Решения как неподвижные точки.

Независимо от предположения о том, является ли уравнение (10.1) уравнением Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи, отыскание решения некоторой краевой задачи можно интерпретировать как отыскание неподвижной точки определенного преобразования в функциональном пространстве. Точнее, мы предположим, что если в коэффициенты уравнения (10.1) подставить производные некоторой известной функции принадлежащей определенному классу В, то рассматриваемая краевая задача может быть решена единственным образом для полученного линейного уравнения

и что это решение принадлежит В. Напишем тогда есть отображение В в себя, а функция будет решением краевой задачи для квазилинейного уравнения тогда и только тогда, когда она является неподвижной точкой этого преобразования, т. е. когда

Обычно предполагается, что класс В допустимых функций есть вещественное пространство Банаха. Это означает, что линейная комбинация с вещественными постоянными коэффициентами любых двух функций из В принадлежит В и что с каждой функцией из В сопоставлено неотрицательное число называемое нормой функции, такое, что тогда и только тогда, когда для любой Ппостоянной Требуется также, чтобы последовательность Коши в смысле этой нормы, т. е. последовательность функций такая, что была сходящейся в смысле этой нормы к некоторой функции из В. [Хорошо известным

примером является пространство непрерывных на интервале функций Пространство Банаха допустимых функций должно быть выбрано так, чтобы преобразование было непрерывным, т. е. чтобы норма была произвольно мала для достаточно малой