§ 6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГОДОГРАФА

Разделение переменных.

Коэффициенты уравнений годографа зависят только от скорости что является отражением свойства инвариантности уравнений движения относительно вращений. В силу этого уравнения годографа независимо от предположения о характере связи плотности со скоростью должны обладать частными решениями вида

Подставив это выражение в (3.4), получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка для имеющее два линейно независимых решения. Как только решения (6.1) уравнения для функции тока найдены,

соответствующие потенциалы скорости определяются с помощью соотношений (3.3).

В случае адиабатической связи плотности со скоростью (2.9) Чаплыгин писал (6.1) в виде

где

Отметим, что переменная меняется между 0 и 1 и равна Функция удовлетворяет гипергеометрическому уравнению

в котором постоянные определяются из уравнений

Это уравнение имеет в качестве одного из решений выражение

заданное обычным гипергеометрическим рядом. Если не есть целое положительное число, то второе решение имеет вид

если же положительное целое число, то второе решение обладает логарифмической особенностью.

Частные решения (6.4) и их асимптотические свойства были подробно изучены, и имеются различные таблицы этих функций (Чаплыгин [1], Франкль [3-6], Черри [1-5], Лайтхилл [2], Фергюсон и Лайтхилл [1], Хаккел [1], Мунк и Роулинг [1]).

Уравнение для функции тока в газе Трикоми (5.8) обладает следующими решениями типа произведения

где есть любое решение уравнения Бесселя порядка например или

Уравнение для функции тока в газе Томотика и Тамада (5.13) имеет решения типа произведения вида

где есть любое решение уравнения Бесселя порядка

Решения по аналогии.

Для течения несжимаемой жидкости уравнения годографа являются уравнениями Коши — Римана, а функция тока — гармонической функцией от Частные решения (6.1) соответствуют гармоническим функциям

соответственно тому, является ли регулярной или сингулярной при Это замечание позволяет иногда строить течения сжимаемой жидкости, аналогичные данным течениям несжимаемой. Мы приведем здесь очень простой пример.

Аналитическая функция со является комплексным потенциалом обтекания клина, так как на положительной полуоси Так как то на плоскости годографа

Но эта функция удовлетворяет и уравнению (3.4) при любой связи плотности со скоростью. Используя соотношения (3.2) и (3.3), получаем соответствующее течение сжимаемой жидкости на плоскости Это показывает, что некоторые линии тока имеют ту же общую форму, как и линии тока течения несжимаемой жидкости. Принимая две такие линии тока за твердые стенки, получаем дозвуковое течение в -образном канале со сверхзвуковой областью вблизи изгиба. Другие линии тока, однако, обладают точками возврата; геометрическое место этих точек является образом предельной линии в плоскости годографа. Уравнение этой линии [см. (3.29а)] имеет вид

Этот пример, принадлежащий Ринглебу [1], был одним из первых, на которых было осознано значение предельной линии.