Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Приложение§ 24. ЗАМЕЧАНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХВ течение последних пятнадцати лет для краевых задач, рассматриваемых в настоящем обзоре, было выполнено много численных расчетов, основанных на конечноразностных схемах (Эммонс [1, 2], Саусвелл [1], Вудс [1-4], Вудс и Том [1], Маккол и Кодд [1], Винченти и Вагонер [1-3], Синно [1J. и другие). Хотя при этом было получено большое количество полезной информации, основные задачи все еще подлежат решению. Метод конечных разностей.Когда дифференциальное уравнение с частными производными заменяется разностным уравнением, то возникают следующие три вопроса. 1. Имеет ли краевая задача для конечноразностного уравнения решение и является ли это решение единственным? 2. Как эффективно вычислить решение конечноразностного уравнения? Сюда включается контроль так называемых ошибок округления. 3. Будет ли решение разностного уравнения сходиться к решению дифференциального уравнения, когда размер ячейки сети стремится к нулю, и как может быть оценена ошибка, связанная с заменой производных разностными отношениями? Ответы на эти три вопроса, конечно, очень хорошо известны в случае линейных дифференциальных уравнений классических типов. Для нелинейных уравнений таких типов, которые встречаются в газовой динамике, ответы еще надо искать. Это верно, даже если мы ограничимся случаями, в которых уравнение имеет неизменно эллиптический тип, как, например, уравнение минимальных поверхностей. Квазилинейные уравнения.Если в таком уравнении или в каком-нибудь другом квазилинейном уравнении, вроде уравнения для потенциала газового течения, мы заменим производные разностными отношениями, то полученная алгебраическая система будет нелинейной и не очевидно, а на самом деле никогда не было доказано, что эта алгебраическая система обладает единственным решением. Трудность этой задачи, конечно, значительно возрастет, если рассмотреть ситуацию, когда тип уравнения может меняться из эллиптического в гиперболический. Никогда не было также доказано, что решение аппроксимирующего разностного уравнения аппроксимирует решение дифференциального уравнения. Кроме того, не существует никакой схемы итераций, о которой было бы известно, что она дает решение разностного уравнения. Нечего и говорить, что эти препятствия не остановят стремление прикладных математиков получить ответ. В действительности вычисления выполнялись, причем разностными методами численно считались даже скачки. При выполнении этих расчетов большинство авторов использовало не фиксированную итерационную схему, удобную для автоматических вычислительных машин, а так называемый релаксационный метод (см. Саусвелл [1, 2]). Хотя преимущества релаксационного метода несомненны, автор уверен в том, что наблюдающееся развитие электронных вычислительных машин будет делать фиксированные итерационные схемы все более и более полезными. По этой причине разработка подходящих итерационных схем для нелинейных разностных уравнений представляется задачей крайней важности. Если мы имеем дело с задачей, для которой вопросы существования и единственности хорошо поняты, и если мы обладаем приближенным решением соответствующего разностного уравнения, то вряд ли кто-нибудь будет сомневаться в том, что это решение является хорошим приближением к решению дифференциального уравнения, даже если точная оценка ошибки, происходящей от замены дифференциального уравнения разностным, пока еще не дана. Однако ситуация меняется в случае краевых задач газодинамики, скажем для задач об околозвуковом течении вокруг профиля. В § 20 мы уже указали на очевидное противоречие между численными результатами и известными теоремами несуществования. Рациональное объяснение этого противоречия есть задача численного анализа, которая является ластолько же привлекающей внимание, насколько трудной. Линейные уравнения смешанного типа.Даже в случае линейных дифференциальных уравнений смешанного типа была проделана сравнительно небольшая работа по разностным методам, если не считать теоретических исследований, относящихся к уравнению Лаврентьева — Бицадзе (Халилов [1, 2], Карманов [1], Ладыженская [1]), и очень интересных численных вычислений Винченти и Вагонера для уравнения Трикоми. Однако во всех этих случаях задача редуцировалась аналитическими методами к чисто эллиптической задаче с усложненными граничными условиями.
Рис. 24.1. Винченти и Вагонер установили, что попытки применить релаксационный метод непосредственно к смешанному уравнению встречают большие затруднения. Но редукция к чисто эллиптической задаче, вероятно, возможна не во всех случаях. Следовательно, создание рабочих конечноразностных схем для линейных диффгренциальных уравнений смешанного типа является одной из наиболее актуальных задач численного анализа, подсказанных газодинамикой. В последние годы был получен ряд новых результатов по разностным методам для уравнений смешанного типа. Вначале мы упомянем о статье Филиппова [1], содержащей конечноразностную схему решения задачи Трикоми для уравнения Трикоми. Филиппов использует сетку, показанную на рис. 24.1. В гиперболической области это сетка характеристик, а в эллиптической — сетка прямоугольников непостоянной высоты. В эллиптической области дифференциальное уравнение аппроксимируется пятиточечной разностной схемой обычным образом. В гиперболической области Филиппов использует четырехточечную разностную схему, которую можно считать вариантом обычной характеристической разностной схемы. Вдоль линии параболичности дифференциальное уравнение заменено разностным уравнением, соответствующим требованию получается система из некоторого числа уравнений, равного числу неизвестных. Автор доказывает (в сущности, с помощыо принципа максимума), что эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено эффективно методом последовательных приближений. Он доказывает также, что решение разностного уравнения сходится к решению дифференциального уравнения, которое предполагается существующим, и оценивает ошибку от замены одного уравнения другим. Другие разностные схемы для задачи Трикоми и аналогичных задач в настоящее время находятся в стадии исследования, но результаты еще недостаточно созрели для опубликования. Мы упомянем только, что Муссман получила теоретическое обоснование вышеупомянутой схемы Винченти и Вагонера. (В недавней статье [1] Винченти, Вагонер и Фишер предложили новую разностную схему, которая пригодна во всей области Трикоми, а не только в эллиптической части.) Предложенный Фридрихсом вариант метода abc (см. § 17 и 18 гл. IV) приводит к разностным схемам, пригодным для уравнений смешанного типа. Относительно деталей этих разностных схем мы отсылаем к будущим публикациям Фридрихса и его сотрудников. Другие методы.Нечего и говорить, что разностные уравнения являются лишь одним из возможных методов для численного интегрирования дифференциальных уравнений. Многие авторы (Бергман, см. ссылки в работах Бергмана [4, 6], Кшивоблоцкий [1], Гудерлей и Йосихара [2, 3]) предпочитают разложения по частным решениям. Овсянников [2] обсуждает представление решения задачи Трикоми для уравнения Трикоми в виде разложения по специальным частным решениям. В ряде случаев это приводит к эффективному методу вычисления решения. Относительное значение каждого из различных методов может быть оценено только тогда, когда мы будем иметь много больше опыта, чем сегодня. Мы не собирались вступать здесь в подробную дискуссию по численным методам, отмечавшимся в литературе. Мы лишь хотели кратко показать, что в этой области существуют задачи, представляющие настоящий математический интерес и весьма тесно связанные со многими теоретическими вопросами существования и единственности решений.
|
1 |
Оглавление
|