§ 5. ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Хотя главной целью теории потенциальных течений газа является интегрирование уравнения (2.14) при связи плотности со скоростью (2.9), иногда бывает удобно ввести другую сврзь плотности со скоростью, упрощающую математическое исследование. Такая замена может быть оправдана замечанием, что если уравнения (2.14) и (2.16) дают приемлемое описание физического процесса, то малое изменение в уравнении связи плотности со скоростью должно вызывать соответственно малое изменение в решении краевой задачи. В действительности в некоторых случаях это утверждение может быть проиллюстрировано строго. Заметим, что, заменяя связь плотности со скоростью (2.9) другой связью, мы несущественно изменяем характер уравнения. По этим причинам видоизменение связи плотности со скоростью выглядит менее рискованным приемом, нежели замена уравнения для потенциала (2 14) каким-нибудь из приближенных уравнений, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Наиболее радикальное изменение связи плотности со скоростью состояло бы в предположении . В этом случае мы снова имеем течение несжимаемой жидкости, управляемое уравнением Лапласа и описываемое в терминах аналитических функций комплексного переменного.

Газ Чаплыгина и минимальные поверхности.

Более удовлетворительную аппроксимацию в дозвуковой области можно получить, положив

Действительно, эта связь плотности со скоростью согласуется с точной связью (2.9) до членов порядка включительно. Связь (5.1), предложенная Чаплыгиным, превращает уравнение для потенциала (2.14) в классическое уравнение минимальных поверхностей

Далее, функция [см. уравнение (3.11)] становится тождественно равной единице, а уравнения (3.13) — уравнениями Коши — Римана.

Искаженные скорость и комплексная скорость определяемые формулами (3.10) и (3.12), могут быть нормированы требованием, чтобы было при Тогда мы будем иметь простые формулы

и комплексный потенциал станет аналитической функцией переменного Наконец, уравнение (3.2), определяющее переход с плоскости годографа в физическую плоскость, имеет вид

где черта обозначает здесь и в дальнейшем комплексно сопряженную величину.

Известно и фактически уже подтверждено предыдущими соображениями, что решения уравнения минимальной поверхности могут быть представлены через аналитические функции комплексного переменного. Точнее, если суть три аналитические функции комплексного переменного С с общей областью определения и если

то

является параметрическим представлением минимальной поверхности Как мы увидим в дальнейшем, это делает теорию газа Чаплыгина особенно простой.

Наоборот, возможность интерпретации уравнения минимальных поверхностей как уравнения для потенциала течения приводит к новым вопросам относительно этих поверхностей, которые представляют независимый математический интерес (Чжень Берс [9—11]). Польза газа Чаплыгина как модели дозвукового течения реального газа усиливается предложением Кармана и Цяня (см. Карман [1], Цянь [1]). Связь плотности со скоростью (5.1) имеет вид (2.9) с Карман предложил интерпретировать эту связь плотности со скоростью как результат соотношения давления с плотностью вида

Значения постоянных могут быть подобраны так, чтобы соотношение (5.5) было приближенным для реального соотношения (2.9) при значениях, близких к данной плотности Обычно в качестве выбирается значение плотности, соответствующее скорости невозмущенного течения.

Обобщения аппроксимации Чаплыгина.

Может быть, стоит упомянуть о том, что газ с можно также рассматривать и при сверхзвуковой скорости (Кобурн [1]). Хотя это представляет небольшой физический интерес, такая модель гипотетического газа приводит к некоторым интересным математическим построениям (см., в частности, недавнюю статью М. М. Лаврентьева [1]).

Возможное обобщение аппроксимации Чаплыгина было предложено Поритским [1]. В случае Чаплыгина функция К [см. уравнения (3.24) и (3.26)] заменяется постоянной. Поритский предложил заменить ступенчатой функцией. В этом случае уравнение годографа получится в виде ряда уравнений

Каждое из них справедливо в определенной части плоскости годографа, задаваемой неравенствами вида а Постоянные К: положительны в дозвуковой области и отрицательны в сверхзвуковой области. Требуется, чтобы решение обладало непрерывными производными на переходных линиях вторые производные будут, разумеется, разрывны на этих линиях. Не представляет затруднений вычислить связь плотности со скоростью и давления с плотностью, соответствующую этому уравнению годографа. Получаемое соотношение между давлением и плотностью можно интерпретировать как ломаную линию, аппроксимирующую адиабатическое соотношение (2.9) между давлением и удельным объемом