5.7. Профиль концентрации пассивной примеси около стенки; диффузия и теплопередача в турбулентном пограничном слое

Выше мы подробно рассмотрели вопрос о распределении средней скорости и о трении в турбулентных потоках около стенки. Оказывается, что аналогичные соображения могут быть применены и к исследованию турбулентной диффузии и теплопередачи. Ниже будут приведены некоторые основные относящиеся сюда факты; более подробное изложение (в первую очередь применительно к теплопередаче, лучше изученной экспериментально, чем диффузия) может быть найдено, например, в рассчитанных на инженеров книгах Гребера и Эрка (1955), Мак Адамса (1954) и Эккерта (1950), в гл. XIV сводной монографии под ред. Хоуарта (1953), гл. III-IV монографии Левича (1959) и обзорных статьях Дейслера (1959) и Кестина и Ричардсона (1963).

Рассмотрим, как и в пп. 5.2-5.3, плоскопараллельное течение жидкости в полупространстве (ограниченном твердой гладкой стенкой), направленное вдоль оси отсутствие продольного градиента давления. Предположим, что на граничной поверхности поддерживается постоянное значение концентрации пассивной примеси. При этом в жидкости будет иметь место постоянный поток — примеси, направленный от стенки

(т. е. вдоль положительного направления оси и уравнение (5.7) будет иметь вид

Профиль средней концентрации Ф будет зависеть от статистических характеристик поля скорости (определяемых параметрами а также от коэффициента диффузии плотности и интенсивности переноса примеси, характеризуемой значением потока Вводя специальную размерность 0 для величины Ф и обозначая размерность массы буквой М, будем иметь

Следовательно, в силу соображений размерности

где

— величина размерности 0, задающая естественный масштаб концентраций (безразмерная постоянная Кармана включена здесь в определение величины 0, поскольку в дальнейшем это иногда окажется удобным), новая универсальная функция от двух переменных, удовлетворяющая условию Если Ф — это температура Т, то формулы (5.73) — (5.75), естественно, следует писать в виде

где функция та же, что и в (5.74). Отметим, что для температуры предположение о пассивности более сомнительно, чем для материальной примеси, как из-за появления в неоднородно нагретой жидкости дополнительных архимедовых сил (об этом подробнее будет сказано в гл. 4), так и из-за зависимости от температуры физических констант жидкости типа коэффициентов вязкости и температуропроводности (по поводу учета этой зависимости, различной для газов и для жидкостей, см., например, статьи Дейслера (1959) и Ван Дриста (1959)). Тем не менее, для определенности ниже, как правило, величина будет

называться температурой, и будут использоваться формулы вида (5.73) — (5.75), но с заменой на (в соответствии со сказанным на стр. 63 употребление буквы показывает, что фактически речь все время идет о совершенно произвольной пассивной примеси).

Формула (5.74), содержащая неизвестную функцию может быть сильно упрощена в случае достаточно больших значений Под достаточно большими здесь понимаются значения удовлетворяющие прежде всего условию при котором коэффициент вязкости не оказывает уже влияния на распределение средней скорости и (по той же причине) не влияет и на распределение средней температуры. Кроме того, от рассматриваемых значений z требуется, чтобы турбулентный поток тепла при таких z был много больше потока тепла связанного с молекулярной теплопроводностью; при этом условии и коэффициент также не будет влиять на изменение величины с высотой. Заметим теперь, что, поскольку турбулентный поток тепла порождается тем же вихревым пуль сационным движением, что и турбулентный поток импульса турбулентные коэффициенты вязкости К и температуропроводности К» естественно предполагать имеющими одинаковый порядок величины. Поэтому, если т. е. то при турбулентный коэффициент температуропроводности будет намного больше молекулярного коэффициента х. так что в этом случае при будут выполнены оба условия, нужные для того, чтобы значения z можно было считать достаточно большими. Если же то турбулентный коэффициент температуропроводности (который при согласно (5.26) имеет порядок будет намного превосходить молекулярный коэффициент лишь при Таким образом, вообще говоря, влиянием и на изменение средней температуры с высотой можно пренебречь, лишь если выполняются два условия: (второе из них, очевидно, существенно лишь при .

При выполнении условий градиент средней температуры должен определяться лишь параметрами Отсюда в силу соображений размерности сразу следует формула

где а — новая безразмерная постоянная (порядка единицы). Следовательно,

(ср. Ландау и Лифшиц (1953), ч. 1, § 54), причем постоянная (так же, как и в случае формулы (5.22)) здесь должна определяться из условия смыкания профиля (5.77) с профилем средней температуры в нижнем слое, к которому формула (5.77) уже неприменима.

Из (5.77) видно, что

таким образом, при достаточно больших значениях функция Ф отличается от функции формулы (5.13) лишь значением числовых коэффициентов (только один из которых — коэффициент С может зависеть от числа Прандтля). Заметим еще, что профилю (5.77) в силу (5.9) отвечает следующее значение коэффициента турбулентной температуропроводности:

Отсюда видно, что постоянная а имеет смысл обратного значения турбулентного числа Прандтля для логарифмического пограничного слоя:

К сожалению, эмпирические данные о профилях концентрации пассивной примеси в реальных потоках около плоской стенки значительно более бедны, чем данные о профилях средней скорости; поэтому экспериментальная проверка формулы (5.77) до сих пор остается очень неполной. Измерения профилей средней температуры в приземном слое атмосферы, многократно проводившиеся метеорологами, мало пригодны для этой цели, так как в приземном слое при наличии, изменения температуры воздуха с высотой (т. е. при не нейтральной термической стратификации) значительную роль играет архимедова сила, не позволяющая рассматривать температуру как пассивную примесь (подробнее об этом см. в гл. 4). Более подходящими могли бы быть данные тщательных наблюдений над профилем влажности (т. е. концентрации водяного пара) в приземном слое атмосферы;

однако таких данных пока имеется очень немного. Тем не менее, мы можем сослаться здесь на результаты измерений Паскуилла (1949) и Райдера (1954), подтверждающие, что при близкой к нейтральной температурной стратификации профили влажности хорошо описываются логарифмическими формулами (см. ниже п. 8.2).

Рис. 43. Распределение средней температуры при турбулентном течении в трубе и в пограничном слое по данным Элиаса и Нуннера температура стенки, — температура на оси трубы или вне пограничного слоя.

В лабораторных течениях большой скорости, сопровождающихся вынужденной конвекцией, температуру с большим основанием, чем в атмосфере, можно рассматривать как пассивную примесь; однако опубликованные измерения профилей температуры (или, тем более, концентрации материальной примеси) в лабораторных потоках около стенки весьма немногочисленны и обычно обладают столь невысокой точностью, что про них можно сказать только, что они не противоречат закону (5.77). Особо стоит выделить сравнительно старые наблюдения Элиаса (1929), показавшего, что при обтекании нагретой плоской плаг стинки профиль температуры в пограничном слое для расстояний превышающих 0,056, оказывается примерно логарифмическим и подобным профилю средней скорости, и наблюдения Нукнера (1956), получившего в неизотермическом течении

воздуха по трубе с шероховатыми стенками почти точно логарифмический профиль средней температуры, начиная от и вплоть почти до самого центра трубы (см. рис. 43).

Недостаток эмпирических данных очень затрудняет оценку коэффициента а или В большинстве теплотехнических расчетов, относящихся как к техническим устройствам, так и к атмосфере, до сих пор, следуя Рейнольдсу (1874), обычно предполагают, что причем, как правило, эти расчеты приводят к неплохому согласию с данными измерений. Однако интегральные характеристики теплопередачи, представляющие основной интерес для теплотехники, чаще всего малочувствительны к небольшим изменениям параметра а и поэтому не позволяют надежно судить о его значении. Попытки непосредственной оценки величины а по измеренным профилям средней скорости и температуры для течений в трубах и каналах чаще всего приводят к значениям а, немного большим единицы, — порядка (т. е. к выводу, что см., например, Коркоран и др. (1952), Каверс, Хсу и др. (1953), Хсу, Сато и Сейдж (1956), Людвиг (1956), Слейчер (1958), а также обзорные статьи Дейслера (1959) и Кестина и Ричардсона (1963)). Одиако иногда (в первую очередь, в ряде экспериментов по теплообмену в жидких металлах) получались также и значения т. е. (см., например, Субботин, Ибрагимов, Номофилов. (1963) и Дуайер (1963)). Определение величины а по профилям ветра и температуры в атмосфере может производиться лишь при температурной стратификации, отличной от безразличной; при этом, однако, можно попытаться найти предел, к которому стремится а при приближении стратификации к состоянию изотермии, и приравнять этот предел отношению коэффициентов К» и К для логарифмического пограничного слоя. Подобные попытки производились несколько раз, но результаты при этом оказывались различными: Райдер (1954), Пристли (1963—1964) и Суинбенк (1964) нашли таким образом, что а в работах Суинбенка (1955) и Гурвича (1965) было получено значение (см. ниже п. 8.2). Вообще следует иметь в виду, что пока все имеющиеся данные о турбулентной теплопередаче (и диффузии) через турбулентный пограничный слой во многом противоречивы, так что к ним надо относиться с большой осторожностью. Так, например, даже в работах, дающих примерно одно и же среднее значение встречаются явно противоречащие друг другу утверждения об изменении коэффициента а при изменении расстояния до стенки z (согласно Людвигу (1956) величина слегка возрастает с ростом в то время как согласно Коркорану и др. (1952) и Слейчеру (1958), наоборот, а убывает при возрастании z). В этой связи целесообразно еще раз подчеркнуть, что, согласно приведенным выше общим соображениям, в области логарифмического пограничного слоя, в которой и напряжение трения, и турбулентный поток тепла имеют постоянное значение, коэффициент а также должен быть постоянным (т. е. вовсе не должен зависеть от ): Существенно также, что, поскольку речь идет об области течения, в которой молекулярные коэффициенты вязкости и теплопроводности не играют роли, а не должно зависеть от этих коэффициентов, а следовательно, и от молекулярного числа Прандтля Далее, если верить, что возможны условия вынужденной конвекции, при которой температура переносится как истинная пассивная примесь, то и значения для тепла и для материальной примеси надо считать точно совпадающими. Если же эти два значения а отличаются, то это может лишь значить, что существует какой-то (неизвестный нам) физический механизм, иначе воздействующий на перенос тепла, чем на перенос материальной примеси.

При очень малых значениях в случае гладкой стенки, естественно, должно выполняться равенство

аналогичное (5.20). Дальнейшие члены разложения функции в ряд Тэйлора по степеням в окрестности точки можно получить, дифференцируя по равенство (5.73) в точке Так как в случае стенки постоянной температуры при то аналогично (5.20) с точностью до членов четвертого порядка по будем иметь

где Из обращения в нуль второй и третьей производных функции по в точке следует, что изменение температуры будет близким к линейному в значительной области значений поэтому можно ввести понятие подслоя молекулярной теплопроводности, в котором значения функции практически не отличаются от Однако толщина этого подслоя теперь будет определяться тремя параметрами , так что, вообще говоря, можно лишь утверждать, что Непосредственно за подслоем молекулярной теплопроводности должна следовать какая-то переходная область, промежуточная между областью применимости соотношения (5.80) и логарифмическим слоем. За этой переходной областью начинается логарифмический температурный пограничный слой, описываемый формулой (5.77). К сожалению, в настоящее время нет никаких непосредственных эмпирических данных о профилях температуры или концентрации примеси около стенки, позволяющих проверить все эти общие выводы и построить полный ход функции Поэтому о значениях этой функции при малых приходится судить лишь на основании косвенных данных, полученных при изучении теплопередачи и диффузии в турбулентных течениях.

Эти косвенные данные (которых зато имеется очень много) состоят в сведениях о значениях безразмерных интегральных характеристик теплопередачи — числа Нуссельта или коэффициента теплопередачи (числа Стэнтона) при различных значениях Здесь - температура стенки (обычно плоской пластинки или трубы), предполагаемая постоянной, температура потока вне пограничного слоя или на оси трубы, — толщина пограничного слоя или радиус трубы, — скорость невозмущенного обтекающего потока или скорость на оси трубы. Те же безразмерные характеристики определяются обычно и в опытах по диффузии — в этом случае надо только заменить на опустить множитель в знаменателях и понимать под соответствующие концентрации. При теоретическом изучении теплопередачи в трубах (а также и теплопередачи в пограничном слое при не слишком больших числах Рейнольдса) изменением величин вдоль оси в первом приближении можно пренебречь и пользоваться схемой логарифмического пограничного слоя (обоснование законности уакого упрощения можно найти, например, в работдх Дейслера (1951, 1954)). Если: теперь мы перепишем формулу (5.77) в виде.

то для определения разности надо лишь знать параметры и как-то оценить постоянную С, существенно зависящую от изменения температуры в тонком пристеночном слое. Для оценки этой постоянной был предложен целый ряд теорий, приводящих к результатам, с разной степенью точности подтверждающимся на опыте.

Простейшая гипотеза, позволяющая оценить значение С, была выдвинута Рейнольдсом (1874). Он исходил из предположения, что механизмы переноса тепла и импульса в турбулентном потоке одинаковы; поэтому турбулентный поток тепла по теории Рейнольдса должен быть связан с напряжением трения Т соотношением вида

где значения средней скорости, и температуры на днух произвольных уровнях. Согласно этому соотношению, профили средней скорости и средней температуры во всем слое постоянства потоков должны быть точно пропорциональными коэффяцнентом пропорциональности, равным Отсюда вытекает, что (так что функция не зависит от Сравнивая равенство (5.80) с (5.20) и с (5.25), легко убедиться, что такая пропорциональность будет иметь место, лишь если (т. е. (т. е. и, кроме того, (т. е. также и во всей промежуточной области между вязким подслоем и логарифмическим слоем. Заметим, что условие лишь весьма приближенно (с точностью, не превышающей 20—30%) выполняется для воздуха и большинства других газов и уже совсем не выполняется для подавляющего большинства капельных жидкостей; условие же накладывает сильные ограничения на беспорядочное пульсацнн полей скорости и температуры, которые также вряд ли никогда не нарушаются. Тем не менее; предположение Рейнольдса (или, как чаще говорят, аналогия Рейнольдса, нмея в виду аналогию между потоками тепла и импульса, выражаемую равенством (5.81)), записайное в виде соотношения

удивительно хорошо описывает многие экспериментальные результаты о турбулентном теплообмене в газах и поэтому до сих пор довольно часто используется на практике.

Существенным недостатком аналогии Рейнольдса является то. что в ней пренебрегается влиянием на теплообмен молекулярного числа Прандтля, в ряде случаев бесспорно играющего определенную роль. Простейшее обобщение формулы (5.82), ставящее своей целью хоть как-то Учесть влияние параметра было независимо предложено Прандтлем (1910, 1928) и Тэйлором (1916). Согласно их представлениям в области логарифмического пограничного слоя можно считать, что но в вязком подслое (простирающемся вплоть до следует пользоваться строгими формуламн (5,20). и (5.80), т. е. учитывать точные значения коэффициентов, Что же касается промежуточной области, то в теории Прандтля — Тэйлора ею преиебрегалось, в. фактически предполагалось, что при имеют место логарифмические формулы (5.25) и (5.77). Таким образом, функция определилась формулой (5.80) при и формулой (5.77) с при отсюда, в частности, следует, что в этой теории . Но легко проверить, что этому значению С (и значению отвечает коэффициент теплопередачи

это и есть основной результат теории Прандтля — Тэйлора. При формула (5.83) совпадает с (5.82); если, же (но не очень сильно

отличается от единицы), то при разумном подборе постоянной а (по Праидтлю, например, она дает несколько лучшее совпадение с опытными данными, чем формула Рейнольдса (5.82).

Дальнейшее усовершенствование схемы Прандтля — Тэйлора было предпринято Карманом (1934, 1939), принявшим в расчет «промежуточный слой» см. выше стр. 229 и 231). Как уже отмечалось на стр. 237, Карман предположил, что в этой промежуточной области профиль скорости также дается логарифмической формулой вида (5.25), но с другими значениями коэффициентов А и в частности, он считал, что и, значит, при При расчете профиля средней температуры (т. е. функции предполагалось, что в области выполняется соотношение (5.80) (т. е. действует только молекулярная теплопроводность), в области действует и молекулярная, и турбулентная теплопроводность, причем т. е. а при коэффициентом можно пренебречь и считать, что (число в этой теории при принималось всюду равным единице). Исходя отсюда, легко рассчитать весь ход функции (определяемой тремя различными аналитическими выражениями) и, в частности, найти значение постоянной для при этом получается формула

При эта формула снова обращается в (5.82), но при значениях порядка нескольких единиц или одного-двух десятков (т. е. в случае обычных капельных жидкостей) она дает заметно лучшее совпадение с опытными данными, чем формула Прандтля — Тэйлора (5.83). Однако при очень больших или очень малых значениях формула (5.84) также приводит к резким расхождениям с экспериментом.

В дальнейшем разными авторами был предложен ряд новых полуэмпирических (или просто эмпирических) формул для величины см. по этому поводу работы, цитированные на стр. 237—238, а также статьи Рнбо (1941), Капицы (1947), Шервуда (1950), Леиича (1951), Рейхардта (19516), Чепмена и Кестера (1953), Дейслера (1951, 1954), Ваи Дриста (1959) и Сполдинга (1963), в которых можно найти много дополнительных ссылок. В значительной части этих работ основное усовершенствование теории заключалось в выборе, исходя из тех или иных интуитивных или эмпирических соображений, более сложного выражении для функции задаваемого обычно в виде некоторой формулы для После этого вычисление профиля (т. е. функции и определение коэффициента сводится к некоторому интегрированию (которое в случае более сложных теорий приходилось выполнять численно). Мы здесь не будем останавливаться на соответствующих результатах, имеющих в основном чисто технический характер, а рассмотрим лишь принципиально важный вопрос

об особенностях теплопередачи при очень больших или очень малых числах Прандтля.

В обоих этих предельных случаях явно неоправданным является содержащееся в теории Прандтля — Тэйлора и в теории Кармана предположение, что толщину слоя молекулярной теплопроводности можно оценить при помощи формулы где находится по излому профиля средней скорости и, следовательно, не зависит от Начнем со случая очень малых чисел Прандтля, характерных, в первую очередь, для жидких металлов. Поскольку в этом случае. очень велико, слой молекулярной теплопроводности оказывается много толще вязкого подслоя; поэтому пренебрежение коэффициентом х во всей области логарифмического профиля средней скорости здесь безусловно должно привести к серьезным ошибкам. Чтобы их избежать, многие авторы, специально занимавшиеся теорией турбулентного теплообмена в жидких металлах (например Мартинелли (1947), Лион (1951), Ликуднс и Тулукяи (1958) и Др.), вообще нигде не пренебрегали молекулярной теплопроводностью. На самом деле это, разумеется, не является необходимым (во всяком случае, при рассмотрении идеализированного течения во всем полупространстве но толщину слоя, внутри которого коэффициент х еще играет роль (т. е. сравним по порядку величины с турбулентным коэффициентом К»), при следует оценивать при помощи соотношения (поскольку К при а коэффициент по порядку величины должен совпадать с К). Поэтому, например, в простейшей «двухслойной модели» Прандтля — Тэйлора при следует считать, что задается формулой (5.80) при (где уже не зависит от и имеет тот же порядок, что и безразмерная толщина вязкого подслоя и задается формулой (5.77) при так что Исходя отсюда, уже легко рассчитать коэффициент теплопередачи Такой расчет и был выполнен Леви чем (1959), принявшим, что Несмотря на грубость использованных при этом расчете предположений, оказалось, что полученная таким путем формула неплохо соответствует большому числу эмпирических данных о теплопередаче при турбулентном течении жидких металлов в трубах.

Второй предельный случай встречающийся при изучении теплопередачи в технических маслах или диффузии материальных примесей в капельных жидкостях, значительно более сложен. Дело в том, что здесь слой молекулярной теплопроводности гораздо тоньше вязкого подслоя и, следовательно, уже при перенос тепла (или примеси) определяется в основном турбулентной теплопроводностью (диффузней). В то же время количественные характеристики турбулентности хуже всего известны как раз в области в которой молекулярная вязкость еще играет очень значительную роль. Так как к задаче независимого определения поведения сразу двух функций в этой области пока не видно подходов, то обычно предполагается, что коэффициенты при или точно совпадают между собой, или же отличаются лишь постоянным множителем а (выбираемым более или менее произвольно или же грубо оцениваемым по эмпирическим данным). При этом изучение турбулентной теплопередачи при сводится к исследованию асимптотического поведения турбулентного напряжения трения — (или, что эквивалентно, одной

лишь функции при при которому именно по этой причине и было посвящено большое число работ (см. выше стр. 237—238). Предположим теперь, что К при что и, значит, Так как толщина вязкого подслоя определяется условием а толщина , подслоя молекулярной теплопроводности — условием то очевидно, что в рассматриваемом случае

Профиль в слое в первом приближении можно описать уравнением (так что а при он обращается в логарифмический профиль (5.77). Исходя отсюда, нетрудно рассчитать и коэффициент теплопередачи (или диффузии) при этом получается, что асимптотически при

(ср. Левич (19-59)) Однако относительно значения показателя как уже отмечалось выше, в настоящее время еще нет окончательного мнения. Мы видели, что в силу уравнения неразрывности должно быть если принять, что то согласно (5.85)

Предположение, что позволило Мерфри (1932) получить формулу для хорошо описывающую всю совокупность имевшихся тогда данных о теплопередаче в потоках газов, воды и технических масел (с числами Прандтля, доходившими до 1000); позже к аналогичным выводам пришел также Рибо (1941). Чисто эмпирически соотношение (5.85) было найдено Чилтоном и Кслбэрном (1934), изучавшими диффузию в капельных жидкостях (без всяких ссылок на работы о теплопередаче); в дальнейшем оно было подтверждено и рядом других исследователей, из которых следует отметить Линя, Дентона и др. (1951), тщательно измеривших скорость диффузии ионов в электрохимических реакциях (при числах Прандтля, меняющихся от 300 до 3000). В начале 50-х годов предположение о том, что снова начало широко использоваться в теоретических работах как по турбулентной теплопередаче (Рейхардт (1951б)), так и по турбулентной диффузии (Линь, Маултон, Патнем (1953)). Тем не менее, еще позже Рэнни (1956) допустил, что и получил, исходя отсюда, формулу с неплохо описывающую эмпирические данные по теплопередаче при (но не при больших значениях В то же время многие авторы (например, Левич (1944, 1951, 1956), Дейслер (1959), Лойцянский (1960)) склоииы настаивать на том, что и, следовательно,

этот результат также прекрасно описывает всю совокупность эмпирических данных о турбулентной теплопередаче и диффузии при значениях вплоть

до 4000. Так как показатели 2/3 и 3/4 отличаются лишь на 1/12, и к тому же все теории теплопередачи при больших используют некоторые допущения (иапример, об отношении и содержат дополнительные неизвестные параметры, то выяснить по эмпирическим данным, равно ли трем или четырем, естественно, очень трудно (тем более, что всегда остается возможность, что коэффициент положителен, но очень мал). Однако можно утверждать, что пропорциональность коэффициента при больших функции (в соответствии с формулами Прандтля — Тэйлора и Кармана) или функции (в соответствии с формулой Рэнии) определенно опровергается данными опытов, как этого и следовало ожидать, исходя из теоретических соображений, позволяющих строго доказать, что

Разумеется, все предыдущие соображения относились лишь к случаю теплообмена или диффузии около гладкой стенки. В случае же шероховатой стенки проблема еще значительно усложняется (см. Нуннер (1956), Оуэн и Томсон (1963)); на этом, однако, мы не будем останавливаться.