Приложение

§ 24. ЗАМЕЧАНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ

В течение последних пятнадцати лет для краевых задач, рассматриваемых в настоящем обзоре, было выполнено много численных расчетов, основанных на конечноразностных схемах (Эммонс [1, 2], Саусвелл [1], Вудс [1-4], Вудс и Том [1], Маккол и Кодд [1], Винченти и Вагонер [1-3], Синно [1J. и другие). Хотя при этом было получено большое количество полезной информации, основные задачи все еще подлежат решению.

Метод конечных разностей.

Когда дифференциальное уравнение с частными производными заменяется разностным уравнением, то возникают следующие три вопроса.

1. Имеет ли краевая задача для конечноразностного уравнения решение и является ли это решение единственным?

2. Как эффективно вычислить решение конечноразностного уравнения? Сюда включается контроль так называемых ошибок округления.

3. Будет ли решение разностного уравнения сходиться к решению дифференциального уравнения, когда размер ячейки сети стремится к нулю, и как может быть оценена ошибка, связанная с заменой производных разностными отношениями?

Ответы на эти три вопроса, конечно, очень хорошо известны в случае линейных дифференциальных уравнений классических типов. Для нелинейных уравнений таких типов, которые встречаются в газовой динамике, ответы еще надо искать. Это верно, даже если мы ограничимся случаями, в которых уравнение имеет неизменно эллиптический тип, как, например, уравнение минимальных поверхностей.

Квазилинейные уравнения.

Если в таком уравнении или в каком-нибудь другом квазилинейном уравнении, вроде

уравнения для потенциала газового течения, мы заменим производные разностными отношениями, то полученная алгебраическая система будет нелинейной и не очевидно, а на самом деле никогда не было доказано, что эта алгебраическая система обладает единственным решением. Трудность этой задачи, конечно, значительно возрастет, если рассмотреть ситуацию, когда тип уравнения может меняться из эллиптического в гиперболический.

Никогда не было также доказано, что решение аппроксимирующего разностного уравнения аппроксимирует решение дифференциального уравнения. Кроме того, не существует никакой схемы итераций, о которой было бы известно, что она дает решение разностного уравнения.

Нечего и говорить, что эти препятствия не остановят стремление прикладных математиков получить ответ. В действительности вычисления выполнялись, причем разностными методами численно считались даже скачки. При выполнении этих расчетов большинство авторов использовало не фиксированную итерационную схему, удобную для автоматических вычислительных машин, а так называемый релаксационный метод (см. Саусвелл [1, 2]). Хотя преимущества релаксационного метода несомненны, автор уверен в том, что наблюдающееся развитие электронных вычислительных машин будет делать фиксированные итерационные схемы все более и более полезными. По этой причине разработка подходящих итерационных схем для нелинейных разностных уравнений представляется задачей крайней важности. Если мы имеем дело с задачей, для которой вопросы существования и единственности хорошо поняты, и если мы обладаем приближенным решением соответствующего разностного уравнения, то вряд ли кто-нибудь будет сомневаться в том, что это решение является хорошим приближением к решению дифференциального уравнения, даже если точная оценка ошибки, происходящей от замены дифференциального уравнения разностным, пока еще не дана. Однако ситуация меняется в случае краевых задач газодинамики, скажем для задач об околозвуковом течении вокруг профиля. В § 20 мы уже указали на очевидное противоречие между численными результатами и известными теоремами несуществования. Рациональное объяснение этого противоречия есть задача численного анализа, которая является ластолько же привлекающей внимание, насколько трудной.

Линейные уравнения смешанного типа.

Даже в случае линейных дифференциальных уравнений смешанного типа была проделана сравнительно небольшая работа по разностным методам, если не считать теоретических исследований, относящихся к уравнению Лаврентьева — Бицадзе (Халилов [1, 2], Карманов [1], Ладыженская [1]), и очень интересных численных вычислений Винченти и Вагонера для уравнения Трикоми. Однако во всех этих случаях задача редуцировалась аналитическими методами к чисто эллиптической задаче с усложненными граничными условиями.

Рис. 24.1.

Винченти и Вагонер установили, что попытки применить релаксационный метод непосредственно к смешанному уравнению встречают большие затруднения. Но редукция к чисто эллиптической задаче, вероятно, возможна не во всех случаях. Следовательно, создание рабочих конечноразностных схем для линейных диффгренциальных уравнений смешанного типа является одной из наиболее актуальных задач численного анализа, подсказанных газодинамикой.

В последние годы был получен ряд новых результатов по разностным методам для уравнений смешанного типа. Вначале мы упомянем о статье Филиппова [1], содержащей конечноразностную схему решения задачи Трикоми для уравнения Трикоми. Филиппов использует сетку, показанную на рис. 24.1. В гиперболической области это сетка характеристик, а в эллиптической — сетка прямоугольников непостоянной высоты. В эллиптической области дифференциальное уравнение аппроксимируется пятиточечной разностной схемой обычным образом. В гиперболической области Филиппов использует четырехточечную разностную схему, которую можно считать вариантом обычной характеристической разностной схемы. Вдоль линии параболичности дифференциальное уравнение заменено разностным уравнением, соответствующим требованию при . Этим способом

получается система из некоторого числа уравнений, равного числу неизвестных. Автор доказывает (в сущности, с помощыо принципа максимума), что эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено эффективно методом последовательных приближений. Он доказывает также, что решение разностного уравнения сходится к решению дифференциального уравнения, которое предполагается существующим, и оценивает ошибку от замены одного уравнения другим.

Другие разностные схемы для задачи Трикоми и аналогичных задач в настоящее время находятся в стадии исследования, но результаты еще недостаточно созрели для опубликования. Мы упомянем только, что Муссман получила теоретическое обоснование вышеупомянутой схемы Винченти и Вагонера. (В недавней статье [1] Винченти, Вагонер и Фишер предложили новую разностную схему, которая пригодна во всей области Трикоми, а не только в эллиптической части.)

Предложенный Фридрихсом вариант метода abc (см. § 17 и 18 гл. IV) приводит к разностным схемам, пригодным для уравнений смешанного типа. Относительно деталей этих разностных схем мы отсылаем к будущим публикациям Фридрихса и его сотрудников.

Другие методы.

Нечего и говорить, что разностные уравнения являются лишь одним из возможных методов для численного интегрирования дифференциальных уравнений. Многие авторы (Бергман, см. ссылки в работах Бергмана [4, 6], Кшивоблоцкий [1], Гудерлей и Йосихара [2, 3]) предпочитают разложения по частным решениям. Овсянников [2] обсуждает представление решения задачи Трикоми для уравнения Трикоми в виде разложения по специальным частным решениям. В ряде случаев это приводит к эффективному методу вычисления решения.

Относительное значение каждого из различных методов может быть оценено только тогда, когда мы будем иметь много больше опыта, чем сегодня.

Мы не собирались вступать здесь в подробную дискуссию по численным методам, отмечавшимся в литературе. Мы лишь хотели кратко показать, что в этой области существуют задачи, представляющие настоящий математический интерес и весьма тесно связанные со многими теоретическими вопросами существования и единственности решений.