Условие Кутта — Жуковского.

Мы проиллюстрируем применение леммы о граничной точке на примере доказательства того, что потенциальное течение несжимаемой жидкости вокруг профиля определяется единственным образом скоростью в бесконечности и либо циркуляцией, либо условием Кутта — Жуковского (см. § 2).

Пусть - скорость в бесконечности. Если есть комплексный потенциал рассматриваемого течения, то 2 является аналитической функцией от принимает значение при однозначная функция, так как на Поэтому 2 допускает при больших разложение вида

где постоянная вещественна; легко видеть, что равна циркуляции. Пусть будет потенциалом другого течения вокруг причем

Предположим сначала, что Тогда гармоническая функция

регулярна в бесконечности. Если она не постоянна, то она достигает своего максимума в некоторой точке профиля. В этой точке нормальная производная (по направлению нормали в область течения)

должна быть отрицательной, что невозможно, так как на

Предположим теперь, что оба течения удовлетворяют условию Кутта — Жуковского в задней кромке на и что скорости непрерывны на Мы должны показать, что Если то

стремится к когда Так как постоянны на то гармоническая функция достигает своего максимума в каждой точке в частности в откуда

в точке Если в имеет точку возврата, то это невозможно, так как в этом случае имеет в два направления внешней нормали в противоположных направлениях. Если же угловая точка или имеет касательную в этой точке, то мы также приходим к противоречию, так как в этом случае условие Кутта — Жуковского требует обращения в нуль градиента в точке

Это доказательство (Финн и Гилбарг), отличающееся от обычного тем, что оно не использует конформного отображения, служит простым и вместе с тем типичным примером различных применений принципа максимума к течениям несжимаемой и сжимаемой жидкостей, данных М. А. Лаврентьевым [1], Финном и Гилбаргом [1], Гилбаргом [1-3] и Серрином [1].