§ 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение (2.14), описывающее потенциальное течение сжимаемой жидкости, представляет большие трудности для исследования, так как оно квазилинейно и имеет смешанный, эллиптико-гиперболический тип Поэтому естественно попытаться упростить это уравнение с помощью предположения, что при определенных условиях некоторыми членами в нем можно пренебречь. Эта извечная процедура должна была бы применяться с некоторыми предосторожностями. Одно дело заметить, что определенные члены в известном решении малы, и другое — позволить себе гораздо большее: пренебречь членами в дифференциальном уравнении до того, как решение найдено. На самом деле, упрощение какого-нибудь уравнения путем пренебрежения определенными выражениями может быть оправдано только в том случае, если это рассматривается как первый шаг в некотором процессе разложения. Далее, это разложение, выполненное по подходящим образом выбранному параметру, должно быть справедливо не только формально, но по возможности оправдано доказательством сходимости разложения или по меньшей мере выяснением его асимптотического поведения. К счастью, опыт показывает, что формальные процессы обычно оказываются правильными при надлежащей их интерпретации (в этой связи см. замечания Фридрихса [3]).

Несжимаемое течение.

Наиболее радикальное упрощение уравнения (2.14) получается в предположении, что течение является очень медленным, точнее, что квадратом местного числа Маха можно пренебречь. В этом случае уравнение (2.14) превращается в уравнение Лапласа

Замена уравнения для потенциала (2.14) уравнением Лапласа означает, что жидкость рассматривается как

несжимаемая. Действительно, если принять, что то уравнение неразрывности принимает вид

в то время как условие обращения в нуль вихря остается прежним:

Эти два уравнения образуют систему Коши — Римана для функций . Следовательно, в течении несжимаемой жидкости комплексная скорость есть аналитическая функция от Аналогично уравнения (2.17) для функции тока и потенциала скорости также являются уравнениями Коши — Римана, так что комплексный потенциал также есть аналитическая функция от Далее, непосредственно получаем

Разумеется, все четыре функции удовлетворяют уравнению Лапласа.

Отметим, что в случае течения несжимаемой жидкости отображение с физической плоскости в плоскость годографа является конформным и что рассматриваемые как функции комплексной скорости, т. е. на плоскости годографа, также суть аналитические функции.

Теория двумерных потенциальных течений несжимаемой жидкости представляет собой наиболее важную область применения теории аналитических функций. Большинство задач в этой области может считаться в принципе решенным, причем не только с теоретической точки зрения, но также в смысле получения численных результатов.