§ 12. ДОЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ПРОФИЛЯ

Чисто дозвуковое течение вокруг профиля является одной из немногих проблем газовой динамики, для которой может быть построена почти законченная теория. Предположим, что профиль есть гладкая кривая, за исключением задней кромки с углом Если то профиль имеет касательную в задней кромке. Касательная к предполагается удовлетворяющей условию Гельдера равномерно относительно длины дуги. Скорость должна достигать заданного дозвукового предельного значения (11.1) в бесконечности. В случае задания условия Кутта-Жуковского мы обозначим эту краевую задачу через Если профиль гладкий, то мы также рассмотрим задачу , в которой задана циркуляция

Существование и единственность.

Теорема существования и единственности для задачи была впервые дана Келдышем и Франклем [1] в случае достаточно малых значений Теорема существования, включающая произвольно большие местные дозвуковые скорости, была дана автором [4, 11] в случае газа Чаплыгина. В общем случае произвольного газа первая полная теорема существования для задачи принадлежит Шиффману [2]. В работе [16] автор дал полную теорему единственности и существования для задачи новое и более строгое доказательство единственности было найдено финном и Гилбаргом [1].

Результат гласит: для заданного существует некоторое число зависящее от профиля и уравнения состояния, такое, что задача имеет единственное решение для Скорость является непрерывной по Гёльдеру на профиле и непрерывно зависит от Максимум величины принимает все значения между нулем и причем при при

Аналогичная теорема существования и единственности имеет место для задачи

Доказательство единственности основывается на рассмотрении линейного уравнения для разности двух решений нелинейного уравнения для потенциала (2.14); см. § 10. Первоначальный вариант доказательства опирался на принцип подобия для псевдоаналитических функций. Доказательство Финна и Гилбарга использует асимптотическое уравнение (11.5) и опирается на принцип максимума. похоже на соответствующее доказательство в случае несжимаемой жидкости, описанное в § 7, и имеет то преимущество, что оно справедливо не только для равномерно дозвуковых, но также для просто дозвуковых течений. Оба доказательства могут быть обобщены на случай, когда лишь одно из сравниваемых течений предполагается дозвуковым.

Набросок доказательства существования.

Ключом к доказательству существования является замечание Шиффмана о том, что сформулированная выше теорема существования есть следствие такой же теоремы для уравнения состояния, делающего уравнение для потенциала равномерно

эллиптическим (см. § 4) В самом деле, пусть мы имеем этот результат для любого равномерно дозвукового газа. Пусть последовательность чисел, такая, что Для каждого мы можем найти связь плотности со скоростью совпадающую с данной связью плотности со скоростью при и оставляющую уравнение для потенциала равномерно эллиптическим. Пусть обозначает решение задачи для связи плотности со скоростью и пусть

Для каждого существует число такое, что при Заметим, что для функция является решением задачи при данной связи плотности со скоростью. Ясно, что и что, полагая мы получаем число с нужными свойствами.

В своем доказательстве Шиффман выбирает такими, чтобы они приводили к строго регулярной вариационной задаче для функции тока, а затем применяет прямые методы вариационного исчисления. Проверка условий в бесконечности, непрерывность скорости на границе и непрерывная зависимость скорости от данных задачи нуждаются в специальном исследовании. В работе автора [16] доказательство существования основывается на теореме Шаудера о неподвижной точке и используется общая схема, описанная в § 10.

Это доказательство базируется на сильной априорной оценке для комплексного градиента от решения равномерно эллиптического уравнения

удовлетворяющего граничным условиям задачи Эта оценка такова:

где есть аналитическая функция, осуществляющая конформное отображение внешности профиля на внешность круга и такая, что а положительные постоянные, зависящие только от профиля и

равномерной эллиптичности рассматриваемого уравнения. Для задачи имеется аналогичная оценка

Отметим, что эти оценки сразу дают единственность решения краевой задачи для линейного уравления (12.1), необходимую для применения схемы Шаудера. Действительно, если то (12.2) показывает, что постоянна, а если то постоянна в силу (12.3).

Эти же оценки показывают, что можно утверждать разрешимость задач для линейного уравнения (12.1), если только известно, как решать эти задачи для уравнения того же вида со сколь угодно гладкими коэффициентами. Действительно, так как эти оценки зависят только от свойства эллиптичности уравнения, то можно аппроксимировать данное уравнение "гладкими" уравнениями того же вида, т. е. уравнениями со сколь угодно гладкими коэффициентами, и можно показать, что решение краевой задачи для аппроксимирующего уравнения сходится к решению данного уравнения (12.1). Заметим также, что если коэффициенты в (12.1) являются достаточно гладкими, скажем трижды непрерывно дифференцируемыми, а уравнение превращается в уравнение Лапласа вблизи профиля и вблизи бесконечности, то уравнение (12.1) можно привести к канонической форме (9.11) посредством замены независимых переменных. В этом случае разрешимость задач может быть установлена с помощью принципа подобия (см. конец § 9).

Априорные оценки.

Наметим вкратце, каким образом могут быть получены априорные оценки и (12.3). Для простоты мы рассмотрим задачу в предположении, что

Легко видеть, что равномерная эллиптичность уравнения (12.1) означает, что комплексный градиент от рассматриваемого решения является -квазиконформной функцией, причем зависит только от равномерной эллиптичности этого уравнения. Поэтому в соответствии с § 8 допускает представление

где может быть выбрана как -квазиконформный гомеоморфизм внешности профиля на внешность круга некоторая аналитическая функция. Заметим, что тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между переменными Это соответствие есть -квазиконформный гомеоморфизм и, значит, в силу теоремы 7 из § 8 удовлетворяет равномерно условию Гёльдера. Следовательно, достаточно показать, что удовлетворяет равномерно условию Гёльдера по отношению к

Так как на то аналитическая функция удовлетворяет граничному условию

Здесь означает наклон профиля в точке, переходящей при отображении Из известных свойств гладкости конформных отображений и из предположений относительно профиля следует, что удовлетворяет некоторому определенному равномерному условию Гёльдера в интервале Обозначим теперь через аналитическую функцию, удовлетворяющую условиям

На основании классического результата из теории функций (теорема Привалова [1]; другое доказательство см. в работе автора [13]) мы заключаем, что функция удовлетворяет некоторому известному условию Гёльдера по отношению к и что ее модуль ограничен некоторым числом с. Аналитическая функция удовлетворяет на единичной окружности условию вытекающему из (12.5) и (12.6). Так как то функция регулярна в бесконечности. Следовательно, она есть вещественная постоянная, скажем

Для того чтобы получить желаемое равномерное условие Гёльдера для как функции от остается только найти границу для числа Имеем

где I — длина минимум на С другой стороны,

Поэтому и доказательство закончено.

С помощью априорных оценок (12 2) и (12.3) доказательство теоремы существования для равномерного дозвукового газа получается стандартным путем.

Нерешенные вопросы.

Один из важных нерешенных вопросов касается зависимости максимума местной скорости от при заданном значении Естественно предположить, что является монотонно возрастающей функцией от но это до сих пор не доказано. Известно, что в случае симметричного течения возрастает вместе с в каждой точке профиля, за исключением двух критических точек. Аналогично для чисто циркуляционного течения, т. е. для решения задачи , скорость в любой точке профиля является монотонной функцией от

Было бы интересно также знать, каким образом положение передней критической точки зависит от Тот факт, что для течения, удовлетворяющего условию Кутта — Жуковского, существует точно одна критическая точка в "передней кромке", которая может совпадать с задней критической точкой при частном значении следует из принципа подобия (см. § 9).

Критическая скорость.

На основании физических соображений почти очевидно, что скорость в бесконечности для которой течение становится звуковым, удовлетворяет неравенству

но вообще это еще не доказано. Неравенство (12.7) было установлено Шиффманом (не опубликовано) для симметричного течения. Шиффман также доказал (не опубликовано), что для гладкого профиля решение задачи сходится к критическому течению при Под критическим течением понимается дозвуковое течение, которое становится звуковым где-нибудь на профиле.

Существуют различные интересные оценки для критической скорости Так, Гилбарг и Шиффман [1] рассматривают следующие экстремальные задачи. Для какого профили с данной относительной толщиной величина принимает свое наибольшее значение? Для какого профиля с данной шириной и данной максимальной кривизной величина достигает минимального значения? Ответ на первый вопрос дается профилем, состоящим из двух вертикальных отрезков, соединенных двумя свободными линиями тока, вдоль которых величина скорости имеет постоянное значение Тот же самый профиль минимизирует среди всех симметричных профилей данной длины и площади. Ответ на второй вопрос дается либо кругом, либо полукругом в зависимости от относительных величин данной ширины и максимальной кривизны. Доказательство использует следующую теорему сравнения для симметричных дозвуковых течений.

Рассмотрим два симметричных профиля, таких, что 9 содержит и два симметричных течения около этих профилей, которые удовлетворяют неравенству

Предположим, что эти два профиля имеют некоторую общую точку. Тогда в этой точке а знак равенства имеет место, только если

Эта теорема, типичная среди различных других теорем сравнения, была первоначально доказана Гилбаргом [3] для равномерно дозвуковых течений. Результаты, касающиеся экстремальных значений основаны на обобщении этой теоремы сравнения применительно к критическим течениям.

Отметим, что эта теорема сравнения сразу приводит к теореме единственности для задачи о симметричном течении и к вышеупомянутой теореме о монотонности. Эта теорема и ее следствия могут быть также обобщены на осесимметричные течения.

Весьма неожиданное неравенство для величины было получено Лёвнером в его теории законов сохранения [4]. Лёвнер рассматривает только симметричные профили, для которых наклон касательной ограничен числом Такой профиль должен иметь острую переднюю кромку и может быть представлен уравнением вида

причем Положим и

Тогда а безразмерное число удовлетворяет неравенствам

Пусть теперь будет скоростью симметричного дозвукового течения вокруг Лёвнер доказал, что

де есть конкретная возрастающая функция, заданная при и вполне определяемая значением и связью плотности со скоростью. (Определение содержит некоторые линейное обыкновенное дифференциальное уравнение.) Из неравенства (12.8) следует, что

так что, в частности, Если есть критическое исло Маха для рассматриваемого профиля (величина соответствующая то также

Довольно неожиданно, что правая часть этого неравенства зависит только от геометрии профиля, но не от уравнения состояния.

Построение решений.

К сожалению, описанное выше доказательство существования непригодно для получения метода эффективного вычисления течения вокруг данного профиля. Оно даже прямо не приводит к процессу построения примеров дозвуковых течений вокруг какого-нибудь профиля.

Этот последний вопрос о построении простых решений, описывающих течения вокруг препятствий, привлекает большое внимание. Естественно решать его путем вычисления течения с данным годографом. Однако это приводит к трудностям в случае циркуляционных течений. Для течения без циркуляции, например для симметричного течения, этот прием

в принципе осуществим. Годограф симметричного течения вокруг выпуклого препятствия покрыт дважды. Годограф верхней половинк этого течения имеет общую форму, показанную на рис. 12.1. Требуется найти решение линейного уравнения (3.4), определенное в этой области, которое обращается в нуль на границе, а в точке имеет особенность типа обратного квадратного корня (см. § 11). Частное решение с такой особенностью может быть построено методом псевдоаналитических функций или, если связь плотности со скоростью является аналитической, методом, описанным в § 6. Тем самым задача сводится к решению задачи Дирихле для линейного дифференциального уравнения с частными производными эллиптического типа.

Рис. 121.

В действительности можно избежать построения особенности и преобразовать эту задачу в другую, включающую интегрирование линейного дифференциального уравнения с частными производными в некоторой бесконечной области. Этот метод был предложен независимо Христиановичем [1] и Берсом [1].

Однако большинство решений этой "обратной задачи" теории крыла получено иначе. Отправляясь от несжимаемого течения вокруг профиля, выписывается соответствующая этому течению аналитическая функция в плоскости годографа и ищется решение уравнений Чаплыгина (3.3), зависящее от некоторого параметра, например от числа Маха невозмущенного течения, которое переходит в данное решение для несжимаемой жидкости при Это может быть выполнено многими способами, причем все они, к сожалению, включают весьма трудоемкие вычисления. Один из таких методов был дан Бергманом [4, 6] на основе его теории интегральных операторов. Другой метод был предложен Домбровским [1] для его приближенной связи плотности со скоростью; см. также Гельбарт [2].

Другие методы используют специальные частные решения уравнений годографа. Они имеют то преимущество, что дают не только чисто дозвуковые, но также околозвуковые течения. Поэтому мы обсудим их позднее, в § 20.

Трехмерное течение.

Совсем недавно Финн и Гилбарг [2] получили доказательство существования и единственности для "достаточно медленных” трехмерных дозвуковых течений вокруг некоторого препятствия. (Теорема существования была получена также независимо Берсом и Ниренбергом; не опубликовано.) Финн и Гилбарг получили также асимптотическую формулу для поведения течения в бесконечности и доказали так называемый парадокс Даламбера (т. е. тот факт, что жидкость не оказывает силового воздействия на тело).

Теория несущей линии и несущей поверхности для дозвукового течения была разработана только в рамках приближения Прандтля-Глауэрта и здесь обсуждаться не будет.