротта (19516, в) и Давыдова (1958, 1959а, б, 1961), на которых мы остановимся немного более подробно, чтобы на конкретных примерах дать представление об общем характере всего этого круга исследований.

Ротта рассматривал уравнения (6.5) и (6.8) для стационарного плоскопараллельного в среднем турбулентного течения со средней скоростью (направленной всюду вдоль оси в отсутствие внешних сил. При этом в целях упрощения предполагалось, что слагаемыми в квадратных скобках в левых частях уравнений (6 8). описывающими «перенос (диффузию)

напряжений Рейнольдса», в первом приближении мржно пренебречь, рассматривая лишь те части течения, где турбулентность более или менее близка к однородной и, следовательно, перенос турбулентных величин из соседних областей потока играет малую роль. Далее, как и в работах Колмогорова (1942) и Прандтля (1945), предполагалось, что турбулентность можно описать ее интенсивностью и масштабом I — величиной размерности длины, определяющей средние размеры «турбулентных возмущений» и являющейся аналогом «пути перемешивания». Для вычисления величины Ротта, следуя Чжоу Пэйюаию (1945а, б), воспользовался тем, что пульсации давления удовлетворяют уравнению Пуассона вида (1.9) и, следовательно, могут быть представлены в виде, родственном (1.9), где подынтегральную функцию можно представить в виде двух слагаемых — одного, зависящего от средней скорости и второго, содержащего только пульсации скорости. Вклад первой из этих частей в выражение ди, может быть представлен в виде ряда последовательных производных профиля средней скорости с коэффициентами, являющимися интегралами от двухточечных вторых моментов поля скорости. Эти коэффициенты удовлетворяют алгебраическим соотношениям, вытекающим из уравнения неразрывности, и могут быть приближенно выражены через напряжения Рейнольдса и масштаб Вклад же второй части, зависящий от двухточечных третьих моментов, Ротта отождествил со значением величины в однородной турбулентности с постоянной средней скоростью и предложил вычислять с помощью гипотетического соотношения (оправдываемого некоторыми качественными соображениями; см. ниже сноску на стр. 329—330):

где числовой коэффициент, определяемый из эмпирических данных. Аналогичную связь вида

где новые числовые постоянные, Ротта предложил использовать для вычисления «диссипационных слагаемых» в правой части (6.8), содержащих коэффициент вязкости. При использовании этих формул уравнения (6.5) и (6.8) позволяют определить зависимость отношений различных напряжений Рейнольдса от градиента средней скорости и получить некоторые другие результаты, допускающие проверку на опыте. При соответствующем подборе параметров все эти результаты оказались в неплохом согласии с данными измерений характеристик турбулентности в канале, выполненных Рейхардтом (1938) и Лауфером (1951). Во второй статье Ротта (1951в) в добавление к соотношениям (6.10) и (6.11) было предложено также дифференциальное уравнение, описывающее изменение во времени и в пространстве длины и с его помощью было получено более полное объяснение наблюдающихся на опыте фактов.

Более детальная схема получения на основе уравнений (6.5) и (6.8) замкнутой системы полуэмпирических уравнений турбулентного движения была развита Давыдовым. В его работах в отличие от работ Ротта в левых частях уравнений (6.8) отбрасывались лишь слагаемые описывающие перенос напряжений Рейнольдса, вызываемый пульсациями давления. Слагаемые уравнений (6.8), содержащие множителем коэффициент вязкости (1, могут быть Преобразованы к виду первое слагаемое здесь выражается через напряжения Рейнольдса, а второе Давыдов предложил считать равным силу изотропии мелкомасштабных движений, о которой мы еще будем подробно говорить в ч. 2 настоящей книги), где еще одна подлежащая определению основная характеристика турбулентности. Для определения слагаемых в правой части (6.8), содержащих давление, Давыдов использует формулу

где с 1 — эмпирическая постоянная (родственная постоянной с, в равенстве (6.10)), довольно сложный добавочный тензор, выражающийся через среднюю скорость, ее пространственные производные и напряжения Рейнольдса (этот теизор описывает анизотропию пульсационной скорости в пограничных слоях около твердых стенок). Далее, для третьих моментов поля скорости -иуи выводятся уравнения, аналогичные (6.8), которые затем подвергаются еще более радикальным упрощениям (в них пренебрегается всеми слагаемыми, содержащими множителем коэффициент вязкости, а также четвертымв семиинвариантами поля скорости; кроме того, симметричная комбинация слагаемых вида изаменяется выражением где еще один эмпирический коэффициент). Наконец, для определения Давыдов сначала предложил специальное «уравнение переноса», содержащее кроме только первые, вторые и третьи моменты поля скорости; впоследствии, однако, он сам от него отказался (см. Давыдов (1961)) и заменил его уравнением вида:

где третий эмпирический коэффициент, еще три дополнительных неизвестных. Теперь уже для замыкания системы требуется выписать еще и уравнения относительно величин которые также можно составить, исходя из уравнений (6.9) для с помощью общего правила (6.2). После значительных упрощений, снова использующих

некоторые гипотетические связи, эти последние уравнения приводятся к виду

Окончательно, таким образом, получается весьма сложная, но замкнутая система из 23 квазилинейных дифференциальных уравнений относи гельио 23 неизвестных величии содержащая 4 эмпирических коэффициента, значения которых можно оценить, например, на основании данных измерений Лауфера (1954). Более точная проверка эгой системы требует специальных опытов, в которых тщательно измерялись бы все неизвестные величины, входящие в полученную систему; подобные измерения до сих пор, по-видимому, иикем не производились.