Уравнения Бельтрами.

Хотя неравенство квазиконформности является следствием любой эллиптической системы вида (8.5), выгодно рассматривать каждое квазиконформное отображение как решение подходящим образом выбранной системы Бельтрами. Система Бельтрами есть линейная эллиптическая система вида

Она может рассматриваться как условие того, что отображение является конформным по отношению к римановой метрике

что при этом отображении любой угол а на плоскости измеренный в метрике (8.8), переходит в угол а на плоскости на этот раз измеренный обычным образом.

Две римановых метрики называются конформно эквивалентными, если их коэффициенты пропорциональны, причем множитель пропорциональности может быть функцией Две такие метрики порождают одну и ту же систему Бельтрами.

Почти очевидно, что если метрика (8.8) удовлетворяет неравенству

то каждое решение соответствующей системы Бельтрами является -квазиконформным. Обратно, каждая -квазиконформная функция может рассматриваться как решение системы Бельтрами, удовлетворяющей (8.9). Отметим, что эта связь будет взаимной только в том случае, если мы позволим коэффициентам метрики (8.8) быть ограниченными измеримыми функциями и поэтому будем трактовать производные в слабом смысле.