Принцип подобия.

Теперь мы установим результат, описывающий структуру решений уравнения (9.8). Эта теорема, называемая принципом подобия, относится к решениям, определенным в области Коэффициенты а и Ъ должны удовлетворять определенным ограничениям слабого роста. Если не ограничена, то достаточно предположить, что а и b ограничены. Если не ограничена, то достаточно предположить, а и b обращаются в бесконечности в нуль порядка большего единицы. Допустимо также, чтобы а и b стремились к бесконечности порядка меньшего единицы вдоль определенных гладких линий. Более слабые условия, при которых справедлив принцип подобия, можно найти в диссертации тонского [1].

Принцип подобия утверждает, что каждое решение уравнения (9.8) может быть записано в виде

некоторая аналитическая функция, непрерывна по Гёльдеру в замыкании и ограничена, причем эта граница и условие Гёльдера зависят только от области и коэффициентов а и b.

Обратно, какова бы ни была аналитическая функция когда существует решение уравнения (9.8), имеющее вид (9.12). Первая часть этой теоремы может быть доказана простым указанием функции а именно

для доказательства второй части требуется решить некоторое интегральное уравнение.

Если граница содержит некоторую достаточно гладкую простую замкнутую кривую то высказанные утверждения считаются верными, если потребовать, чтобы функция была вещественна на и обращалась в нуль в некоторой заданной точке Полное доказательство принципа подобия можно найти в работе Берса [14].

Принцип подобия, помимо всего прочего, показывает, что псевдоаналитическая функция т. е. решение уравнения (9 8), может обращаться в нуль только в изолированных точках, если она не есть тождественный нуль (теорема Карлемана).

Он показывает также, что в точках, где имеет нуль или изолированную особенность, ее поведение такое же, как и у аналитической функции в нуле или особой точке В то же время из принципа подобия следует существование псевдоаналитических функций с заданными нулями и особенностями.