§ 9. ПСЕВДОАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В теории квазиконформных функций используется только дифференциальное неравенство, вытекающее из эллиптической системы вида (8.5). Если принять во внимание все, что дают дифференциальные уравнения (8.5), то можно с каждой такой системой связать теорию комплекснозначных функций, развиваемую параллельно классической теории функций, связанной с уравнениями Коши — Римана. С достаточной общностью эта теория была сформулирована Берсом [8]. Для полноты картины, в частности для ссылок на работы других авторов (Положий, Векуа [2] и другие), мы отсылаем к работам Берса [13, 19]. Теория возникла из газодинамических рассмотрений. Однако для читателя, по-видимому, будет удобнее, если мы сформулируем основные определения в общем случае.

Псевдоаналитические функции.

Мы будем писать систему (8.5) в каноническом виде

где Любая линейная эллиптическая система (8.5) может быть приведена к этому виду посредством введения таких новых независимых переменных что есть некоторый гомеоморфизм, конформный по отношению к метрике

Следовательно (см. теоремы 1 и 2 из § 8), это можно сделать, если только коэффициенты уравнений непрерывны по Гёльдеру.

Пусть и две комплекснозначные, непрерывные по Гёльдеру функции, такие, что

Мы называем производящей парой, принадлежащей системе (9.1). Заметим, что любая пара непрерывных по Гёльдеру функций такая, что является производящей парой, принадлежащей некоторой системе (9.1).

Удобно рассматривать не только комплекснозначное решение системы (9.1), но также функцию

Система (9.1) может быть записана в виде

Если это уравнение выполняется, то мы называем -псевдоаналитической функцией первого рода, называем О-псевдоаналитической функцией второго рода.

-производная от псевдоаналитической функции (9.2) определяется формулой

Эта концепция порождает много большее, нежели просто формальное сходство с комплексной производной, используемой в теории функций. Прежде всего, может быть определена как предел комплексного "разностного отношения", объяснение деталей которого мы опустим. Во-вторых, и это наиболее важно, -дифференцирование переводит псевдоаналитические функции в псевдоаналитические функции. Точнее, основная теорема о псевдоаналитических функциях утверждает, что для каждой производящей пары существует другая производящая пара такая, что -производная от любой -псевдоаналитической функции является -псевдоаналитической, и обратно. Пара называется преемником пары Можно показать, что любая производящая пара является преемником некоторой другой.

Зная -производную можно восстановить функцию 2 с помощью не зависящего от пути криволинейного интеграла

Примеры.

Рассмотрим линейные уравнения (8.1), описывающие течение с переменной плотностью. Положим

"Модифицированный комплексный потенциал“ является -псевдоаналитической функцией первого рода. Его Производная есть

т. е. комплексная скорость.

В качестве другого примера рассмотрим производящую пару вида Если есть -псевдоаналитическая функция второго рода, то она удовлетворяет системе (6.7) с . В этом случае -дифференцирование есть просто дифференцирование по х, а -интегрирование эквивалентно сигма-интегрированию, определенному в § 6. Поэтому эта пара является своим собственным преемником, или, как мы говорим, имеет период 1. Аналогичными элементарными средствами можно изучить -функции для производящих пар вида ; см. Берс и Гельбарт [1, 2]. В этом случае преемником будет так что преемник преемника совпадает с Мы говорим, что эта производящая пара имеет период 2. Проттер [2] показал, что существуют производящие пары с произвольными периодами и что, вообще говоря, производящая пара не обладает никаким периодом.

Отправляясь от данного определения Отдифференцирования и интегрирования, можно построить теорию, сохраняющую все характерные черты теории аналитических функций. В частности, эта теория содержит важные аналоги таких конструкций, как интеграл Коши, формальные степени (содержащие описанные в § 6 формальные степени как частный случай), разложения Тейлора и Лорана и Это развитие мы здесь не будем обсуждать, а опишем только центральный результат, нашедший много приложений в задачах газовой динамики.

Другое определение.

Начиная с этого места будем предполагать, что производящие пары являются дифференцируемыми функциями (их производные либо непрерывны по Гельдеру, либо являются обобщенными производными, локально интегрируемыми с некоторой степенью ).

С парой мы связываем комплекснозначные функции определяемые уравнениями

Легкое вычисление показывает, что -псевдоаналитические функции характеризуются уравнением

и что - производная от равна

Согласно общей теории, мы можем ожидать, что удовлетворяет некоторому уравнению, аналогичному (9.8). И, действительно, легко видеть, что

Уравнение (9.8) можно использовать для определения псевдоаналитических функций. Заметим, что если есть какое-нибудь решение эллиптического уравнения вида

то комплексный градиент удовлетворяет (9.8) с

В частности, если есть потенциал скоростинекоторого течения с переменной плотностью и если предположить, что плотность дифференцируема, то удовлетворяет (9.11) при а комплексная скорость удовлетворяет (9.8) при

В общем случае можно также показать, что каждое решение уравнения (9.11) является вещественной частью некоторой псевдоаналитической функции второго рода с надлежащим образом выбранной производящей парой. Так как любое линейное эллиптическое уравнение с достаточно гладкими коэффициентами может быть приведено к виду (9.11), то теоремы о псевдоаналитических функциях применимы ко всем таким уравнениям.