Краевые условия.

Упомянем теперь некоторые типичные краевые задачи для уравнения (2.14). С точки зрения аэродинамики наиболее важные задачи относятся к обтеканию препятствия (которое можно представлять себе в виде поперечного сечения крыла самолета). Решение должно быть определено во внешней области по отношению к препятствию и должно описывать равномерное течение в

бесконечности. Иначе говоря, задается величина скорости в бесконечности

На профиле имеет место краевое условие

выражающее тот факт, что препятствие является линией тока. Это можно записать также в виде

Этих двух условий, однако, недостаточно для определения течения. Действительно, нет никаких оснований считать потенциал скорости однозначной функцией и поэтому можно задать величину циркуляции

где есть какая-нибудь простая замкнутая кривая, охватывающая профиль.

С физической точки зрения предпочтительнее другой путь отыскания течения. Мы будем предполагать, если не сказано ничего другого, что профиль представляет собой гладкую кривую, за исключением выступающего куска кривой или острия, называемого задней кромкой, и потребуем, чтобы скорость была непрерывна на задней кромке (условие Кутта — Жуковского).

Для профиля, не имеющего угла или острия, условие Кутта — Жуковского заключается в требовании, чтобы скорость обращалась в нуль в данной точке препятствия. То обстоятельство, что условие Кутта — Жуковского определяет циркуляцию однозначно, не является, конечно, очевидным. Для чисто дозвукового течения, как мы увидим позднее, это может быть доказано.

С обтеканием профиля тесно связано течение около стенки. В этом случае решение должно быть определено в бесконечной области, ограниченной кривой, вдоль которой должны выполняться краевые условия (2.21). Кроме того, задается скорость в бесконечности (2.20).

В математическом отношении более простой является задача о течении в канале. Решение ищется в области, ограниченной двумя бесконечными кривыми, вдоль которых удовлетворяется краевое условие (2.21). Например, могут быть заданы значения функции тока на обеих стенках канала, т. е. расход. Ясно, что этот расход не может быть задан совсем произвольно, так как величина обычно ограничена. Особый интерес представляет течение в сходящемся-расходящемся канале (сопло Лаваля), в котором газ разгоняется от дозвуковых до сверхзвуковых скоростей.

Другой класс задач имеет дело со свободными границами. В этом случае граница течения состоит из некоторых заданных кривых (твердые стенки), вдоль которых функция тока должна быть постоянна, и других кривых (свободные границы), вдоль которых должны быть постоянны как функция тока, так и скорость. Задается только общий вид свободных границ; их точная форма должна быть найдена, что составляет часть задачи. Свободные границы мыслятся как линии, отделяющие движущуюся жидкость от покоящейся. Условие постоянства скорости означает, что давление вдоль свободной границы постоянно; если оно равно давлению в области "мертвой воды“, то силы, действующие в нормальном к свободной границе направлении, отсутствуют и может поддерживаться установившееся течение.