Отображение в физическую плоскость.

Как только получено какое-нибудь решение уравнений Чаплыгина на плоскости годографа, можно найти решение нелинейных уравнений газовой динамики в физической плоскости посредством отображения с помощью (3.2). Следует заметить, однако, что не всякое решение уравнений Чаплыгина приводит к физически возможному течению. В действительности отображение с плоскости годографа в физическую плоскость, определяемое таким решением, вполне может не быть взаимно однозначным. В этом случае в физической плоскости получатся самопересекающиеся линии тока.

Можно показать, что в дозвуковой части плоскости годографа отображение в физическую плоскость не имеет

других особенностей, кроме точек ветвления. Иначе обстоит дело в сверхзвуковой области. Там якобиан

который в силу (3.2) и (3.3) равен

вычисленный для вполне регулярного решения уравнений Чаплыгина, может тождественно обратиться в нуль вдоль некоторой линии, так что отображение в физическую плоскость будет иметь складку. Линия, вдоль которой называется предельной линией. Можно показать, что образ предельной линии на физической плоскости всегда будет геометрическим местом точек возврата характеристик одного из семейств, а также точек возврата линий тока. Решения уравнений Чаплыгина, содержащие предельную линию, не представляют на всем своем протяжении физически возможного течения. (Относительно соответствия физической плоскости и плоскости годографа см. Курант и Фридрихе [1], Креггс [1], Толлмин [2] и Цянь [2].)