§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Этот обзор теории дозвуковых и околозвуковых течений газа написан с точки зрения математика. Эта точка зрения и личные интересы автора оказали большое влияние на выбор материала. Мы рассмотрим лишь весьма ограниченную часть теории течения сжимаемой жидкости — двумерные установившиеся потенциальные течения — и ограничимся проблемами, которые изложены в литературе с определенной степенью математической строгости; в силу этого отдельные важные вопросы останутся незатронутыми. Более того, ограниченность объема не позволяет привести детальные доказательства и заставляет исключить некоторые рассуждения, включающие сложные манипуляции со специальными функциями. Мы попытаемся, однако, ясно выделить основные используемые идеи и описать новые математические концепции и методы, которые возникают в связи с этими главами динамики жидкости.

Гл. I содержит общие соображения, относящиеся к уравнению для потенциала течения сжимаемого газа, к различным видоизменениям и приближенным формам этого уравнения, а также к методам получения частных решений. Все это известно тем, кто работает в области динамики жидкости, и может представить интерес для математиков, собирающихся работать в этой области.

Гл. II и III посвящены чисто дозвуковым течениям. В настоящее время аэродинамики не очень сильно заинтересованы в этом предмете, так как даже грубо приближенные теории достаточны для истолкования и предсказания опытных фактов. Перед математиком, однако, теория

дозвукового течения выдвигает много трудных и интересных проблем, положивших начало или позволивших развить различные направления математического исследования, как-то: уточнения классического принципа максимума, применения квазиконформных отображений, интегральные операторы Бергмана, теория Левнера законов сохранения, псевдоаналитические функции и т. д. Краткий обзор некоторых из этих направлений дан в гл. II, а в гл. III методы гл. II применены к ряду специальных проблем дозвукового течения.

Околозвуковые течения описываются уравнениями с частными производными смешанного, эллиптико-гиперболического типа Начало теории таких уравнений было положено Трикоми еще в 1923 г., а ее интенсивное развитие за последнее время явилось откликом на потребности аэродинамики больших скоростей. Обзор этой теории, включающий некоторые еще не опубликованные результаты, дан в гл. IV. В гл. V даны применения к специальным проблемам околозвукового течения.

Приложение содержит некоторые замечания, относящиеся к численным методам.

Этот краткий перечень показывает, что мы делаем ударение скорее на математических методах, нежели на физических проблемах как таковых, и что мы подчеркиваем не только использование математики в динамике жидкости, но также "применения" последней как источника математических проблем и концепций. Поэтому наш обзор весьма мало перекрывается с различными недавними публикациями на ту же тему, написанными с физической точки зрения (например, упомянутыми Сирсом [3]).

Особое внимание будет уделено вопросам существования и единственности решений задач о дозвуковых и околозвуковых течениях (относительно сверхзвукового течения см. Фридрихе [4]). Такие вопросы едва ли когда-нибудь возникают в той части прикладной математики, где преобладают линейные задачи определенного типа, для которых существование и единственность давно известны. Но течение сжимаемой жидкости есть нелинейное явление, и оно приводит к уравнениям смешанного типа, где основные вопросы о существовании и единственности получают ответ только теперь. В действительности мы являемся участниками

своеобразной удивительной полемики по этому поводу — почти неслыханная вещь в современной математике.

В связи с этими проблемами Карман [5] писал: "Я уверен, что математик может точно доказать существование и единственность решений в случаях, когда для физика или инженера ответ очевиден из физических соображений. С другой стороны, если имеются действительно серьезные сомнения насчет ответа, от математика бывает мало пользы".

Справедливость этого замечания Кармана забавным образом подтверждается. Следует помнить, конечно, что дифференциальные уравнения описывают сильно идеализированные модели физической действительности. Поэтому теорема существования и единственности может быть очевидна из физических соображений только в предположении, что модель достаточно точна. Строгое доказательство является тем самым косвенной проверкой модели. В этом заключается содержание математического требования: дать "очевидному“ результату далеко не очевидное подтверждение.

Вдобавок математик мог бы возразить на замечание Кармана, сказав, что если он догадывается о корректной постановке задачи для данного дифференциального уравнения, то он в состоянии и строго проверить свою догадку, в то время как физик только твердит ему, что он всегда знает ответ. Но когда математик сталкивается с уравнением, для которого правильные краевые условия еще надо найти, то от физической интуиции физика ему мало пользы.

Каждая из жалоб не вполне справедлива. Математическое и физическое понимание проблемы часто идут рука об руку. Рассуждениями математика часто руководит физическое воображение, а так называемые физические соображения опираются, сознательно или нет, на очень хорошо понятые и, следовательно, хорошо знакомые математические законы. Поэтому не удивительно, что иногда математики и физики встречают затруднения в одном и том же месте. Проблемы околозвукового течения представляются нам примером такого рода.

Эти проблемы, будучи по общему признанию трудными, заслуживают вместе с тем весьма серьезного внимания и представляются нам проблеском давно ушедшего золотого века единства науки. В самом деле, интересующиеся ими физики

требуют строгих математических доказательств, а занимающиеся ими математики нуждаются в руководстве со стороны результатов экспериментов.

Замечание. Рукопись этого обзора была закончена в сентябре 1956 г., ввиду чего не было возможности, вообще говоря, включить многие последние результаты. Несколько дополнительных замечаний и ссылок, добавленных позднее, отмечены звездочками.