ГЛАВА III. Некоторые проблемы, относящиеся к дозвуковому течению

§ 11. ПОВЕДЕНИЕ ДОЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОСТИ

Применяя к проблемам дозвукового течения общие методы, описанные в предыдущей главе, мы примем, если не сказано ничего другого, адиабатическую связь плотности со скоростью (2.9) или такую связь плотности со скоростью, которая имеет столь же общий характер. В этом параграфе мы рассматриваем дозвуковое течение при больших значениях

Асимптотическая формула.

Пусть будет комплексным потенциалом этого течения. В § 10 мы заметили, что вектор скорости необходимо имеет дозвуковое предельное значение

Заметим, что если бы течение было несжимаемым, то мы имели бы лорановские разложения

В определенном смысле аналогичным образом может быть проанализировано и дозвуковое сжимаемое течение (Ладфорд [1], Берс [16], Финн и Гилбарг [1]).

Вне достаточно большой окружности течение является равномерно эллиптическим, так что

Вспомнив данные в § 8 определения, на основании (3.7) мы заключаем, что комплексная скорость является -квазиконформной с Следовательно, она допускает представление

где является аналитической функцией, а есть -квазиконформный гомеоморфизм области который может быть выбран так, чтобы Следовательно, в соответствии с теоремами 5 и 7 из § 8

С другой стороны, аналитическая функция допускает лорановское разложение откуда следует, что

Это показывает, что заданная посредством (8.10) метрика течения имеет коэффициенты, непрерывные по Гельдеру в бесконечности. Напомним, что искаженная скорость определенная уравнениями (3.10) и (3.12), конформна относительно этой метрики течения (§ 8). Поэтому из теорем 2 и 3 § 8 следует, что

где является аналитической функцией, есть непрерывно дифференцируемый гомеоморфизм области, конформный относительно метрики течения, который может быть выбран так, чтобы при Мы снова имеем

и так как то предыдущее неравенство для может быть заменено более точной оценкой

Более тщательный анализ приводит к следующей асимптотической формуле. Предположим, что

обозначим через значение в бесконечности и положим Тогда существуют вещественные постоянные такие, что

Легко проверить, что есть циркуляция течения, "интенсивность источника" в бесконечности. В частности, если рассматриваемое течение есть течение вокруг некоторого тела, то функция тока должна быть однозначной и

Так как связь между является топологической и так как легко видеть, что в (11.3) тогда и только тогда, когда то уравнения (11.2) и (11.3) приводят к следующему результату (Гилбарг и Финн). Если то отображение физической плоскости в плоскость годографа является взаимно однозначным в окрестности бесконечности; если же то годограф этого течения имеет точку ветвления некоторого порядка в точке, соответствующей бесконечно удаленной, т. е. отображение является -значным.

Теорема разложения.

Из уравнений (11.2) — (11.6) мы заключаем, что функция тока и потенциал рассматриваемые как функции точки плоскости годографа, должны обращаться при в бесконечность порядка 1, если и порядка в противном случае. Из теории псевдоаналитических функций следует, что вблизи точки потенциал скорости и функция тока отличаются лишь на регулярное решение уравнения годографа от конечной линейной комбинации надлежащим образом выбранных особых решений. Если принять, что связь плотности со скоростью задана посредством некоторой вещественной аналитической функции, то эти особые решения могут быть построены по методу, описанному в § 6. Если это проделать, а затем преобразовать течение в физическую плоскость путем отображения (3.2), то, как показывают выполненные Ладфордом

вычисления, при и больших справедливо следующее сходящееся разложение:

Здесь являются периодическими функциями с периодом Если то все тождественно равны нулю. (Подобное разложение было впервые отмечено Бейтманом

Теорема Жуковского.

Используя асимптотическую формулу (11.5), легко доказать теорему Жуковского для течений сжимаемой жидкости: при обтекании тела полная сила, действующая со стороны жидкости на тело, перпендикулярна направлению невозмущенного течения, а ее величина равна

где Для того чтобы получить аналог формул Блазиуса для момента сил давления, следует использовать разложение (11.7). Точное уравнение весьма сложно; его можно найти в работе Финна и Гилбарга [1].