§ 20. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ В ДОЗВУКОВОМ НЕВОЗМУЩЕННОМ ТЕЧЕНИИ

В § 12 мы видели, что для произвольно заданного профиля и для заданного направления скорости в бесконечности существует дозвуковое течение с данным числом Маха свободного потока из определенного интервала Это течение является чисто дозвуковым; когда максимум местной скорости приближается к скорости звука. Возникает вопрос, существует ли также течение вокруг профиля без скачков для Этой задаче было посвящено большое количество усилий, и, хотя исчерпывающий ответ все еще не известен, в этом направлении был получен ряд важных результатов.

Примеры гладких околозвуковых течений.

Мы отметим сначала, что для некоторых профилей и некоторых значений заведомо существуют течения без скачков с местными сверхзвуковыми областями. Это было проверено построением точных решений в плоскости годографа.

Требуемые решения были получены с помощью некоторого видоизменения процесса, использованного Чаплыгиным для построения течений сжимаемого газа со свободными границами (§ 11). В случае течения вокруг профиля должны появиться дополнительные трудности. Для течения со свободными границами, например для вытекающей через щель струи, годограф однолистен, его границы известны, а решение в плоскости годографа для течения несжимаемой жидкости представляется (кроме члена, содержащего только ) степенным рядом

описывающим это решение во всей области. Метод Чаплыгина состоит в замене степенного ряда (20.1) рядом из частных решений уравнения Чаплыгина

В случае течения вокруг профиля его образ на плоскости годографа обычно многолистен, его границы неизвестны, а решение как в случае несжимаемой, так и в случае сжимаемой жидкости должно иметь особенности в точке, соответствующей бесконечно удаленной. Природа этих особенностей уже обсуждалась в § 11. Следовательно, для течения несжимаемой жидкости степенной ряд вида (20.1) может представлять это течение только в некоторой части области годографа. Такое представление будет, конечно, существовать вблизи передней критической точки, если передняя часть профиля не имеет острия, а сам профиль является аналитической кривой.

Если образовать решение уравнения Чаплыгина, «соответствующее» ряду (20.1), то оно также будет представлять искомое течение, если оно вообще что-нибудь будет представлять, только в некоторой части области годографа. Для

получения решения во всей области надо продолжить эту функцию, заданную рядом. Вообще говоря, совсем не очевидно и в действительности даже неверно, что ряд Чаплыгина (20.2), соответствующий аналитической функции, представляющей течение вокруг какого-то профиля, будет давать после продолжения решение уравнения годографа, описывающее течение газа вокруг некоторого препятствия (Цянь и Го [1], Го [2]). Тем не менее оказывается, что надлежащее видоизменение метода Чаплыгина приводит к желаемой цели.

Для построения сжимаемых течений вокруг профиля, "соответствующих" данным несжимаемым течениям, рядом авторов были предложены различные методы. Эти методы существенно зависят от используемой связи плотности со скоростью, так как аналитическое продолжение чувствительно к точной природе рассматриваемых функций и к их поведению в комплексной области. Полному описанию каких-либо из этих методов здесь не место, так как, в частности, каждый метод содержит значительные аналитические выкладки.