Формулировка теорем несуществования.

Мы начнем с точной формулировки предположений, которые подлежат доказательству (см. Берс [15], где в сущности сформулированы те же предложения, используя предложение Гарднера).

Начиная отсюда, мы рассматриваем только верхнюю половину симметричного течения. Под непрерывным решением мы подразумеваем решение без скачков. В околозвуковом симметричном течении, таком, как показано на рис. 20.2, мы выбираем некоторую точку на звуковой линии и проводим через нее две линии Маха Они пересекают профиль в точках

Рис. 20.2.

Дуга будет называться критической дугой.

1. (Утверждение несуществования для изменений профиля.) Если дано гладкое околозвуковое течение и если профиль изменен как угодно мало и как угодно гладко вдоль критической дуги, то непрерывное околозвуковое течение с тем же числом Маха в бесконечности вокруг нового профиля невозможно.

В несколько более слабой форме это утверждение было доказано Моравец [4].

Естественно начать исследование этой задачи с рассмотрения бесконечно малых изменений профиля. Точнее, мы предположим, что искомый потенциал течения вокруг измененного профиля может быть записан в виде где потенциал исходного течения, а производные первых двух порядков от и) настолько малы, что их высшими степенями можно пренебречь. Потенциал возмущений можно считать определенным в исходной области течения. Он должен удовлетворять в бесконечности условию

на части профиля вне критической дуги и на оси х граничному условию

и на критической дуге условию

где 8— известная функция, определяемая на основании предполагаемой бесконечно малой деформации профиля. Потенциал возмущений о) будет удовлетворять некоторому линейному дифференциальному уравнению смешанного типа, определяемому данным решением (смотри замечание об "уравнении в вариациях" в § 10). Мы будем называть эту краевую задачу задачей о возмущениях, вызванных деформацией профиля Моравец получила следующий результат.

2. Задача о возмущениях, вызванных деформацией профиля, не имеет решений, кроме тривиального которое соответствует т. е. неизмененному профилю.

С физической точки зрения, пожалуй, интереснее знать, будет ли данное гладкое околозвуковое течение обладать близкими решениями, соответствующими тому же профилю, но другим значениям числа Маха невозмущенного течения. Аналогом 1 для этой задачи будет следующее утверждение.

3. (Утверждение несуществования для изменения числа Маха.) Если существует непрерывное околозвуковое течение вокруг некоторого профиля при некотором значении числа Маха невозмущенного течения, то не существует непрерывного околозвукового течения вокруг того же самого профиля для любого другого значения числа Маха течения, близкого, но отличного от

Мы не знаем, верно это утверждение или нет. На самом деле до настоящего времени не было предложено ни одного обоснованного метода рассмотрения этой задачи. Очевидно, что можно сформулировать задачу о возмущениях, вызванных изменением числа Маха, и можно попытаться доказать, что эта задача не имеет нетривиальных решений. Хотя это не было выполнено, имеется следующий результат (Моравец [5]), относящийся к этому направлению.

4. Предположим, что дано непрерывное околозвуковое Течение вокруг профиля для которого задача о

возмущениях, вызванных изменением числа Маха, имеет решение . Тогда можно построить некоторый новый профиль близкий к и непрерывное околозвуковое течение вокруг управляемое слегка измененной связью плотности со скоростью, так, что для этого нового течения рассматриваемая задача о возмущениях неразрешима.