2.8. Устойчивость плоскопараллельных течений и течений в трубе и в пограничном слое

Выше мы рассмотрели два примера применения метода возмущений к исследованию гидродинамической устойчивости. Однако с точки зрения экспериментатора или инженера оба эти примера являются довольно, специальными. Значительно более удобными для экспериментальной проверки и важными для приложений являются случаи течения в круглой трубе и обтекания плоской пластинки (которым именно поэтому и было уделено основное внимание в начале настоящего параграфа). И если тем не менее в качестве иллюстрации метода возмущений прежде всего были рассмотрены течение между вращающимися цилиндрами и свободная конвекция в слое между двумя плоскостями постоянной температуры, то это объясняется тем, что в указанных двух случаях (по-видимому, из-за наличия дополнительных сил — центробежной в первом случае и архимедовой во втором) метод возмущений приводит к относительно простым задачам на собственные значения, позволяющим получить вполне законченные результаты. Что же касается до течений в трубах и в пограничном слое, то здесь применение метода возмущений наталкивается на очень значительные трудности, которые до сих пор никак еще нельзя считать полностью преодоленными.

В связи со сложностью математического анализа в случае течений в трубе и в пограничном слое громадное большинство

имеющих сюда отношение исследований посвящено рассмотрению лишь простейших плоскопараллельных двумерных течений, которые в какой-то степени можно считать моделями упомянутых выше реальных течений. Поэтому мы здесь также начнем с рассмотрения вопроса об устойчивости плоскопараллельных течений и лишь затем укажем, что известно о возможности перенесения получаемых при этом результатов на течения в трубе и в пограничном слое. Заметим еще, что в силу уравнений гидродинамики (1.6) стационарное плоскопараллельное течение жидкости с отличной от нуля вязкостью, при котором отлична от нуля лишь одна компонента поля скорости зависящая только от координаты возможно только при условии, что профиль и зависит от z квадратично. Иначе говоря, такое течение всегда представляет собой комбинацию течения Куэтта с линейным профилем скорости и течения Пуазейля с параболическим профилем (см. примеры 1 и 2 на стр. 40—42). Учитывая, однако, что плоскопараллельные течения нас интересуют как возможные модели более сложных реальных течений, мы будем здесь рассматривать также и более сложные профили в надежде на то, что получаемые при Этом результаты можно будет затем применить и к потокам, не являющимся строго плоскопараллельными.

Итак, будем считать, что ось направлена вдоль потока и что скорость основного течения не зависит от и задается произвольной функцией Существенно отметить, что при нахождении критерия неустойчивости такого плоскопараллельного течения можно ограничиться рассмотрением лишь двумерных возмущений вида так как более общие трехмерные возмущения теряют устойчивость позже (при больших числах Рейнольдса), чем двумерные возмущения. Это утверждение, токязяннпр Сквайром (1933) (см. также Линь (1955), § 3.1), можно пояснить, представив возмущение в виде суперпозиции элементарных компонент, имеющих вид плоских волн. Двумерным возмущениям будут соответствовать волны, распространяющиеся вдоль основного потока, а трехмерным — волны, направление распространения которых не совпадает с направлением основного течения. Но нетрудно показать, что на, волновую компоненту возмущения с заданным волновым вектором к влияет только компонента скорости основного течения по направлению указанного волнового вектора, равная где это х-компонента вектора его модуль. Математически это проявляется в том, что в случае плоскопараллельного течения со скоростью подстановка формул (2.8) И (2.9) с в

общую систему (2.7) после некоторых преобразований (и исключения из системы всех неизвестных функций, кроме функции задающей компоненту возмущения приводит к уравнению

которое вместе с соответствующими граничными условиями определяет частоты задачи Если мы рассмотрим теперь двумерное возмущение с тем же модулем волнового вектора к (т. е. возмущение вида (2.8) — (2.9) с то новое уравнение (2.24) будет отличаться от старого лишь заменой на т. е. будет совпадать с написанным выше уравнением, в котором только скорость увеличена в разг Таким образом, для волновых возмущений, распространяющихся под некоторым углом к основному течению, эффективное число Рейнольдса оказывается меньшим, чем для возмущений с той же длиной волны, распространяющихся вдоль, основного потока, и следовательно, критическое число Рейнольдса для двумерных возмущений будет докритическим для трехмерных возмущений. Поэтому при нахождении границы устойчивости для плоскопараллельных течений всегда можно считать, что что возмущение не зависит от у. При этом допустимо считать также, что так как пульсации никак не будут сказываться на системе уравнений относительно переменных (и будут затухать во времени).

Уравнения (2.7) в применении к двумерным возмущениям плоскопараллельного течения имеют вид

где - двумерный оператор Лапласа. Краевые условия для этих уравнений заключаются в обращении в ноль обоих компонент скорости и и на ограничивающих поток стенках (или, в случае неограниченного потока, на бесконечности, т. е. при или при , или при в зависимости от характера неограниченности). Пользуясь уравнением неразрывности, перейдем в первых двух уравнениях (2.25) от компонент скорости к функции тока полагая

Тогда после исключения давления для функции тока получается уравнение в частных производных

Для нахождения критерия неустойчивости надо найти решение этого уравнения при указанных выше краевых условиях и при заданном начальном значении где произвольная функция, отличная от нуля в ограниченной области пространства (и удовлетворяющая краевым условиям и условию малости возмущения Характер изменения со временем величины будет зависеть от числа Рейнольдса основного течения: при достаточно малых эта величина всегда будет затухать, а при достаточно больших может оказаться иногда и возрастающей со временем. Граница между указанными областями значений (если она существует) и будет определять критическое число Рейиолъдса.

Решение сформулированной задачи с начальными условиями обычно очень сложно. Поскольку, однако, коэффициенты уравнения (2.26) не зависят от то это уравнение может иметь

частные решения вида

где Если таких «волновых решений» окажется достаточно много, так что решение задачи с начальными условиями всегда можно будет разложить в ряд по решениям вида (237) со всевозможными (вещественными) волновыми числами то общая задача нахождения значения сведется к определению лишь допустимых значений с. С этой целью надо подставить формулу (2.27) в уравнение (2.26), после чего мы получим следующее, обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функции

(штрихи здесь означают производные по Уравнение (2.28) часто называют уравнением Орра-Зоммерфельда. Краевые условия для этого уравнения заключаются в обращении в ноль значений на границах потока (которые могут находиться и на бесконечности). Однородное уравнение (2.28) с указанными однородными краевыми условиями будет иметь нетривиальные решения лишь при некоторых специальных значениях параметра с. Эти собственные значения задачи будут, вообще говоря, комплексным и числами с зависящими от волнового числа и от вязкости (т. е. от числа Рейнольдса Действительная часть будет иметь смысл скорости распространения волны, а мнимая часть будет определять изменения амплитуды волны со временем, которые описываются множителем при амплитуда будет затухать, при оставаться постоянной (волна в этом случае называется нейтрально , а при расти со временем. Таким образом, значение здесь определяется как то при котором впервые хотя бы при одном

Итак, в рассматриваемом случае для нахождения критерия неустойчивости надо только определить величину как функцию от Заметим еще, что при значении при котором впервые обращается в нуль, вещественная часть собственного числа с не будет, вообще говоря, равна нулю (в нарушение «принципа смены устойчивости»). Это значит, что собственному числу с, вообще говоря, отвечает распространяющаяся вдоль оси волна (2.27). При значениях немного превосходящих найдется уже небольшой интервал значений при которых будет положительным отличным от нуля). Волны со

значениями из этого интервала образуют волновой пакет, который будет усиливаться со временем, перемещаясь одновременно вниз по течению. Действительно, значение будет наибольшим где-то около центра указанного интервала значений поэтому вблизи этого центра — и групповая скорость «нашего волнового пакета будет вещественной, т. е. будет представлять собой истинную скорость перемещения пакета (ср. Ландау и Лифшиц (1953), § 29). В этом отношении рассматриваемая здесь неустойчивость, очевидно, отличается от неустойчивости течений, рассмотренных в пп. 2.6 и 2.7, в которых неустойчивые возмущения были неподвижными и в каждой фиксированной точке возрастали до конечной величины.