Главная > Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод Лёвнера.

Лёвнер [1] вывел некоторое семейство связей плотности со скоростью, которые приводят к уравнениям годографа, решаемым особенно просто. Идея этого метода основана на обобщении преобразования Беклунда из теории поверхностей. Уравнения годографа (3.3) и (3.6) имеют вид

Здесь удобно рассматривать неизвестные функции как элементы вектор-столбца писать эти уравнения в виде

где матрица размера с элементами, зависящими от независимых переменных Обобщенное преобразование Беклунда определяется парой дифференциальных уравнений

Здесь переменные матрицы, а вектор-столбцы. Уравнение (5.14) называется уравнением, полученным из некоторого уравнения аналогичного вида

преобразованием Беклунда (5.15), если верно следующее: если есть решение (5.16), то существует решение уравнения (5.14), связанное с уравнениями (5.15). В своей статье Лёвнер получил достаточные условия возможности преобразования одного из двух данных уравнений в другое преобразованием Беклунда. Эти условия таковы:

Если они выполнены, то каждое решение одного уравнения может быть преобразовано в решение другого, причем осуществление этого преобразования требует только интегрирования некоторого обыкновенного дифференциального уравнения.

Целью исследования Лёвнера является отыскание таких уравнений годографа, которые преобразуются либо в уравнения Коши — Римана для чисто дозвукового течения, либо в эквивалентную волновому уравнению систему

для чисто сверхзвукового течения, либо, наконец, в эквивалентную уравнению Трикоми систему

для течения, содержащего как дозвуковые, так и сверхзвуковые скорости. В каждом из этих случаев Лёвнер получил -параметрическое семейство связей плотности со скоростью. Он также обнаружил, каким образом этот результат может быть расширен путем комбинирования нескольких преобразований Беклунда, так как эти преобразования, по счастью, не образуют группу. Последующая статья Лёвнера [2] содержит дальнейшее исследование по инфинитезимальным преобразованиям Беклунда. Применение теории Лёвнера к сверхзвуковому течению в канале дал Элерс [2].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление