ГЛАВА II. Математические основы теории дозвукового течения

§ 7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Математической основой изучения дозвуковых потенциальных течений является теория линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений эллиптического типа. Эта теория представляет собой, конечно, хорошо развитый отдел математического анализа и при формулировании основных результатов, таких, как теория линейных краевых задач, мы ссылаемся на учебники и монографии, в частности на книги Куранта и Гильберта [1], Петровского [2] и недавно появившуюся книгу Миранда [1]. Однако в этом и следующих параграфах мы дадим набросок некоторых характерных свойств, особо выделяя более современные достижения, относящиеся к потребностям газовой динамики и частично порожденные этими потребностями. Мы начинаем с некоторых свойств эллиптических уравнений, не ограничиваясь случаем двух переменных.

Гладкость решений.

Линейный дифференциальный оператор второго порядка

называется эллиптическим, если матрица является положительно определенной, и называется равномерно эллиптическим, если коэффициенты равномерно ограничены и

Как уже упоминалось выше, решения эллиптического уравнения

являются настолько гладкими, насколько это позволяет им само уравнение. Точнее, согласно классическим результатам (Хопф [2]), если коэффициенты с удовлетворяют условию Гёльдера (или имеют производные до порядка удовлетворяющие условию Гёльдера), то решение имеет вторые производные, удовлетворяющие условию Гёльдера (производные до порядка удовлетворяющие условию Гёльдера). Напомним, что функция называется удовлетворяющей условию Гельдера с постоянной К и показателем если

Роль условия Гёльдера существенна. Например, если коэффициенты непрерывны, но не непрерывны по Гельдеру, то дважды непрерывно дифференцируемые решения не обязаны существовать. Во многих случаях требуется рассматривать уравнения с разрывными коэффициентами. Тогда от решения обычно требуется наличие первых производных, в свою очередь имеющих обобщенные производные в смысле (Относительно обобщенных производных см. Соболев [1], Фридрихе [1], Смирнов [1].)

Если коэффициенты в (7.1) вещественные аналитические, то это же верно для всех решений.

Аналогичные результаты справедливы для квазилинейных уравнений, т. е. для уравнений вида (7 3), в которых коэффициенты оператора (7.1) зависят также и от искомой функции и ее первых производных. Наиболее сильные результаты в этом направлении можно найти в статье Ниренберга [1].

Единственность.

Другим характерным свойством эллиптических уравнений (7.3) является квазианалитический характер их решений. Под этим мы понимаем общее с аналитическими функциями свойство единственности решений. Точнее, если какое-нибудь решение в некоторой точке, например в начале координат, обращается в нуль бесконечного порядка, т. е. если

то это решение тождественно равно нулю. Отсюда также следует, что если задача Коши для уравнения (7.3) вообще разрешима, то она имеет единственное решение.

Доказательство теоремы единственности было дано в двумерном случае Карлеманом [1] в 1933 г. Хотя доказательство

Карлемана требует определенной гладкости коэффициентов, этот результат может быть получен другим методом для наиболее общего случая равномерно эллиптических уравнений с ограниченными измеримыми коэффициентами (Морри [1], Берс и Ниренберг [2]). В случае большего числа измерений теорема единственности была доказана только совсем недавно Ароншайном [1] (другое доказательство было дано Кордесом [2]; Ландис [1] и Педерсон [1] доказали теорему единственности для задачи Коши). Во всех этих результатах требуется, чтобы коэффициенты в (7.1) были некоторое число раз дифференцируемы.

Теорема единственности имеет следующее следствие: нельзя изменить потенциал дозвукового течения газа в некоторой части области течения, без того чтобы он не изменился всюду.

Принцип максимума.

Хотя и элементарным, но весьма важным свойством линейных эллиптических уравнений является принцип максимума. Он утверждает, что если и то решение уравнения определенное в области не может иметь во внутренней точке положительного максимума, если только это решение не постоянно.

Простейшее доказательство принципа максимума принадлежит Хопфу [1]. Оно основано на предположении, что старшие коэффициенты непрерывны, а решение имеет непрерывные производные второго порядка. В двумерном случае принцип максимума может быть распространен на равномерно эллиптические уравнения с разрывными коэффициентами и на решения, имеющие обобщенные производные второго порядка; это требует методов, основанных на квазиконформном отображении (Берс и Ниренберг [2]).

Между прочим, из принципа максимума следует, что задача Дирихле для эллиптического уравнения (7.3) при с О имеет не более одного решения. (Задача Дирихле заключается в задании значений искомого решения на границе области.)

В случае двух измерений и уравнения, не содержащего производных низшего порядка, принцип максимума справедлив также и для первых производных от решения. Чтобы это усмотреть, запишем уравнение в виде

и положим и Тогда

Исключение и посредством дифференцирования дает эллиптическое уравнение второго порядка для для которого принцип максимума справедлив. При этом мы молчаливо предполагаем, что это исключение законно. Но можно строго показать, что принцип максимума справедлив для решений равномерно эллиптических систем вида

даже если коэффициенты только ограничены и измеримы, так что вторые производные в исходном уравнении являются обобщенными (см. Берс, Ниренберг [2]).

Следующий простой пример показывает, что в случае более чем двух измерений установленный выше результат несправедлив (Ниренберг). Эллиптическое уравнение

имеет решение

для этого решения и принцип максимума нарушается в точке

С другой стороны, в случае квазилинейного эллиптического уравнения вида

принцип максимума для производных справедлив. Действительно, дифференцируя это уравнение, например, по видим, что производная от данного решения удовлетворяет линейному эллиптическому уравнению вида

Так как уравнение для потенциала (2.11) течения сжимаемой жидкости имеет вид (7.4), то компоненты вектора скорости любого дозвукового течения принимают свои наибольшие значения на границе области течения. Конечно, Это же справедливо и для модуля скорости

Весьма полезное расширение принципа максимума на граничные точки было получено Хопфом [4]. Если решение уравнения (7.3) при достигает своего максимума в некоторой граничной точке рассматриваемой области, то внутренняя нормальная производная в этой точке отрицательна, если только решение не постоянно.

Хопф доказал эту лемму, предполагая, что коэффициенты уравнения непрерывны и что через рассматриваемую граничную точку можно провести сферу (окружность в случае двух измерений), целиком лежащую в области определения решения. Существование нормальной производной предполагать не обязательно. Если она не существует, то соответствующее неравенство справедливо для нормального отклонения.

Различные обобщения леммы Хопфа о граничной точке были даны Гилбаргом и Шиффманом [1], а также Финном и Гилбаргом