Квазиконформность.

Более точно, комплекснозначная функция не обязательно дающая взаимно однозначное отображение, называется -квазикон-формной, если она удовлетворяет дифференциальному неравенству

Ясно, что -квазиконформное отображение конформно.

Начиная отсюда, мы будем рассматривать функции от х, у, не предполагая их аналитичности, как функции и будем применять к таким функциям дифференциальные операторы (6.13). В этом обозначении неравенство (8.4) может быть переписано в виде

Важность квазиконформности для теории дифференциальных уравнений с частными производными следует из замечания, что дифференциальное неравенство вида (8.4) является следствием из системы дифференциальных уравнений

при условии, что эта система равномерно эллиптична. Напомним, что система (8.5) называется эллиптической, если она называется равномерно

эллиптической, если коэффициенты ограничены и величина 8 ограничена снизу положительным числом.

Итак, для любого течения с переменной плотностью отображение физической плоскости в плоскость потенциала [плоскость ] является квазиконформным при условии, что плотность ограничена сверху и снизу положительными числами.

Отображение с физической плоскости в плоскость годографа (плоскость также квазиконформно, если течение равномерно дозвуковое, т. е. если число Маха ограничено сверху числом, меньшим единицы. Действительно, в этом случае компоненты скорости удовлетворяют равномерно эллиптической системе (3.7). Для равномерно дозвукового течения отображение плоскости годографа в плоскость потенциала, так же как и отображение плоскости годографа в физическую плоскость, также квазиконформно, см. уравнения (3.3) и (3 6).

Для целей общей теории весьма полезно предполагать, что встречающиеся в дифференциальных неравенствах (8.4) производные не обязательно непрерывны, а понимаются как обобщенные производные в смысле Это означает, что являются измеримыми функциями с локально интегрируемым квадратом и такими, что тождества

справедливы для любой ненрерывно дифференцируемой функции равной нулю вне замкнутого ограниченного множества. [Интегрирование в (8.6) выполняется по всей области определения ] Относительно обобщенных производных см. Соболев [1] и Фридрихе [1].