Априорные оценки.

Заметим, что в обоих вариантах метода непрерывного продолжения существенную роль снова играют априорные оценки. В частности, при применении схемы Лере-Шаудера априорные оценки должны исключать

решения на границе рассматриваемой области. Если эта область есть шар то достаточно знать, что все возможные решения данной краевой задачи для уравнения (10.1) достаточно малы по норме. Априорные оценки играют также существенную роль при проведении набросанного выше доказательства существования с помощью вариационного метода. На самом деле можно сказать, что, вообще говоря, решение нелинейной краевой задачи сводится к отысканию достаточно сильной априорной оценки решения.

Начиная с первой работы С. Бернштейна каждый успех в исследовании нелинейных эллиптических уравнений был связан с отысканием новых априорных оценок, и в настоящее время имеется целый ряд методов. Ссылки можно найти в книге Миранда [1], а также в статьях Лере [3], Погорелова [1], Леви [1, 2], Ниренберга [1], Берса и Ниренберга [1] и Хейнца [2].

В принципе описанные здесь методы не связаны с двумерностью задачи. Однако, к сожалению, практически все применяемые методы для априорных оценок существенно используют тот факт, что число независимых переменных равно двум. По этой причине имеется весьма немного теорем существования для квазилинейных эллиптических уравнений для более чем двух независимых переменных. Совсем недавно априорные оценки для таких уравнений были получены в предположении, что коэффициенты близки к постоянным (Кордес [1] и Ниренберг, не опубликовано). См. также весьма важный последний результат Де-Джорджи [1] и Наша [1].

Как мы увидим позже, в задачах о двумерном дозвуковом течении априорные оценки могут быть получены из теории квазиконформных отображений.